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一阶低通滤波器z域传函是什么

时间: 2025-03-01 15:50:05 浏览: 61

### 一阶低通滤波器 Z 域传递函数对于离散时间系统中的数字实现，一阶低通滤波器可以通过差分方程描述其行为。给定的差分方程可以转换到Z域以获得更直观的理解。假设连续时间的一阶低通滤波器具有如下形式的时间常数 $ T_c = \frac{1}{2\pi f_c} $，其中 $ f_c $ 是截止频率。当这个模拟滤波器被数字化时，通常采用双线性变换法来进行映射。该方法能够有效地将s平面映射至z平面上，从而保持稳定性和频响特性[^1]。通过应用双线性变换，得到的一阶低通滤波器在Z域内的传递函数表达式为： \[ H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{\alpha }{(z-(1-\alpha))}, \] 这里， \[ \alpha = \frac{T_s}{T_s + T_c}= \frac{Ts*2\pi fc}{Ts*2\pi fc + 1}\quad (0<α<1), \] $ T_s $ 表示采样周期，而 $ T_c $ 则代表上述提到的时间常数值。此公式展示了如何从已知参数计算出用于MATLAB或其他编程环境中实际使用的系数。为了更好地理解这一过程以及验证所推导出来的传递函数，在MATLAB中编写一段简单的脚本来展示这种类型的滤波效果可能是很有帮助的做法之一。 ```matlab % 参数设定 Fs = 1e3; % 采样率(Hz) Fc = 100; % 截止频率(Hz) % 计算 alpha 系数 a = 1 / (1 + Fs/(2*pi*Fc)); % 创建FIR滤波器对象 [b,a_d]=butter(1,Fc/(Fs/2),'low'); % 显示零极点分布图与幅相响应曲线 figure; subplot(2,1,1); zplane(b,a_d); title('Pole-Zero Plot'); grid on; subplot(2,1,2); [h,f]=freqz(b,a_d,[],Fs); plot(f,abs(h)); xlabel('Frequency [Hz]'); ylabel('|H(e^{jω})|');title(['Magnitude Response at Fc=',num2str(Fc)]); grid on; ```

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