L2-01 吉利矩阵

### L2-4 吉利矩阵算法解析 #### 问题描述 给定一个 $ N \times N $ 的方阵，其中 $ N \in [2, 4] $，以及一个目标和 $ L \in [2, 9] $。要求该方阵的所有元素均为非负整数，并且每一行和每一列的元素之和均等于 $ L $。计算满足这些条件的不同方阵的数量。 --- #### 算法思路 此问题可以通过 **深度优先搜索 (DFS)** 和 **剪枝** 来解决。以下是具体实现的核心逻辑： 1. 使用两个数组 `rowsum` 和 `columnsum` 记录当前已填充部分每行和每列的累加和。 2. 遍历每一个位置 $(i, j)$ 并尝试填入可能的数值 $ k $ ($ 0 \leq k \leq L $)，同时更新对应的行列和。 3. 如果某一行或某一列的累计和超过 $ L $，则立即停止继续探索这一分支（即剪枝操作）。 4. 当所有位置都被成功填充完毕时，检查是否满足最终约束条件并记录合法解的数量。 通过以上方法可以有效减少不必要的状态空间探索，从而提高效率。 --- #### C++ 实现代码 以下是一个基于 DFS 的完整解决方案[^2]: ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; int rowsum[5] = {0}, columnsum[5] = {0}; int res = 0, l, n; void dfs(int deep){ if(deep == n * n){ res++; return; } for(int i = 0; i <= l; ++i){ if((columnsum[deep / n] + i) > l || (rowsum[deep % n] + i) > l) break; if((rowsum[deep % n] + i) < l && deep / n == n - 1 || (columnsum[deep / n] + i) < l && deep % n == n - 1) continue; if((rowsum[deep % n] + i) <= l && (columnsum[deep / n] + i) <= l){ rowsum[deep % n] += i; columnsum[deep / n] += i; dfs(deep + 1); rowsum[deep % n] -= i; columnsum[deep / n] -= i; } } } int main(){ cin >> l >> n; dfs(0); cout << res; return 0; } ``` --- #### Python 实现代码 对于更倾向于使用动态规划或其他高级技巧的语言环境，也可以采用如下方式来解决问题: ```python from itertools import product def count_matrices(n, l): def is_valid(matrix): rows = all(sum(row) == l for row in matrix) cols = all(sum(matrix[i][j] for i in range(n)) == l for j in range(n)) return rows and cols count = 0 ranges = [[k for k in range(l+1)] for _ in range(n)] for candidate in product(*([product(*ranges)]*n)): mat = list(map(list, zip(*candidate))) if len(mat)!=n or not all(len(row)==n for row in mat): continue if is_valid(mat): count +=1 return count # Example usage: if __name__ == "__main__": l, n = map(int, input().split()) result = count_matrices(n, l) print(result) ``` --- #### 性能分析 由于这是一个组合枚举类问题，在最坏情况下时间复杂度接近于指数级增长。然而实际运行过程中会因大量有效的剪枝策略而显著降低平均耗时。因此即使面对较大的输入规模也能保持较好的性能表现[^3]。 ---

### L2-052 吉利矩阵问题解析 #### 问题描述 给定一个 $N \times N$ 的矩阵 ($N \in [2, 4]$)，以及一个正整数 $L \in [2, 9]$，要求统计所有满足以下条件的矩阵数量： 1. 所有元素为非负整数； 2. 每行和每列的元素之和均等于 $L$。 此问题可以通过 **深度优先搜索 (DFS)** 和剪枝策略来解决[^2]。 --- #### 解决方案的核心思路 ##### 1. DFS 回溯框架 通过递归的方式逐步填充矩阵中的每一个位置。每次递归时，尝试将某个非负整数值赋给当前位置，并更新该行和该列的当前总和。 ##### 2. 剪枝优化 为了提高效率，在搜索过程中加入以下剪枝条件： - **行列约束剪枝**：在填充过程中，实时维护每一行和每一列的当前和 (`col_total` 和 `row_total`)，并确保它们不会超过目标值 $L$。 - **最后元素强制填充**：如果某一行或某一列只剩下最后一个未被填充的位置，则该位置上的值应严格等于剩余的目标差额；否则直接跳过这种状态。 - **动态取值范围**：对于每个待填充的位置 $(i, j)$，其可选值范围由当前所在行和列的剩余容量共同决定，而不是固定的范围（如 $[0, L]$）。 ##### 3. 终止条件 当成功完成最后一行的最后一列填充操作后，意味着找到了一种符合条件的有效排列组合，此时计数器加一。 --- #### 实现代码 以下是基于上述思想实现的一个 C++ 版本程序： ```cpp #include <iostream> #include <vector> using namespace std; int n, l; // 矩阵大小n*n，目标和l long long cnt = 0; vector<int> row_sum; // 当前行的累加和 vector<int> col_sum; // 当前列的累加和 // 定义dfs函数原型 void dfs(int i, int j); int main() { cin >> n >> l; // 输入矩阵维度n和目标和l row_sum.resize(n, 0); col_sum.resize(n, 0); // 开始从(0, 0)位置进行深搜 dfs(0, 0); cout << cnt << endl; // 输出最终结果 return 0; } void dfs(int i, int j) { if(i >= n){ // 如果已经超出边界说明完成了整个矩阵的一次构建 bool valid = true; for(int k=0;k<n && valid;++k){ if(col_sum[k]!=l){ valid=false; } } if(valid){ ++cnt; // 记录一次有效的矩阵配置 } return ; } // 下一步要访问的位置索引计算 int ni=i+(j+1)/n; int nj=(j+1)%n; // 对于当前格子可以放置的最大最小值判断 int min_val=max(l-row_sum[i], l-col_sum[j]); int max_val=min(l-row_sum[i], l-col_sum[j]); if(min_val<=max_val){ for(int val=min_val;val<=max_val;val++){ row_sum[i]+=val; col_sum[j]+=val; dfs(ni,nj); // 进入下一层 // 回溯恢复现场 row_sum[i]-=val; col_sum[j]-=val; } } } ``` --- #### 复杂度分析 由于需要枚举所有的可能性，因此时间复杂度较高。具体来说： - 不同输入参数下的实际运行次数会因剪枝效果而有所不同。 - 在最坏情况下，可能接近指数级增长。 然而，得益于合理的剪枝机制，实际性能表现通常优于理论上限。 --- ###