哈希表二次探测法平均查找长度

<think>嗯，用户想了解哈希表中使用线性探测法时的平均查找长度计算方法，包括成功和失败的情况。我需要结合之前学过的知识，还有提供的引用资料来整理回答。 首先，用户的问题是关于线性探测法的平均查找长度（ASL），所以需要分两部分：查找成功的ASL和查找失败的ASL。根据引用资料，查找成功的ASL是计算每个关键字需要比较的次数之和，除以关键字的总数。而查找失败的ASL则是针对每个可能的哈希地址，计算从该地址出发直到遇到空位置所需的探测次数，然后除以哈希表的模数，也就是可能的地址数量。 例如，引用3中的例子，构造了一个哈希表，处理冲突用线性探测法。查找成功时，每个关键字的查找次数累加后除以7（元素个数），得到12/7。查找失败时，每个位置（0到6，因为模7）需要计算探测次数，直到找到空位，然后总和除以7（模数），得到18/7。但这里需要注意，根据引用4和5，失败时的模数可能与哈希表长度有关。例如，当模是7时，可能的哈希地址是0到6，所以失败时的ASL是这些地址的探测次数之和除以7。但引用5提到，失败时除的是可能散列到的值的个数，比如模为13的话，就是13个位置。这可能需要具体问题具体分析。 然后，用户可能需要具体的步骤或公式。比如，查找成功的ASL公式是总和除以元素个数n，而查找失败的是总和除以哈希表的长度或者模数，这取决于哈希函数的设计。例如，在引用3的例子中，哈希函数是MOD7，所以失败时计算的是0到6这7个位置，因此总和除以7。而引用5提到某个例子中是除以13，因为模是13。所以需要明确，哈希函数中的模数决定了可能的地址数量，也就是失败时的除数。 另外，装载因子α的计算是关键字数除以表长，这在引用2中提到。这可能影响ASL的计算，但用户的问题更关注具体的计算步骤，所以可能需要先构造哈希表，然后逐个分析每个关键字的查找次数，以及每个地址的失败查找次数。 总结步骤应该是： 1. 构造哈希表，处理冲突使用线性探测法。 2. 对于每个关键字，记录其查找成功时的比较次数。 3. 计算总和并除以元素个数得到ASL成功。 4. 对于每个可能的哈希地址（0到MOD-1），计算查找失败时需要探测的次数，直到遇到空位置。 5. 计算总和并除以模数得到ASL失败。 需要注意的是，失败时的每个地址的探测次数要考虑表长，比如表长为10，但模为7的话，失败时的地址是0-6，每个地址需要从该位置开始往后找，直到找到空位，可能需要绕回到表头。例如，在引用3的例子中，表长是10，模是7，所以每个地址的失败探测次数要考虑表后面的位置。 可能需要举例子来说明，如引用3中的情况，详细说明如何计算每个位置的成功和失败次数。比如，当关键字7的哈希值是0，如果0位置被占用了，就线性探测下一个位置，直到找到空位。同样，失败时，假设查找的关键字哈希到某个位置，需要探测到空位为止的次数。 最后，确保回答结构清晰，分步骤说明，并给出公式和实例，可能还要生成相关问题，帮助用户进一步理解。</think>### 哈希表中线性探测法的平均查找长度计算 #### 一、基本概念 1. **线性探测法**：解决哈希冲突的方法，当发生冲突时，顺序查找下一个空槽位（探测步长为1）。 2. **装填因子（α）**：哈希表的饱和程度，公式为$α = \frac{\text{关键字总数}}{\text{哈希表长度}}$[^2]。 3. **平均查找长度（ASL）**：包括查找成功（ASL成功）和查找失败（ASL失败）两种情况。 --- #### 二、计算步骤与公式 ##### 1. 查找成功的ASL - **公式**： $$ASL_{\text{成功}} = \frac{\sum (\text{每个关键字成功查找所需比较次数})}{\text{关键字总数}}$$ - **步骤**： 1. 构造哈希表，记录每个关键字的插入位置及冲突次数。 2. 统计每个关键字的实际探测次数（首次哈希位置被占时，每探测一次次数+1）。 3. 所有探测次数之和除以关键字总数。 **示例**（引用[^3]）： 关键字序列$(7,8,30,11,18,9,14)$，哈希函数$H(key) = (key \times 3) \mod 7$，表长$L=10$，构造的哈希表如下： | 位置 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |------|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---| | 数据 |7 |14|8 |11|30|18|9 |- |- |- | 查找成功时各关键字的探测次数： - $7$: 1次（直接插入位置0） - $8$: 1次（直接插入位置2） - $30$: 2次（位置6冲突，探测位置7） - $11$: 1次（直接插入位置3） - $18$: 3次（位置5冲突，探测位置6→7→8） - $9$: 3次（位置6冲突，探测位置7→8→9） - $14$: 1次（直接插入位置1） $$ASL_{\text{成功}} = \frac{1+1+2+1+3+3+1}{7} = \frac{12}{7} \approx 1.71$$ --- ##### 2. 查找失败的ASL - **公式**： $$ASL_{\text{失败}} = \frac{\sum (\text{每个哈希地址查找失败所需比较次数})}{\text{哈希函数模数}}$$ - **步骤**： 1. 遍历所有可能的哈希地址（即$0$到$\text{模数}-1$）。 2. 对每个地址，假设查找一个不存在的关键字，统计从该地址出发直到遇到空槽位的探测次数。 3. 所有探测次数之和除以模数。 **示例**（引用[^3][^4]）： 哈希函数模数为$7$，可能的哈希地址为$0$到$6$。对每个地址的失败探测次数： - **地址0**：探测位置0→1→2→3→4→5→6→7（位置7为空，共探测8次） - **地址1**：位置1→2→3→4→5→6→7（探测7次） - **地址2**：位置2→3→4→5→6→7（探测6次） - **地址3**：位置3→4→5→6→7（探测5次） - **地址4**：位置4→5→6→7（探测4次） - **地址5**：位置5→6→7（探测3次） - **地址6**：位置6→7（探测2次） $$ASL_{\text{失败}} = \frac{8+7+6+5+4+3+2}{7} = \frac{35}{7} = 5.0$$ --- #### 三、关键注意事项 1. **模数决定失败计算范围**：查找失败时，分母为哈希函数模数（如$\mod 7$则分母为7）[^5]。 2. **空槽位终止条件**：查找失败时，探测到第一个空槽位即终止。 ---

