题目描述 有一个 n×m 的矩形表格，其中有一些位置有障碍。现在要在这个表格内放一些 1×2 或者 2×1 的多米诺骨牌，使得任何两个多米诺骨牌没有重叠部分，任何一个骨牌不能放到障碍上。并且满足任何相邻两行之间都有至少一个骨牌横跨，任何相邻两列之间也都至少有一个骨牌横跨。求有多少种不同的放置方法，注意你并不需要放满所有没有障碍的格子。 输入格式 第一行两个整数 n,m。 接下来 n 行，每行 m 个字符，表示这个矩形表格。其中字符 x 表示这个位置有障碍，字符 . 表示没有障碍。 输出格式 一行一个整数，表示不同的放置方法数对 19901013 取模的值。

<think>嗯，我现在得仔细看看这个问题。题目是说，在一个n乘m的矩形网格里，有一些障碍物。然后我们要放置1x2或者2x1的多米诺骨牌，满足几个条件。首先，骨牌不能重叠，也不能放在障碍物上。然后，任何相邻的两行之间必须至少有一个骨牌横跨，也就是说，比如在第i行和第i+1行之间的同一列的位置有一个竖着的骨牌。同样，相邻的两列之间也必须有一个横跨的横放骨牌。最后要计算满足这些条件的放置方法的总数，模上19901013。 首先，我得理解题意。关键点是相邻行和列之间必须有一个跨过的骨牌。比如相邻行之间必须有至少一个竖放的骨牌，这样它就会占据相邻两行的同一列的两个格子。同理，相邻列之间必须有一个横放的骨牌，占据相邻两列的同一行的两个格子。同时，整个放置方式不需要铺满所有非障碍格子，只要满足条件即可。 这个问题看起来像是一个复杂的组合计数问题，可能需要状态压缩的动态规划或者容斥原理。因为要考虑行和列的条件，同时还要处理障碍物，这可能需要多维的状态设计。 首先，障碍物的存在会影响骨牌的放置。每个骨牌必须完全放在没有障碍物的格子上。所以，在放置的时候，必须确保两个格子都是可用的。 然后，相邻行和列的条件是必须满足的。比如，对于每一对相邻的行i和i+1，必须存在至少一个位置j，使得在行i的j列和行i+1的j列有一个竖放的骨牌。同样，对于相邻的列j和j+1，必须存在至少一个位置i，使得在列j的i行和列j+1的i行有一个横放的骨牌。 这似乎需要同时满足行和列的覆盖条件，并且要考虑如何统计所有可能的合法放置方式。这似乎很复杂，因为行和列的条件相互关联。 可能的思路是，将行和列的覆盖条件转化为必须满足的条件，然后通过容斥或者状态压缩来考虑这些条件。例如，可以先计算总共有多少种放置方式满足骨牌不重叠且不覆盖障碍，然后减去那些不满足行或列覆盖条件的情况。但容斥可能会很麻烦，因为行和列的条件之间可能有复杂的交集。 另一个思路是动态规划。比如，按行或列的顺序处理，同时记录哪些行和列的覆盖条件已经被满足。但状态可能会很大，尤其是当n和m较大时，比如n和m可能有到10这样的数值，这时候状态的数量可能变得难以处理。 或者，可能可以将问题分解为行条件和列条件的独立处理。例如，先处理所有行的覆盖条件，再处理列的，或者同时处理。但是这可能并不容易，因为行和列的覆盖条件可能相互影响。 现在，我需要仔细分析问题的各个条件，并寻找可能的解法。 首先，行覆盖的条件：对于每一对相邻的行i和i+1，必须存在至少一个竖放的骨牌跨过这两行。也就是说，在某个列j的位置，i行的j列和i+1行的j列必须被同一个竖放的骨牌占据。类似地，列覆盖的条件是，对于每一对相邻的列j和j+1，必须存在至少一个横放的骨牌跨过这两列。 这些条件必须同时满足。所以，我们需要在放置骨牌的时候，确保所有这些行和列的覆盖条件都被满足。同时，骨牌之间不能重叠，并且不能覆盖障碍物。 那么，如何将这些条件转化为状态变量？ 可能的动态规划状态需要记录： - 当前处理到哪个位置（比如，按行处理或者按某种顺序处理每个格子）。 - 当前行的覆盖情况（哪些行之间的覆盖条件已经满足）。 - 当前列的覆盖情况（哪些列之间的覆盖条件已经满足）。 - 当前行的放置方式，以避免冲突。 但这似乎会导致状态爆炸，尤其是当n和m较大时，状态变量的维度可能无法处理。 或者，可能需要将问题分成两个独立的部分：处理行的覆盖条件和列的覆盖条件。例如，先确定哪些行之间有竖放的骨牌，满足行的覆盖条件，同时这些竖放的骨牌的位置也影响列的覆盖条件。同样，横放的骨牌的位置也会影响列的覆盖条件，并且需要满足所有相邻列的覆盖条件。 这似乎非常复杂，难以分开处理。 另一个可能的思路是，将问题转化为必须覆盖所有行和列的“分界线”的条件。例如，每个行之间的分界线必须被至少一个竖放的骨牌覆盖，每个列之间的分界线必须被至少一个横放的骨牌覆盖。这可能类似于一种覆盖问题，需要同时覆盖这些分界线。 这种情况下，问题可能类似于二维的覆盖问题，需要覆盖所有的行分界线和列分界线，同时放置的骨牌不能互相重叠，并且不能覆盖障碍物。 这似乎类似于一个二维的精确覆盖或至少覆盖问题，但精确覆盖通常使用回溯或Dancing Links算法，这在较大的网格中可能不可行。