问题 D: 【提高】八皇后 时间限制: 1.000 Sec 内存限制: 16 MB 题目描述 会下国际象棋的人都很清楚：皇后可以在横、竖、斜线上不限步数地吃掉其他棋子。如何将8个皇后放在棋盘上（有8 * 8个方格），使它们谁也不能被吃掉！这就是著名的八皇后问题。 对于某个满足要求的8皇后的摆放方法，定义一个皇后串a与之对应，即a=b1b2...b8，其中bi为相应摆法中第i行皇后所处的列数。已经知道8皇后问题一共有92组解（即92个不同的皇后串）。 给出一个数b，要求输出第b个串。串的比较是这样的：皇后串x置于皇后串y之前，当且仅当将x视为整数时比y小。 输入 第1行是测试数据的组数n，后面跟着n行输入。每组测试数据占1行，包括一个正整数b(1 <= b <= 92) 输出 输出有n行，每行输出对应一个输入。输出应是一个正整数，是对应于b的皇后串。 样例输入 Copy 2 1 92 样例输出 Copy 15863724 84136275 GPLv2 licensed by HUSTOJ 2025 递归与地推，用C++

<think>好的，我现在得仔细看一下这个问题。题目是关于八皇后问题的，要求根据输入的b值输出对应的皇后串。已知共有92种解，而每个解对应的字符串是按字典序排列的。那我该怎么解决这个问题呢？ 首先，我得明白八皇后问题的解法。八皇后问题通常用回溯法来解，每个皇后放在不同的行和列，且不能在同一斜线上。所以，我需要生成所有符合条件的八皇后排列，然后按字典序排序，最后根据输入的b值输出对应的那个串。 那具体步骤是怎样的呢？可能的步骤包括： 1. 生成所有合法的八皇后排列。每个排列可以用一个长度为8的数组表示，数组的每个元素表示该行皇后所在的列号。例如，数组的第i个元素是j，表示第i+1行的皇后在第j+1列（或者是否从0开始？需要确认存储方式）。 2. 将这些排列按照字典序排序。因为题目里说明皇后串的比较是将x视为整数时比y小，所以每个排列转换成字符串后，应该按字符串的自然顺序排序。比如，15863724和84136275这两个例子，比较的时候就是按字符串的顺序比较，而不是数值的大小，因为可能有前导零的问题？不过题目中的例子输出没有前导零，所以可能每个数字都是1-8的数字，所以直接转换为字符串比较即可。 3. 对于每个输入的b，找到排序后的第b-1个元素（因为输入从1开始）并输出。 所以，现在的问题是如何生成所有合法的八皇后排列，然后按顺序排列，最后输出对应的结果。 接下来，我需要考虑如何高效地生成这些排列。八皇后共有92种解，回溯法应该足够应付，因为8x8的规模不大。那么如何用回溯法生成所有可能的解？ 回溯法的思路是逐行放置皇后，在每一行中尝试所有可能的列，检查是否与之前放置的皇后冲突。如果不冲突，就递归到下一行，直到第八行放置完毕，记录一个解。当所有可能都尝试过后，就能得到所有解。 关键点在于如何检查冲突。对于当前行row，列col的位置，需要检查是否与之前0到row-1行的皇后在同一列，或者在同一斜线上（即行的差等于列的差的绝对值）。 例如，假设之前某行的皇后放在(i, cols[i])的位置，现在要放在(row, col)，则必须满足cols[i] != col，并且abs(row - i) != abs(col - cols[i])。 所以，在回溯过程中，每次放置一个皇后时，都要检查与之前所有已放置的皇后是否冲突。 然后，当找到一个完整的八皇后排列时，将其保存到一个列表中。最后将这个列表按照字典序排序。 那如何按字典序排序呢？每个解可以表示为一个字符串，比如第一个解是15863724，对应的数组是[0,4,7,5,2,6,1,3]（假设列号是从0开始还是1开始？可能要看具体实现。题目中的例子输出是15863724，每个数字是1-8，说明列号是从1到8的。例如，第一个数字1，表示第一行的皇后在列1的位置。） 所以，在存储的时候，列号应该用1到8的数字。那么在回溯的时候，每个位置的选择应该是从1到8，或者需要调整？或者可能，在存储的时候转换为1到8的数字。 或者，可能数组中的索引是0到7，对应列号1到8，所以当生成解的时候，每个列号要加1？ 比如，假设内部用0-based的列号，那么转换成字符串时每个数字+1。比如内部数组是[0,4,7,5,2,6,1,3]，转换成字符串是1,5,8,6,3,7,2,4，即15863724。这样是否对？