在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。 举个例子，比如数组[1，2，3，4，5，6]，顺序与数字大小相一致，整体上是一个升序排列，那它的逆序数就是0，不存在逆序，如果调换了里面的数字，比如2和5，原来的数组就变为[1，5，3，4，2，6],由于5>3, 5>4, 同时5>2，那5的位置引发的逆序数就是3（右侧有三个数字小于本身），数字3的逆序数为1，数字4 的逆序数是1，那么这个一维排布的数组的逆序数就是5。 设计算法计算一个一维数组中的逆序数。 （1）如果使用穷举搜索法计算逆序数，写出算法的伪代码拍照上传，说明它的时间复杂度。 （2）利用归并排序算法设计一个求解给定排列逆序的分治算法，修改归并排序的程序并截图上传，说明时间复杂度。

<think>嗯，用户想知道如何用穷举法和归并排序来计算一维数组的逆序数。首先，我需要回忆逆序数的定义。逆序数就是数组中前面的元素大于后面元素的对数。比如，数组[2,3,8,6,1]，逆序对包括(2,1)、(3,1)、(8,6)、(8,1)、(6,1)，所以逆序数是5。 先考虑穷举法。穷举法的思路很简单，就是遍历每一对元素，检查是否前面的比后面的大。时间复杂度的话，假设数组有n个元素，那么需要比较的次数是n*(n-1)/2，也就是O(n²)。比如数组长度为5，就需要5*4/2=10次比较。这种方法虽然容易想到，但当数组很大时，比如n是10万，这样的时间复杂度会很高，显然不适用。不过对于小规模数据，穷举法实现起来简单，应该没问题。 然后是基于归并排序的分治法。归并排序本身是分治的思想，把数组分成两半，分别排序后再合并。在合并的过程中，可以统计逆序数。比如，在合并左右两个有序子数组时，如果左边的当前元素大于右边的当前元素，那么左边剩下的所有元素都会和右边的当前元素形成逆序对。比如左半部分是[3,5]，右半部分是[2,4]，当比较3和2时，3>2，此时左半部分剩下的3和5都比2大，所以逆序数增加2。这一步是关键，需要在合并过程中统计这些逆序对的数量。 分治法的步骤应该是：分解数组到单个元素，递归计算左右子数组的逆序数，合并时计算跨左右子数组的逆序数，然后总和起来。时间复杂度方面，归并排序本身是O(n log n)，每次合并需要线性时间，统计逆序数的操作不影响整体的时间复杂度，所以总的时间复杂度是O(n log n)，这比穷举法高效很多，适用于大规模数据。 用户可能还关心具体怎么实现，特别是合并过程中如何统计逆序数。需要详细解释这个过程，并给出示例代码。比如，在归并的合并阶段，当右半部分的元素被选入临时数组时，左半部分剩余的元素个数就是当前右元素贡献的逆序数。这部分需要仔细处理指针和计数。 另外，用户可能需要比较两种方法的优缺点，穷举法简单但效率低，分治法高效但实现复杂。应用场景的话，小数据用穷举，大数据用分治。 现在要确保引用的部分正确。比如引用[4]提到分治法分解问题到解决合并，这和归并排序的方法一致。所以可以引用到分治算法的部分。引用[3]可能涉及时间复杂度的比较，但这里可能用不到。引用[2]是关于快速排序的分治策略，虽然归并排序也是分治，但需要确认是否直接相关。不过用户的问题是关于归并排序的应用，所以可能需要适当引用分治法的描述。 最后，生成相关问题，可能需要包括逆序数的应用，其他分治算法，或者时间复杂度的比较等。</think>### 逆序数计算算法及实现 #### 一、穷举搜索法 **算法步骤** 1. 遍历数组中所有元素对$(i,j)$，其中$i < j$ 2. 统计满足$a[i] > a[j]$的对数 **时间复杂度** $$O(n^2)$$ 适用于小规模数据（例如$n \leq 10^3$），但无法处理大规模数组[^1]。 **Python实现** ```python def count_inversions_bruteforce(arr): count = 0 n = len(arr) for i in range(n): for j in range(i+1, n): if arr[i] > arr[j]: count +=1 return count ``` #### 二、归并排序分治算法 **算法原理** 利用归并排序的分治特性，在合并两个有序子数组时统计逆序数[^4]。 **核心步骤** 1. **分解**：将数组递归划分为左右两部分 2. **统计**：分别计算左右子数组的逆序数 3. **合并**：在合并过程中统计跨左右子数组的逆序数 **关键操作** 当右子数组元素$r[j]$被选中放入合并数组时，左子数组中剩余元素数量即为此时产生的逆序数增量。 **时间复杂度** $$O(n \log n)$$ 可处理$n \leq 10^5$规模的数据[^3]。 **Python实现** ```python def count_inversions_merge(arr): def merge_sort(arr, temp, left, right): if left >= right: return 0 mid = (left + right) // 2 count = merge_sort(arr, temp, left, mid) count += merge_sort(arr, temp, mid+1, right) count += merge(arr, temp, left, mid, right) return count def merge(arr, temp, left, mid, right): i, j, k = left, mid+1, left count = 0 while i <= mid and j <= right: if arr[i] <= arr[j]: temp[k] = arr[i] i +=1 else: temp[k] = arr[j] count += (mid - i + 1) # 核心统计逻辑 j +=1 k +=1 while i <= mid: temp[k] = arr[i] k +=1; i +=1 while j <= right: temp[k] = arr[j] k +=1; j +=1 for i in range(left, right+1): arr[i] = temp[i] return count temp = [0] * len(arr) return merge_sort(arr, temp, 0, len(arr)-1) ``` #### 三、算法对比 | 方法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 适用场景 | |-------------|------------|------------|----------------| | 穷举法 | $O(n^2)$ | $O(1)$ | 小规模数据验证 | | 归并分治法 | $O(n \log n)$ | $O(n)$ | 大规模数据处理 | **示例验证** 输入数组：$[2,3,8,6,1]$ 穷举法输出：5 分治法输出：5