因此，可能需要更高效的动态规划方法。 或许，可以将行分界线和列分界线的覆盖情况作为状态变量。例如，对于行分界线来说，共有n-1条行分界线（比如，行0和行1之间的分界线，行1和行2之间的分界线，直到行n-2和行n-1之间的分界线）。同样，列分界线共有m-1条。每个分界线必须被至少一个骨牌覆盖。 那么，我们的目标是放置骨牌，使得所有的行分界线和列分界线都被覆盖，并且满足其他条件。 但这样的条件可能需要同时处理行和列的覆盖状态，这可能非常困难，尤其是当n和m较大时。例如，如果n和m各是10，那么行分界线有9条，列分界线有9条，状态数为2^(9+9)，这显然不可行。 或许，可以想到容斥原理：总共有多少种放置方式，不考虑行和列的覆盖条件，然后减去那些不满足某些行或列覆盖条件的放置方式。但行和列的条件之间有交集，可能需要复杂的容斥处理。 例如，总共有S种合法的放置方式（不考虑行和列的条件），然后需要减去那些不满足至少一行分界线未被覆盖的情况，加上那些同时不满足两个行分界线的，依此类推。同时，同样处理列的情况，以及行和列的交叉情况。这样的容斥方式可能需要处理大量的组合情况，这在n和m较大的情况下可能无法处理。 例如，n=5时，行分界线有4条。容斥可能需要考虑所有可能的子集，每个子集表示这些分界线未被覆盖。这显然在n和m较大时无法处理，因为子集数量是2^(n-1 + m-1)，当n和m是10的话，就有18条分界线，导致2^18=262144种情况，这在容斥中可能可以处理，但具体实现可能比较复杂。 但问题中的障碍物可能让这种情况变得更复杂，因为不同的分界线的覆盖情况可能相互影响，并且障碍物的存在会影响某些骨牌是否可以放置。 或许，这题的解法是采用容斥原理，将问题转化为总方案数减去不满足某些行或列条件的方案数，再加上同时不满足多个条件的方案数等等。同时，结合动态规划来处理障碍物和骨牌放置的限制。 那么，可能的步骤如下： 1. 计算所有合法的骨牌放置方式的总数S，不考虑行和列的分界线条件。这可能可以通过动态规划来处理，例如按格子顺序处理，记录当前行的放置状态，如每个格子是否被覆盖，或者按行处理，记录当前行的覆盖方式等。但障碍物可能让这变得复杂。 2. 应用容斥原理，计算满足所有行分界线和列分界线被覆盖的条件的方案数。这可能需要枚举哪些行分界线和列分界线没有被覆盖，然后根据容斥的符号进行加减。 但如何快速计算在禁止某些行分界线和列分界线被覆盖的条件下的合法放置数目？ 或者，可以认为，对于每个行分界线i，必须被至少一个竖放的骨牌覆盖；对于每个列分界线j，必须被至少一个横放的骨牌覆盖。所以，总合法数目等于总方案数S，减去那些不满足至少一个行分界线或者列分界线的方案数，加上同时不满足两个的，等等。 也就是，通过容斥，枚举所有可能不被覆盖的行分界线和列分界线的集合，然后用容斥的系数来计算。 假设A是行分界线的集合，B是列分界线的集合，那么我们需要计算的是：总和中的每个元素是那些所有未被覆盖的行分界线属于A，未被覆盖的列分界线属于B的方案数，然后乘以(-1)^{|A| + |B|}，这样总和的结果就是所有行和列分界线都被覆盖的方案数。 因此，总答案等于Σ_{A⊆行分界线集合} Σ_{B⊆列分界线集合} (-1)^{|A|+|B|} * f(A, B)，其中f(A,B)是允许行分界线集合A中的分界线不被覆盖，列分界线集合B中的分界线不被覆盖的合法放置方式数目。 这似乎可行，但关键是如何计算f(A,B)的值。这里的f(A,B)表示在放置骨牌时，不考虑任何属于A的行分界线的覆盖要求，也不考虑任何属于B的列分界线的覆盖要求的方案数。也就是说，行分界线中的每个分界线i属于A的话，可以被覆盖也可以不被覆盖；但不在A中的行分界线必须被覆盖吗？或者，这里可能我的理解有误。 哦，容斥的思路是，总方案数等于所有可能的放置方式，减去那些至少不满足一个行分界线或者列分界线条件的方案数。而通过容斥，可以将所有可能的违反条件的情况进行组合计算。 所以，这里A是选中的行分界线不被覆盖的集合，B是选中的列分界线不被覆盖的集合。因此，在计算f(A,B)时，对于这些选中的行分界线和列分界线，允许它们不被覆盖，而非选中的必须被覆盖吗？或者，可能我的容斥模型需要重新考虑。 实际上，正确的容斥模型应该是这样的：我们需要计算所有满足所有行分界线被覆盖且所有列分界线被覆盖的方案数。根据容斥原理，这等于总方案数（不考虑任何条件）减去不满足至少一个行分界线或者列分界线的条件的情况，加上不满足至少两个的情况，依此类推。 所以，答案等于Σ_{S⊆行分界线∪列分界线} (-1)^{|S|} * g(S)，其中g(S)是放置方案中，至少不覆盖S中的所有分界线的方案数。但这里的S可能包含行分界线和列分界线的混合，这可能导致难以处理。 