但样例中的第一个输出是15863724，那么对应的各个行中的列是1,5,8,6,3,7,2,4？或者行是按顺序排列的吗？ 是的，皇后串是b1到b8，其中bi是第i行的列数。所以，数组的第0位对应b1，第一位对应b2，以此类推？或者数组的索引是行号，而bi是行i+1的列？ 比如，假设我们的数组索引是0到7，对应第1行到第8行。每个元素是列号，比如数组中的元素如果是0，则表示该行的列是1？或者原题中的列数是否是1-based？ 根据样例输出，第一个解的输出是15863724，也就是每个数字都是1-8之间的，所以每个数字对应的是列号，从1到8。所以，在内部存储时，列号应该用1到8的数值，或者用0到7，然后转换的时候加1？ 例如，假设在回溯过程中，列号用0到7，那么生成解的时候，每个列号加1得到对应的字符。或者，直接在回溯的时候处理列号为1到8。 这可能会影响回溯的实现。比如，通常我们在编程中可能使用0-based索引，所以列号可能从0开始，但输出的时候需要转换为1-based。所以在保存解的时候，需要将列号加1再转换为字符串。 接下来，生成所有解的步骤： 1. 初始化一个空数组（或列表）来保存所有解。 2. 使用回溯法生成所有可能的解。每个解是一个长度为8的数组，保存每行的列号（0-based或1-based？根据上面的分析，可能内部使用0-based，然后转换为1-based的字符串）。 3. 每找到一个有效的解（即八行都放置了皇后），就将该解的列号转换为1-based，并生成对应的字符串，保存到解列表中。 然后，对解列表进行排序。因为每个解是字符串形式，可以直接用字符串比较进行排序。例如，"15863724"会排在"84136275"前面，因为第一个字符1比8小。 排序后的列表的第b-1项就是需要输出的结果。 所以，现在问题转化为如何用代码实现这一过程。 如果用C++的话，大致步骤如下： - 编写一个回溯函数，生成所有八皇后解，保存为字符串数组。 - 对字符串数组进行排序。 - 处理输入，输出对应的字符串。 那具体如何实现回溯？ 回溯函数的参数可能包括当前处理的行数，以及当前的列位置数组。对于每一行，尝试所有可能的列，检查是否与之前的行冲突。如果不冲突，继续递归到下一行。 例如，函数可能像这样： void backtrack(int row, vector<int>& cols, vector<string>& solutions) { if (row == 8) { // 生成字符串，转换为1-based列号，添加到solutions中 string s; for (int col : cols) { s += to_string(col + 1); // 假设cols保存的是0-based列号 } solutions.push_back(s); return; } for (int col = 0; col < 8; ++col) { if (isValid(row, col, cols)) { cols[row] = col; backtrack(row + 1, cols, solutions); } } } 其中，isValid函数检查在第row行，列col的位置是否可以放置皇后，而不与之前行的皇后冲突。 isValid的实现： bool isValid(int row, int col, const vector<int>& cols) { for (int i = 0; i < row; ++i) { int prev_col = cols[i]; if (prev_col == col || abs(i - row) == abs(prev_col - col)) { return false; } } return true; } 这样，每次递归调用会尝试所有可能的列，找到所有有效解。 然后，将生成的solutions排序，因为回溯的顺序可能不是字典序。例如，回溯过程中，可能先找到某些高位较大的解，但字典序要求的是更小的排列优先。 比如，假设列号是按照0到7的顺序尝试的，那么第一行选0（即列1）的情况会被优先处理。那么生成的字符串是否自然就是按字典序排列的？ 或者，可能生成的解的顺序是按回溯的生成顺序，而字典序可能需要单独排序？ 比如，假设第一行尝试列0（转换为1），第二行尝试列0（转换为1），但因为冲突，所以无法生成解。可能回溯的顺序是按列的升序进行的，所以生成的解的顺序是否是按字典序的？ 