二分查找的时间复杂度计算
时间: 2025-05-12 11:38:42 浏览: 21
### 二分查找时间复杂度计算公式的分析
#### 时间复杂度的概念
评价一个算法的好坏,通常会考虑其时间复杂度和空间复杂度。其中,时间复杂度用于衡量算法执行所需的时间随输入规模增长的变化趋势[^1]。
#### 二分查找的核心原理
二分查找是一种基于分治思想的高效查找算法。它的基本思路是通过不断将目标范围缩小一半的方式逐步逼近目标值的位置。具体来说,在有序数组中进行查找时,每次比较都会将当前区间的中间值与目标值对比,从而决定继续在左半部分还是右半部分进行下一轮查找[^2]。
#### 时间复杂度推导过程
假设初始数组大小为 \( N \),则经过每一步操作后剩余未被排除的部分长度变为原来的一半:
- **第一次**检索区间长度:\( N/1 = N \)
- **第二次**检索区间长度:\( N/2 \)
- **第三次**检索区间长度:\( N/4 \)
- ...
- **第 k 次**检索区间长度:\( N / (2^{k-1}) \)[^5]
当最终仅剩下一个元素时停止搜索,则有如下关系成立:
\[ N / (2^m) = 1 \]
由此可以得出迭代次数 \( m \) 的表达式为:
\[ m = \log_2(N) \][^4]
这表明,在最坏的情况下(即目标不存在于列表或者位于最后一个可能位置),整个过程中总共需要执行大约等于以 2 为底数取对数形式的操作步数来完成全部流程。
#### 复杂度表示
根据上述结论可知,二分查找算法具有非常优秀的性能表现—其时间复杂度仅为 O(log₂N),远优于简单线性扫描方式所需的 O(N) 级别效率[^3]^。
```python
def binary_search(arr, target):
low, high = 0, len(arr)-1
while low <= high:
mid = (low + high)//2
if arr[mid] == target:
return mid
elif arr[mid] < target:
low = mid + 1
else:
high = mid - 1
return -1
```
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