或者，可以将行分界线和列分界线视为两个独立的集合，应用二维的容斥。例如，总共有R个行分界线和C个列分界线。那么，我们需要计算： 答案 = Σ_{A⊆R} Σ_{B⊆C} (-1)^{|A|+|B|} * f(A,B) 其中，f(A,B)是那些行分界线集合A中的分线不被覆盖，列分界线集合B中的分线不被覆盖的合法放置方式的数目。或者说，在计算f(A,B)时，允许A中的行分界线不被覆盖，允许B中的列分界线不被覆盖，而其他分界线是否必须被覆盖？ 这个时候，可能我之前的理解是错误的。正确的容斥可能应该是，对于每个分界线（行或列），我们可以选择是否强制它不被覆盖。然后，通过容斥来排除这些情况。例如，假设我们有一个集合A的行分界线和集合B的列分界线，这些分界线被强制不允许被覆盖。即，在这些分界线上，不能有任何骨牌跨过。例如，A中的行分界线i，意味着在第i和i+1行之间不能有竖放的骨牌。同样，B中的列分界线j，意味着在第j和j+1列之间不能有横放的骨牌。那么，此时需要计算在满足这些禁止条件的放置方式数目，并根据容斥的系数进行加减。 如果这样的话，那么对于每个A和B的组合，需要计算满足以下条件的放置方式数目： - 骨牌放置符合不重叠、不覆盖障碍物的要求。 - 对于每个行分界线i属于A，不能有任何竖放的骨牌跨过该行分界线。即，在行i和i+1之间的同一列的位置，不允许有竖放的骨牌。 - 对于每个列分界线j属于B，不能有任何横放的骨牌跨过该列分界线。即，在列j和j+1之间的同一行的位置，不允许有横放的骨牌。 这样，f(A,B)就是满足这些条件的合法放置方式的数目。然后，根据容斥原理，总答案等于Σ_{A⊆行分界线} Σ_{B⊆列分界线} (-1)^{|A| + |B|} * f(A,B)。因为，当A和B为空集时，这对应所有行和列分界线都被允许的情况，而当A或B不为空时，这些分界线被禁止，从而在容斥中被减去或加上。 这样的模型可能更合理。那现在的问题转化为，如何计算对于给定的行禁止集合A和列禁止集合B，计算满足条件的放置方式数目f(A,B)。然后，枚举所有可能的A和B，计算相应的贡献，并累加得到最终答案。 现在，如何计算f(A,B)？ 在这种情况下，A和B中的分界线被禁止跨过，所以： - 在行分界线i属于A的情况下，不能在行i和i+1之间放置竖放的骨牌。因此，在行i和i+1的同一列的位置，如果这两个格子都没有障碍物，那么不能竖放骨牌。即，这些格子只能被横放的骨牌覆盖，或者不被覆盖。 - 在列分界线j属于B的情况下，不能在列j和j+1之间放置横放的骨牌。因此，在列j和j+1的同一行的位置，如果这两个格子都没有障碍物，那么不能横放骨牌。即，这些格子只能被竖放的骨牌覆盖，或者不被覆盖。 此时，我们需要计算在允许的情况下，所有可能的骨牌放置方式，满足上述禁止条件，同时骨牌不重叠，不覆盖障碍物。这里的f(A,B)的数目，就是这样的放置方式的数目，不管其他分界线是否被覆盖，只要符合这些禁止条件即可。 现在，问题转化为，如何计算这样的放置方式的数目。这可能是一个经典的铺砖问题，但带有额外的约束条件，即某些行分界线和列分界线被禁止跨过。 此时，可能的解法是，将整个网格划分成若干区域，每个区域内部可以独立处理，或者需要动态规划来处理。 例如，当行分界线集合A中的某些行被禁止跨过竖放的骨牌时，那么网格被这些行分界线分割为多个水平的条带。例如，如果A包含行分界线i，那么行i和i+1之间不能有竖放的骨牌，因此这些行被分割成不同的区域，每个区域由连续的行组成，这些行之间没有被禁止的分界线。类似地，列分界线集合B中的某些列被禁止跨过横放的骨牌，导致网格被分割成垂直的条带。 这样，每个水平条带的高度为若干行，其中相邻的行之间没有被禁止的竖放分界线。同样，每个垂直条带的宽度为若干列，其中相邻的列之间没有被禁止的横放分界线。 那么，每个水平条带中的行之间可以自由放置竖放的骨牌，而垂直条带中的列之间可以自由放置横放的骨牌。但根据禁止的条件，这些条带之间不能跨过被禁止的分界线。例如，水平条带的内部可以放置竖放的骨牌，因为它们的分界线没有被禁止。而垂直条带的内部可以放置横放的骨牌。 因此，整个网格被分割成多个矩形区域，每个区域是水平条带和垂直条带的交叉部分。每个这样的区域的骨牌放置必须满足：在区域内，可以自由放置横放或竖放的骨牌，但不能跨出该区域的边界。例如，在水平条带内部，不能跨出该条带的行范围；在垂直条带内部，不能跨出该条带的列范围。这可能意味着，每个这样的区域中的骨牌必须完全包含在该区域内，并且它们的放置方式必须满足相邻区域之间的禁止条件。 例如，假设行分界线集合A分割网格为若干水平条带，每个水平条带由一组连续的行组成。例如，水平条带可能是行0-2，行3-5等，如果分界线2和5被禁止的话。同样，列分界线集合B分割网格为垂直条带，每个垂直条带由连续的列组成。 