### 哈希表平均查找长度概念 哈希表是一种通过哈希函数将键映射到固定范围内的数组索引的数据结构。当多个键被映射到同一个索引时会发生冲突，解决这些冲突的方法有很多种，比如线性探测再散列法、二次探测法等。 对于哈希表而言，平均查找长度（Average Search Length, ASL）分为两种情况： - **查找成功**：指在哈希表中找到给定的关键字所需的比较次数的期望值。 - **查找失败**：指确定某个关键字不在哈希表内所需的最大比较次数的期望值。 这两种情况下ASL的具体定义如下[^1]： #### 查找成功的平均查找长度 (ASLs) \[ \text{ASL}_{\text{s}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(\text{第 } i \text{ 个元素的实际查找长度}\right)}{n} \] 其中 \( n \) 是哈希表中存在的有效记录数量。 #### 查找失败的平均查找长度 (ASLf) \[ \text{ASL}_{\text{f}}=\frac{\sum_{j=0}^{m-n-1}\left(\text{未命中位置 } j \text{ 的实际查找长度}\right)}{m-n} \] 这里 \( m \) 表示哈希表总容量；\( n \) 同样表示已有记录数目；分母部分代表所有可能为空的位置总数。 ### 实际案例分析 考虑给出的例子，使用线性探测再散列法处理冲突来构建哈希表，并假设哈希表大小为15 (\(m=15\))，则可以按照上述公式计算不同情形下的ASL。 具体来说，在这个例子中有两个重要参数需要关注: - 关键字集合 {19, 14, 23, 1, 68, 20, 84, 27, 55, 11, 10, 79} - 哈希函数 H(key)=key MOD 13 为了简化说明过程，下面仅展示如何计算查找失败的情况。 由于模运算的结果是从0到12之间的整数值，因此即使哈希表长度设定为15，实际上只有13个不同的槽位可供分配。这意味着存在两处空闲空间用于存储新加入但发生碰撞后的项。 现在尝试向不存在于当前列表中的随机数执行查找操作，直到遇到第一个可用插槽为止所经历的距离即为此类查询的成本。重复此过程覆盖整个剩余区间并累加得到最终结果。 例如，如果要测试数字`X`是否存在于该哈希表中，则会依次检查 `H(X)` 及其后续相邻单元格直至发现匹配项或空白区域。此时统计路径上经过了多少步即可得知单次失败查找对应的代价。 最后汇总所有潜在缺失条目的探查距离并将它们相加以获得总的失败成本，除以理论上的最大可选位置数得出平均值作为查找失败时的ASL。 ```python def calculate_asl_fails(keys, table_size, hash_func): occupied_slots = set() # Fill the slots with given keys using linear probing. for key in keys: index = hash_func(key) while True: if index not in occupied_slots or len(occupied_slots) >= table_size: break index = (index + 1) % table_size occupied_slots.add(index) fail_distances_sum = 0 # Calculate distances to first empty slot from each unoccupied position. for pos in range(table_size): distance = 0 current_pos = pos while current_pos in occupied_slots and distance < table_size: distance += 1 current_pos = (current_pos + 1) % table_size if distance != table_size: # Avoid counting full circle as a failure path. fail_distances_sum += distance num_unfilled_positions = table_size - len(occupied_slots) asl_failures = fail_distances_sum / max(num_unfilled_positions, 1) return asl_failures keys_example = [19, 14, 23, 1, 68, 20, 84, 27, 55, 11, 10, 79] table_length = 15 hash_function = lambda k : k % 13 print(f"Failure Average Search Length is approximately {calculate_asl_fails(keys_example, table_length, hash_function):.2f}") ```