例如，对于每个位置的列选择是按从左到右（即列号从小到大）的顺序尝试的，那么生成的解的顺序可能已经是字典序排列的？或者不一定？ 比如，假设第一行选列0（转换为1），然后第二行选列4（转换为5），第三行选列7（转换为8）等，这生成的字符串是158...可能这是第一个解，但其他解可能在后面生成。所以可能生成的顺序并不是字典序排列的，所以需要将所有解收集后，进行排序。 例如，假设生成的解的顺序是回溯的顺序，那么可能不是按字符串升序排列的。例如，可能有某个解的字符串比另一个小，但在回溯过程中先生成大的那个。所以需要将所有解保存后，进行排序。 因此，在生成所有解之后，必须对它们进行排序，才能得到正确的顺序。 所以在代码中，生成所有解之后，将vector<string> solutions排序，然后根据输入的b值取出对应的索引。 例如，输入的b是1到92，对应的索引是0到91。所以，对于每个输入b，输出solutions[b-1]。 现在，测试样例中的输入1对应的输出是15863724，而第92个输出是84136275，这说明在排序后的列表中，第一个元素是15863724，最后一个元素是84136275。所以，正确的排序是必须的。 那么，现在需要确定的是，当所有解生成后，如何按字典序排列这些字符串。在C++中，可以直接使用sort函数对vector<string>进行排序，因为字符串的比较默认是按字典序的。 所以，整个算法的步骤是： 1. 生成所有八皇后解，转换为字符串形式（列号1-based）。 2. 将这些字符串排序。 3. 对于每个输入的b，输出第b-1个字符串。 现在，关于代码的具体实现，需要注意以下几点： - 列号的转换是否正确：在生成字符串时，必须将内部保存的0-based列号转换为1-based。例如，如果cols[i]保存的是0，则对应的字符是'1'。 - 回溯函数的正确性：必须正确检查每个位置是否有效，否则会导致解错误或遗漏。 - 生成所有可能的解：确保回溯正确遍历所有可能的解。 现在，编写C++代码的大纲： #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; vector<string> solutions; void backtrack(int row, vector<int>& cols) { if (row == 8) { string s; for (int c : cols) { s += to_string(c + 1); // 转换为1-based } solutions.push_back(s); return; } for (int col = 0; col < 8; ++col) { bool valid = true; for (int i = 0; i < row; ++i) { if (cols[i] == col || abs(i - row) == abs(cols[i] - col)) { valid = false; break; } } if (valid) { cols[row] = col; backtrack(row + 1, cols); } } } int main() { int n; cin >> n; vector<int> cols(8, 0); backtrack(0, cols); sort(solutions.begin(), solutions.end()); while (n--) { int b; cin >> b; cout << solutions[b-1] << endl; } return 0; } 这里可能存在错误吗？比如，cols的初始化是否正确？在第一次调用backtrack的时候，cols的初始值可能不重要，因为每一行都会尝试所有可能的列。比如，初始的cols是0，但回溯函数在row=0的时候，会尝试col从0到7，每个有效的位置都会被尝试。 是的，cols的初始值不影响，因为每次递归调用时会覆盖当前行的值。所以，这个代码应该能正确生成所有解。 然后，对solutions进行排序，然后输出对应的结果。 测试样例： 输入2，然后1和92，应输出15863724和84136275。那么，当代码生成所有解并排序之后，第一个解是否是15863724？ 假设是的，那么代码正确。 现在，可能的问题在于，回溯的顺序是否生成解的顺序是否可能已经被字典序排列了？