此时，每个水平条带中的行之间可以放置竖放的骨牌，因为它们的行分界线没有被禁止。同样，每个垂直条带中的列之间可以放置横放的骨牌，因为它们的列分界线没有被禁止。但是，跨出这些条带的骨牌是不允许的，因为对应的分界线被禁止。 因此，整个网格的放置方式可以分解为各个子区域的独立放置，因为不同子区域之间的分界线被禁止跨过。因此，各个子区域的放置方式是相互独立的。因此，整个问题可以分解为每个子区域的独立问题，然后总的放置方式数目等于各个子区域放置方式数目的乘积。 因此，计算f(A,B)的关键是将网格分割为这样的子区域，并计算每个子区域的合法放置方式数目，然后将它们相乘得到总的数目。 那么，如何分割网格？ 首先，确定行分界线集合A中的分界线，将行分割为多个水平条带。例如，假设原来的行是0到n-1，行分界线i分割行i和i+1。如果A中的分界线是i1, i2, ..., 则这些分界线将行分割为若干连续的块。例如，分界线0，2被禁止，那么行被分割为块0，块1-2，块3-...等，具体要看分界线的位置。 同样，列分界线集合B中的分界线将列分割为多个垂直条带。例如，列分界线j分割列j和j+1，如果被禁止的话，则列被分割为连续的块。 然后，每个水平条带和垂直条带的交叉部分形成一个子区域。例如，水平条带的行范围是r1到r2，垂直条带的列范围是 c1到 c2。这个子区域的大小是 (r2 - r1 +1)行 × (c2 -c1 +1)列。这个子区域的放置方式必须满足： 1. 不能跨出该子区域的行或列边界。例如，在该子区域内的行之间可以放置竖放的骨牌，但只能在r1到 r2之间的行之间。同样，列之间可以放置横放的骨牌，只能在 c1到 c2之间的列之间。 2. 子区域内的障碍物必须被考虑，即骨牌不能覆盖障碍物。 在这种情况下，每个子区域的放置方式数目等于该子区域内部不考虑任何行或列分界线的条件下的合法放置方式数目。因为，分界线的禁止已经被处理，所以子区域内部的行和列分界线已经被允许，或者说，在子区域内部的分界线没有被禁止，所以可以自由放置骨牌。因此，每个子区域的合法放置方式数目等于该区域内可以放置任意不重叠的骨牌，不覆盖障碍物的方案数。这和原问题中的初始条件不同，这里的子区域的放置方式不需要满足任何行或列的分界线条件，只要满足不覆盖障碍物，不重叠即可。 哦，这样吗？例如，对于每个子区域，内部的放置方式可以是任意的，只要满足不重叠和障碍物条件即可，因为此时行分界线集合A和列分界线集合B已经决定了哪些分界线被禁止。例如，在水平条带内部的分界线没有被禁止，所以可以在这些分界线上放置竖放的骨牌，但不会跨出该水平条带。同样，垂直条带内部的分界线没有被禁止，所以可以在这些分界线上放置横放的骨牌，但不会跨出垂直条带。因此，每个子区域的放置方式数目等于该区域内的标准骨牌覆盖方式数目，即允许放置任何可能的1x2或2x1的骨牌，不重叠、不覆盖障碍物的所有可能方式的数目，无论是否覆盖分界线。 所以，问题转化为，对于每个子区域，计算其允许的放置方式数目，然后将所有子区域的数目相乘，得到总的f(A,B)的值。 因此，现在的问题是如何计算每个子区域的放置方式数目。这看起来像是一个标准的铺砖问题，即在一个给定的网格中，有些格子是障碍物，求铺1x2或2x1的骨牌的方案数，允许不铺满所有格子。 但铺砖问题通常要求铺满所有格子，而这里的情况是允许部分铺，只要满足放置条件即可。因此，这里的每个子区域的放置方式数目等于所有可能的子集，其中每个骨牌占据两个相邻的未被障碍物覆盖的格子，且不重叠。这包括铺零个或多个骨牌，只要满足条件。 例如，对于每个子区域，放置方式数目等于所有可能的骨牌放置方式，满足不重叠、不覆盖障碍物，且骨牌完全位于子区域内。这里的每个骨牌可以放在任何地方，只要满足这两个条件，而无需铺满所有可用格子。因此，每个子区域的方案数目是选择任意数量的骨牌，满足这些条件的方式数。 如何计算这样的方案数目？ 这似乎是一个比较困难的问题。因为，铺砖问题在允许部分铺的情况下，情况数目可能变得非常复杂。例如，每个格子可以选择被覆盖或者不被覆盖，但相邻的格子可能被同一块骨牌覆盖。这种情况下，传统的动态规划方法可能需要记录大量的状态，尤其是当子区域的尺寸较大时。 例如，对于一个w×h的子区域，其中w和h可能达到10，那么动态规划可能需要处理每个行的状态，如每行的覆盖情况，这在较大的尺寸下可能不可行。 但原题中的n和m的范围是多少？题目输入格式中的n和m可能有一定的限制，比如n和m不超过10。例如，假设n和m不超过10，那么子区域的尺寸可能不超过10x10，这时候，标准的状态压缩动态规划可能可行。 例如，对于每个子区域，可以看作是独立的网格，其中某些格子是障碍物。我们需要计算该网格中所有可能的合法骨牌放置方式的数目。