用MATLAB的m语言编写程序，实现基2-FFT（注意不允许采用 MATLAB 系统自带的FFT库函数）。预先分别随机产生一个N=1024点和一个N=4096点的复数序列存储备用，作为傅里叶变换的输入数据。

### 基2-FFT算法的MATLAB实现 为了满足需求，在MATLAB中从零开始实现基2-FFT算法而不使用内置`fft`函数，以下是详细的实现方法： #### 1. 函数定义 首先定义一个名为 `my_fft` 的函数来执行快速傅里叶变换。该函数接受输入向量并返回其离散傅里叶变换的结果。 ```matlab function X = my_fft(x) N = length(x); if N <= 1 return; end % 将输入分为偶数索引和奇数索引部分 even_x = x(1:2:end); odd_x = x(2:2:end); % 对两部分分别递归调用 FFT Even_X = my_fft(even_x); Odd_X = my_fft(odd_x); % 计算旋转因子 W_N^k k = (0:(N/2)-1)'; WN_k = exp(-1i * 2*pi*k/N); % 合并结果 X = zeros(N, 1); X(1:N/2) = Even_X + WN_k .* Odd_X; X(N/2+1:N) = Even_X - WN_k .* Odd_X; end ``` 此代码实现了分治策略下的递归版基2-FFT算法[^1]。 #### 2. 测试数据准备 接下来创建两个不同长度（分别为1024点和4096点）的随机复数值序列作为测试对象。 ```matlab % 设置随机种子以获得可重复的结果 rng('default'); % 创建N=1024点的随机复数序列 N_1024 = 1024; random_complex_sequence_1024 = randn(N_1024, 1) + 1i*randn(N_1024, 1); % 创建N=4096点的随机复数序列 N_4096 = 4096; random_complex_sequence_4096 = randn(N_4096, 1) + 1i*randn(N_4096, 1); ``` 这段脚本利用 MATLAB 内置的 `randn()` 函数生成正态分布的标准偏差为1、均值为0的实部与虚部组成的复数数组[^2]。 #### 3. 执行自定义FFT并与MATLAB内建FFT对比 最后一步是对上述构建的数据集运行新开发的 `my_fft` 函数，并将其输出同原生 `fft` 方法得到的结果做比较验证正确性。 ```matlab % 应用自己的FFT函数处理1024点序列 custom_fft_result_1024 = my_fft(random_complex_sequence_1024); % 使用MATLAB自带的FFT函数处理相同序列 builtin_fft_result_1024 = fft(random_complex_sequence_1024); % 显示两者之间的最大绝对误差 max_abs_error_1024 = max(abs(custom_fft_result_1024(:) - builtin_fft_result_1024(:))); disp(['对于1024点序列的最大绝对误差:', num2str(max_abs_error_1024)]); ``` 通过这种方式可以评估所编写的FFT算法的有效性和准确性[^3]。