首页若一个算法的时间复杂度表示为 T(n)=2T(n−1)+n，请给出其大O表示法及其计算过程。

若一个算法的时间复杂度表示为 T(n)=2T(n−1)+n，请给出其大O表示法及其计算过程。

时间: 2025-03-07 13:01:09 浏览: 30

### 计算递归算法 T(n) = 2T(n-1) + n 的大 O 符号对于给定的递归关系 $ T(n) = 2T(n-1) + n $，为了找到其时间复杂度的大 O 表示法，可以采用展开方法来观察模式并最终得出结论。 #### 展开递归方程通过逐步替换 $ T(n-k) $ 来扩展原始递归定义： \[ T(n) = 2T(n-1) + n \] 继续替换直到达到基本情况（假设当 $ n=0 $ 或者某个常数时停止），可以看到每一层都会增加一个线性的项，并且系数会翻倍: \[ \begin{align*} T(n) &= 2[T(n-1)] + n \\ &= 2[2(T(n-2)+ (n-1))] + n\\ &= 2^2T(n-2) + 2(n-1) + n\\ &= ...\\ &= 2^nT(0) + 2^{n-1}\cdot1 + 2^{n-2}\cdot2 +...+ 2^1\cdot(n-1) + 2^0\cdot n \end{align*} \][^1] 这里注意到最后一行实际上是一个几何序列加上了一个等差乘以指数的形式。考虑到 $ T(0) $ 是一个固定值, 可以忽略不计因为这不会影响渐近行为. #### 分析求和部分现在关注剩余的部分，即求和表达式： \[ S_n=\sum_{k=0}^{n}(n-k)\times2^k \] 这是一个典型的组合形式，在这种情况下可以直接应用已知的结果或进一步简化处理。由于每次迭代都增加了两倍的数量级，因此整体增长趋势呈现指数级别。根据上述分析可知该递归式的解决方案属于指数型的增长率，具体来说是 $ O(2^n) $[^2]。 ```python def recursive_function(n): if n == 0: return c # 基本情况下的返回值c为常量 else: return 2 * recursive_function(n - 1) + n ```

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