这里的合法放置方式指的是，骨牌不重叠，不覆盖障碍物，且每个骨牌完全位于该子区域内。 这类似于求该子区域的独立集的数目，其中每个骨牌占据两个相邻的格子，且这些骨牌之间不相交。这里的独立集是骨牌的集合，满足两两之间没有重叠。 这被称为“domino tiling”问题的一个变种，允许部分覆盖，并且存在障碍物。这种情况下，可能的解法是使用动态规划，按行处理，记录当前行的覆盖状态。例如，使用轮廓线动态规划（插头DP）的方法。 但是，这样的动态规划对于每个子区域来说，可能需要较多的计算时间。特别是当子区域的尺寸较大时，例如10x10的网格，这样的动态规划可能不现实。然而，如果原题中的n和m都不超过10，那么每个子区域的尺寸可能较小，所以这样的动态规划可能可行。 例如，假设原题的n和m不超过10，那么每个子区域的行数和列数最多可能也是10，那么动态规划的状态数可能为O(2^m)或类似，这在m=10时是1024种状态，可能可行。 因此，问题的步骤可能如下： 1. 对于给定的A和B，将网格分割成水平条带和垂直条带，形成若干子区域。 2. 对于每个子区域，计算其中的合法放置方式数目，即允许放置任意数量的骨牌，只要满足不重叠、不覆盖障碍物，并且骨牌完全位于该子区域内。 3. 将所有这些子区域的数目相乘，得到f(A,B)的值。 然后，根据容斥原理，将所有可能的A和B的组合的结果相加，并乘以相应的符号项(-1)^{|A|+|B|}，得到最终答案。 现在，问题的关键点在于： - 如何高效地枚举所有可能的A和B的组合？ - 如何高效地分割网格为子区域？ - 如何高效计算每个子区域的放置方式数目？ 对于枚举A和B的问题，如果n和m较小（例如，n和m不超过10），那么行分界线的数量是n-1，列分界线的数量是m-1。所以，A的可能数目是2^{n-1}，B的可能数目是2^{m-1}。总的组合数目是2^{(n-1)+(m-1)}。当n和m为10时，这等于2^18=262144种组合。对于每种组合，需要计算f(A,B)。这可能在时间上是可行的，如果每个f(A,B)的计算时间足够快。 分割网格为子区域的部分，可以通过预处理每个A和B的分割方式，然后对每个子区域进行处理。例如，对于行分割，可以预处理A中的分界线，得到所有连续的行区间。同样，对于列分割，处理B中的分界线，得到连续的列区间。 例如，假设A是行分界线的集合，可以将行分割为连续的块。例如，对于行0到n-1，分界线0到n-2。假设A包含分界线i，则行i和i+1之间不能有竖放的骨牌。那么，分割后的水平条带是连续的行区间，这些区间之间被A中的分界线分割。 例如，假设n=3，行分界线0和1。如果A包含分界线0，那么行被分割为 [0], [1,2]。如果A包含分界线1，则分割为 [0,1], [2]。如果A包含两个分界线，则分割为 [0], [1], [2]。 同样的处理方式适用于列分界线。 因此，分割行和列为条带之后，每个子区域是水平条带和垂直条带的笛卡尔积。每个子区域的网格可以提取出来，并计算其放置方式数目。 然后，计算每个子区域的放置方式数目是关键。这可能需要对于每个子区域，预处理障碍物的情况，并运行动态规划来计算可能的放置方式数目。 现在，如何计算每个子区域的放置方式数目？ 假设每个子区域是r行c列的网格，其中某些格子是障碍物。我们需要计算允许放置任意数量的1x2或2x1的骨牌，不重叠、不覆盖障碍物的方案数。这里的方案数包括不放任何骨牌的情况。 这个问题与标准的铺砖问题不同，因为铺砖问题通常要求铺满所有格子，而这里允许部分放置。因此，这更像是一个“独立集”问题，其中每个骨牌占据两个相邻的格子，而不同骨牌之间不能重叠。 这个问题的一个可能的解法是，生成所有可能的骨牌放置方式，并统计符合条件的数目。然而，这在网格较大时显然不可行，因此需要更高效的动态规划方法。 这里，可以考虑状态压缩的动态规划，其中逐行处理每个格子，并记录当前行和上一行的覆盖状态。例如，对于每一行的每个格子，记录该格子是否已经被覆盖，或者是否与右侧或下侧的格子形成骨牌。 这可能需要较为复杂的动态规划状态设计。例如，可以采用轮廓线动态规划（插头DP）的方式，处理每个格子时，记录当前行和下一行的覆盖情况。 另一种方法是，将问题转化为一个图论问题，其中每个可能的放置方式对应一个匹配，并计算所有可能的匹配数目。但这种方法可能难以处理障碍物。 或者，可以利用递推的方式，考虑每个格子是否被覆盖，以及如何被覆盖。例如，对于每个格子，如果它未被障碍物占据，可以选择放置一个右向的骨牌（如果右侧格子也未被占据），或者放置一个下向的骨牌（如果下方格子也未被占据），或者不放置。但这种方法会导致重复计数，因为不同的顺序可能会生成相同的放置方式。 因此，可能需要动态规划的方式，其中状态表示当前处理到的位置，以及该行和下一行的覆盖情况。例如，使用类似砖块覆盖问题的动态规划方法，但允许部分覆盖。 