比如，在每一行的列尝试是按0到7的顺序进行的，这样生成的解的字符串可能已经是按升序排列的？如果是的话，那么不需要排序。但实际可能并非如此。 比如，假设第一个解是15863724，那么可能是在回溯过程中先生成该解。但其他解可能生成顺序不同。例如，在后续的解中，可能有更小的字符串，但回溯的顺序可能先生成较大的解。所以，为了确保所有解按字典序排列，必须进行排序。 例如，假设回溯生成的解顺序并非字典序，那么排序是必须的。例如，假设有一个解的字符串是11111111（虽然不可能存在），它会被排在最前面，但可能先生成的解是后面的。 所以，必须进行排序才能保证输出正确的顺序。 综上，代码的结构是正确的。 现在，需要测试一下这个代码是否正确。例如，在样例输入中，当运行代码时，生成的solutions是否被正确排序？ 假设生成的解是正确排序后的，那么样例输入1的输出就是第一个元素。样例输入92的输出就是最后一个元素。 所以，代码应该能够正确通过样例。 现在，关于C++代码中的一些细节问题： - backtrack函数的参数中，cols是按引用传递的，但每次递归修改的是当前行的列值。在回溯时，当尝试不同的列时，cols会被修改。这应该是正确的，因为在递归返回后，cols[row]会被下一个循环中的col值覆盖。 - solutions的生成是否正确，每个解的字符串长度为8，每个字符是1-8的数字。 综上，这个代码应该是正确的。那问题中的用户可能需要用C++编写这样的代码，并处理输入输出。 综上所述，解决这个问题的方法是通过回溯生成所有八皇后解，转换为字符串形式，排序后按输入输出对应的结果。</think>要解决八皇后问题中的特定排列输出，可以按照以下步骤进行： ### 方法思路 1. **生成所有合法解**：使用回溯法在8x8棋盘上找到所有合法的八皇后排列。每行放置一个皇后，确保不与之前的皇后冲突（不同列、不同斜线）。 2. **转换为字符串**：将每个解转换为字符串形式，列号使用1到8表示。 3. **排序解集**：将所有解按字典序排序。 4. **按输入输出结果**：根据输入的序号输出对应的解字符串。 ### 解决代码 ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; vector<string> solutions; // 存储所有解的字符串 // 回溯生成所有八皇后解 void backtrack(int row, vector<int>& cols) { if (row == 8) { string s; for (int c : cols) { s += to_string(c + 1); // 转换为1-based列号 } solutions.push_back(s); return; } for (int col = 0; col < 8; ++col) { bool valid = true; for (int i = 0; i < row; ++i) { if (cols[i] == col || abs(i - row) == abs(cols[i] - col)) { valid = false; break; } } if (valid) { cols[row] = col; backtrack(row + 1, cols); } } } int main() { int n; cin >> n; vector<int> cols(8, 0); // 初始化列数组 backtrack(0, cols); // 生成所有解 sort(solutions.begin(), solutions.end()); // 按字典序排序 while (n--) { int b; cin >> b; cout << solutions[b - 1] << endl; // 输出第b个解 } return 0; } ``` ### 代码解释 1. **回溯函数**：逐行尝试放置皇后，检查与之前皇后的冲突。若合法则递归处理下一行，直到生成完整解。 2. **字符串转换**：将每行的列号（0-based）转换为1-based，拼接成字符串保存。 3. **排序解集**：将所有解按字典序排序，确保输出顺序正确。 4. **处理输入输出**：读取输入序号，输出对应解字符串。 此方法高效生成所有解，并按字典序排序后快速响应查询，适用于题目要求的约束条件。