雅可比伪逆求冗余自由度机械臂逆解

### 雅可比伪逆法用于冗余自由度机械臂逆运动学 对于冗余自由度机械臂而言，雅可比伪逆方法是一种有效的求解逆运动学问题的技术。这种方法不仅能够处理多于六个自由度的情况，还能优化某些性能指标，比如最小化关节速度或保持机械臂远离奇异构型。 #### 方法原理 雅可比矩阵 \( J \) 描述了末端执行器的速度与各关节角速度间的关系： \[ v = J(q)\dot{q} \] 其中 \( q \) 表示关节变量向量，\( \dot{q} \) 是其时间导数即关节速度矢量，而 \( v \) 则代表期望的笛卡尔空间内的线性和角速度[^1]。 当面对冗余自由度时，直接求解上述方程可能不存在唯一解；此时引入摩尔-彭罗斯广义逆（也称为伪逆），记作 \( J^\dagger \)，则有： \[ \dot{q}=J^\dagger (q)v+(I-J^\dagger J)\eta \] 这里 \( I \) 为单位阵，\(\eta\)是一个任意的选择项用来表示额外自由度的方向[^4]。 此表达式允许在满足给定任务需求的同时利用多余自由度来追求其他目标，例如使整体动作更加平滑或是避开障碍物等。 #### Python 示例代码 下面给出一段简单的Python代码片段展示如何应用雅可比伪逆来进行逆运动学计算: ```python import numpy as np def jacobian_pseudo_inverse(jacobian_matrix): """ 计算雅可比矩阵的伪逆 """ u, s, vh = np.linalg.svd(jacobian_matrix) pseudo_inv_jac = vh.T @ np.diag(1 / s) @ u.T return pseudo_inv_jac def ik_solver(desired_velocity, current_joint_angles, null_space_vector=None): """ 解决逆运动学问题 """ # 假设已知当前状态下的雅可比矩阵 jacobi_mat = compute_jacobian(current_joint_angles) # 获取雅可比伪逆 pinv_jac = jacobian_pseudo_inverse(jacobi_mat) if null_space_vector is None: joint_velocities = pinv_jac @ desired_velocity else: identity_minus_pinvj_j = np.eye(len(pinv_jac)) - pinv_jac @ jacobi_mat joint_velocities = pinv_jac @ desired_velocity + \ identity_minus_pinvj_j @ null_space_vector return joint_velocities # 定义一个函数用于实际环境中获取雅克比矩阵 def compute_jacobian(joint_angles): ... ```