例如，对于一个子区域的r行c列网格，我们可以逐行处理，每个行的状态表示该行中哪些位置已经被覆盖。例如，状态可以用一个位掩码表示，每个位表示该位置是否被覆盖。但是，这种状态的数量可能随着c的增大而指数级增长，因此在c较大的情况下可能无法处理。 例如，当c=10时，状态数是2^10=1024，这可能可行。对于每一行，我们处理每个可能的覆盖状态，并与前一行或当前行的其他部分的状态进行转移。 或者，可以使用逐格处理的方式，记录当前处理的位置以及该位置是否被覆盖，或者是否与相邻的格子形成骨牌。这可能类似于经典的铺砖动态规划方法。 例如，对于每个格子(i,j)，在状态中记录该格子是否已经被覆盖，或者是否与前一个格子形成横放的骨牌，或者与上方格子形成竖放的骨牌。这可能比较复杂。 这里，可能需要参考砖块覆盖问题的动态规划方法，但进行修改以允许部分覆盖。例如，在砖块覆盖问题中，状态通常表示当前行的覆盖情况，其中每个位置是否被前一行或当前行的骨牌覆盖。例如，状态可以是当前行各列的覆盖情况，以及这些覆盖是由竖放的骨牌还是横放的骨牌导致的。 在这种情况下，状态可能被设计为一个二进制掩码，表示当前行中哪些列已经被覆盖。例如，假设处理到第i行，j列，那么状态可以是一个二进制数，其中每一位表示该列是否已经被覆盖。同时，可能需要记录当前行和下一行的覆盖情况，以处理竖放的骨牌。 这可能需要较为复杂的状态表示，但可能对于较小的网格来说是可行的。 例如，这里是一个可能的动态规划方法： 状态：dp[i][j][mask]，表示处理到第i行第j列时，mask表示当前行和前一行某些列的覆盖状态。mask的每一位可能表示当前行或下一行的某些列是否被覆盖。例如，mask可能表示当前行中j列之后的部分是否被覆盖，或者是否有竖放的骨牌从上一行延伸到当前行。 但具体的状态设计可能因问题而异。例如，在允许部分覆盖的情况下，每个格子可以选择是否被覆盖，但每个骨牌必须占据两个相邻的格子。 例如，一种可能的状态设计是，记录当前处理的位置（i,j），以及该位置的左侧和上方的覆盖情况。例如，对于每个位置（i,j），状态可以表示： - 是否被覆盖（来自左侧的横放骨牌或上方的竖放骨牌）。 - 是否放置了一个横放的骨牌，占据该位置和右侧的位置。 - 是否放置了一个竖放的骨牌，占据该位置和下方的位置。 这可能涉及到较多的状态转移，但可以通过递推的方式进行。 例如，在处理（i,j）时，如果该位置已经被覆盖（例如，由左侧的横放骨牌或者上方的竖放骨牌覆盖），则不需要做任何事情。否则，可以选择放置一个横放的骨牌（如果右侧的格子是空的且无障碍物），或者放置一个竖放的骨牌（如果下方的格子是空的且无障碍物），或者不放置。 这种情况下，动态规划的状态可能需要记录当前行和下一行的覆盖情况。例如，当放置一个竖放的骨牌时，它会覆盖当前行i的j列和下一行i+1的j列。因此，在处理到下一行时，需要知道该位置是否已经被覆盖。 这可能使得状态设计变得复杂，尤其是当网格的行数较多时。 因此，对于每个子区域，计算其放置方式数目可能需要一个动态规划算法，其时间复杂度与子区域的尺寸相关。例如，对于每个子区域的r行c列网格，动态规划的时间复杂度可能是O(r*c*2^c)，这在c=10时，r=10的情况下，可能达到约10*10*1024=1e5次操作。对于每个子区域，这样的计算时间是可行的。 因此，整个问题的解决流程可能如下： 1. 预处理所有可能的行分界线集合A和列分界线集合B的组合。 2. 对于每个组合(A,B)，执行以下步骤： a. 将网格分割为水平条带和垂直条带，得到多个子区域。 b. 对于每个子区域，提取其对应的网格（去除被禁止的分界线外的骨牌放置），并计算其允许的放置方式数目。 c. 将各个子区域的数目相乘，得到该组合的f(A,B)。 3. 根据容斥原理，将每个组合的贡献（即 (-1)^{|A|+|B|} * f(A,B)）累加到总答案中。 现在，问题的关键在于如何高效地实现步骤2中的各个部分。 接下来，需要详细考虑如何计算每个子区域的放置方式数目。 假设子区域是r行c列的网格，其中每个格子可能有障碍物。我们需要计算所有可能的骨牌放置方式数目，允许放置任意数量，包括零个。 这个问题可以看作是一个求所有可能的合法骨牌集合的数目，其中每个骨牌占据两个相邻的格子，且所有骨牌互不重叠，且不覆盖障碍物。 这个问题可以通过动态规划来解决。例如，可以使用逐行处理的方式，记录当前行的覆盖状态。 状态可以表示为当前行的覆盖情况，例如，哪些列已经被覆盖。例如，使用位掩码来表示覆盖情况，其中每一位对应一列是否被覆盖。例如，mask的第j位为1表示该列在当前行已经被覆盖，或者被上一行的竖放骨牌覆盖。 但是，这样的状态可能无法完全捕获所有情况，例如，竖放的骨牌可能从上一行延伸到当前行。因此，可能需要更复杂的状态设计。 另一种方法是使用轮廓线动态规划（插头DP），其中状态表示当前处理的位置以及周围未被处理的格子的覆盖情况。这可能适用于较大的网格，但实现起来较为复杂。 或者，可以将问题转化为求所有可能的匹配数目，其中每个骨牌占据两个格子。这时，这类似于求图中的匹配数目，其中每个边代表一个可能的骨牌放置方式。在这种情况下，总方案数是所有可能的匹配数目，包括空匹配。 然而，计算图中的所有匹配数目是#P-难的问题，因此对于较大的网格无法使用此方法。 因此，回到动态规划的思路。例如，对于每行，状态可以表示当前行的覆盖情况，以及是否放置了横放的骨牌。 例如，假设当前处理到第i行，第j列。此时，该位置可能已经被覆盖（例如，由左侧的横放骨牌或上方的竖放骨牌覆盖），或者未被覆盖。 如果未被覆盖，则可以选择放置横放的骨牌（如果右侧的格子可用且无障碍物），或者竖放的骨牌（如果下方的格子可用且无障碍物），或者不放置。 这可能涉及到较多的状态转移，但可以通过动态规划的方式处理。 例如，状态可以表示当前处理的位置，以及该位置左侧的某些覆盖情况。例如，使用一个二进制掩码来表示当前行中哪些列已经被覆盖。 这里，可以參考经典的铺砖问题的动态规划解法，例如当铺砖必须铺满整个区域时，动态规划的状态表示当前行的覆盖情况。例如，状态mask表示当前行中哪些列已经被覆盖，其中每个位代表一列的状态。在铺砖必须铺满的情况下，状态转移时需要确保当前行的所有列都被覆盖。 但在本题中，允许部分覆盖，因此动态规划的状态需要允许某些列未被覆盖，而其他列被覆盖。 这可能使得状态转移更为复杂，因为每个位置的处理可以选择覆盖或不覆盖，但必须保证骨牌的正确放置。 另一种思路是，将问题分解为每个骨牌的放置情况。例如，对于每个可能的骨牌放置方式，计算其是否被障碍物阻挡，并在动态规划中维护已经覆盖的格子集合。然而，这在网格较大时显然不可行。 因此，可能需要寻找一种更高效的动态规划状态设计。 考虑到每个骨牌占据两个相邻的格子，可以将每个格子是否被覆盖视为一个状态。但由于每个骨牌占据两个格子，所以状态需要同时处理这两个格子。 这可能涉及到轮廓线动态规划，其中状态表示当前处理的位置以及周围未被处理的格子的覆盖情况。 例如，轮廓线动态规划的状态可以是一个二进制掩码，表示当前处理行的某些列是否被覆盖，以及下一行的某些列是否被覆盖。 例如，在处理第i行第j列时，状态可能需要记录第i行的前j列是否被覆盖，以及第i+1行的前j列是否被覆盖，因为竖放的骨牌会占用当前行和下一行同一列的格子。 这可能比较复杂，但对于较小的网格来说是可行的。 例如，轮廓线的状态可以包含当前行和下一行的某些列的覆盖情况，以及当前处理的位置。每个状态的转移需要考虑当前位置是否被覆盖，或者是否放置一个横放或竖放的骨牌。 具体来说，当处理到位置(i,j)时，可能的动作有： 1. 如果该位置已经被覆盖（例如，由左侧的横放骨牌或者上方的竖放骨牌覆盖），则转移到下一个位置。 2. 否则，可以放置一个横放的骨牌，占据(i,j)和(i,j+1)（如果j+1<=c且这两个格子无障碍物）。 3. 或者，可以放置一个竖放的骨牌，占据(i,j)和(i+1,j)（如果i+1<=r且这两个格子无障碍物）。 4. 或者，不放置任何骨牌，此时该位置保持未被覆盖。 对于每个选择，需要更新状态以反映覆盖情况。 因此，动态规划的状态可能需要记录当前处理的位置以及当前行和下一行的覆盖情况。 例如，状态可以表示为 (i,j, mask)，其中 mask 是一个二进制数，表示当前行从j列到右边的覆盖情况，以及下一行的某些列的覆盖情况。例如，当放置一个竖放的骨牌时，当前行i的j列和下一行i+1的j列将被覆盖，这会影响到下一行处理时的状态。 这可能非常复杂，特别是当网格的行数较多时。但对于较小的子区域，例如r行和c列都不超过10，这可能可行。 例如，当处理到行i的j列时，状态可能需要记录： - 当前行i中，j列到右边的覆盖情况（哪些位置已经被覆盖）。 - 下一行i+1中，j列到右边的覆盖情况（哪些位置已经被覆盖）。 这可能构成一个二维的掩码，例如，当前行的掩码和下一行的掩码。例如，对于c列，每个掩码需要c位，所以状态的总数是 O(r * c * 2^{2c}) ), 这在c=10时是约 10 * 10 * 1e6 = 1e8，这显然无法处理。 因此，这可能需要更优化的状态设计。 另一种思路是，逐行处理，并为每行记录一个状态，该状态表示该行的覆盖情况以及下一行的某些覆盖情况。例如，可以使用行掩码和下一行的掩码的组合。 例如，假设当前处理第i行，状态用两个掩码：一个表示当前行中哪些列已经被覆盖，另一个表示下一行中哪些列已经被覆盖。这可能适用于处理竖放的骨牌，因为它们会覆盖当前行和下一行。 例如，在铺砖问题中，这样的状态设计可能被用来处理竖放的骨牌。当处理完第i行时，下一行的某些列可能已经被竖放的骨牌覆盖，因此需要在处理下一行时考虑这些覆盖。 然而，在本题中，允许部分覆盖，所以可能存在当前行和下一行的某些列被覆盖的情况，而其他列未被覆盖。因此，状态必须记录这些信息。 例如，当处理到第i行时，状态可以表示为当前行的覆盖情况（哪些列已被覆盖）和下一行的覆盖情况（哪些列已被覆盖）。因为竖放的骨牌在放置时会覆盖当前行和下一行的同一列，所以这些覆盖情况需要在处理下一行时被考虑。 这可能使状态数变得很大，尤其是当列数较多时。例如，对于c=10列，每个掩码有10位，所以每个状态需要两个掩码，总共有2^10 * 2^10 = 1e6种可能的状态。对于r=10行，总共有约 10 * 1e6 = 1e7种状态，这在时间上可能是可行的，但需要进一步的优化。 这可能是一个可行的方向。因此，动态规划的状态可以定义为： dp[i][current_mask][next_mask]，表示处理到第i行，当前行的覆盖情况为current_mask，下一行的覆盖情况为next_mask。其中，current_mask的第j位表示第i行的第j列是否被覆盖，next_mask的第j位表示第i+1行的第j列是否被覆盖。 这里的覆盖情况包括被当前行放置的竖放骨牌覆盖，或者被当前行或上一行放置的横放骨牌覆盖。 在这种情况下，状态转移需要处理第i行的每个列，并考虑如何放置骨牌。这可能比较复杂，但可以逐列处理。 例如，对于第i行的第j列，如果current_mask的j位已经置1，则表示该位置已经被覆盖，不需要处理。否则，可以选择放置横放或竖放的骨牌，或者不放置。 放置横放的骨牌需要确保第j+1列在当前行未被覆盖且无障碍物。放置竖放的骨牌需要确保第i+1行的第j列未被覆盖且无障碍物。 每当放置一个骨牌时，需要更新相应的掩码。 这可能是一个可行的动态规划方法。 例如，初始状态是处理第0行，所有掩码均为0。然后，逐行处理，更新掩码。 但是，这种方法的动态规划转移可能较为复杂，因为需要考虑每个列的可能动作，并更新相应的掩码。 对于每个行i，列j，需要遍历所有可能的current_mask和 next_mask的组合，并尝试所有可能的放置方式。 此外，还必须确保放置的骨牌不覆盖障碍物。因此，在动态规划转移时，必须检查当前位置和相邻位置是否存在障碍物。 这可能需要对每个子区域的障碍物进行预处理，存储为一个二维数组，并在动态规划时进行检查。 综上，对于每个子区域，计算其放置方式数目的步骤如下： 1. 提取该子区域的网格，并记录每个格子是否为障碍物。 2. 初始化动态规划数组，处理第0行，初始掩码均为0。 3. 逐行处理，对于每个可能的current_mask和 next_mask，尝试在当前行放置横放或竖放的骨牌，并更新相应的掩码。 4. 最后，所有可能的状态的总和即为该子区域的放置方式数目。 这可能需要较长的代码实现，但对于每个子区域来说，可能可以在合理的时间内完成。 现在，回到原题的整体解决方案： - 枚举所有的行分界线集合A和列分界线集合B。 - 对于每个组合(A,B)，将网格分割为子区域，并计算每个子区域的放置方式数目。 - 将各子区域的数目相乘得到f(A,B)，并根据容斥的符号累加到总答案中。 现在，如何高效地实现这一流程？ 假设n和m的最大值为10，那么行分界线集合A的数目是2^(n-1)，列分界线集合B的数目是2^(m-1)。对于n=10和m=10，总共有2^9 * 2^9 = 2^18 = 262144种组合。对于每个组合，需要分割网格为子区域，并为每个子区域计算放置方式数目。每个子区域的放置方式数目的计算时间取决于其尺寸，但假设平均每个子区域需要1毫秒的计算时间，那么总时间为262144 * 1ms = 262秒，这可能需要优化。 因此，可能需要预处理所有可能的子区域的放置方式数目，以避免重复计算。例如，不同的组合(A,B)可能导致相同的子区域结构。例如，如果两个不同的A和 B的组合将网格分割为相同的子区域布局，那么这些子区域的放置方式数目是相同的。因此，可以缓存这些子区域的数目，避免重复计算。 例如，每个子区域的障碍物布局是唯一的，因此必须根据其行和列的范围以及原网格中的障碍物情况来计算。所以，相同的子区域可能出现在不同的组合(A,B)中，但只有在它们对应的行和列范围相同，并且障碍物布局相同时，它们的放置方式数目才相同。因此，可以将每个子区域的放置方式数目缓存，以加速计算。 这可能显著减少计算时间，尤其是当存在许多重复的子区域结构时。 综上所述，该问题的解决方案可以归纳为以下步骤： 1. 预处理输入网格的障碍物布局。 2. 枚举所有可能的行分界线集合A和列分界线集合B的组合。 3. 对于每个组合(A,B)，分割网格为子区域。 4. 对每个子区域，计算其放置方式数目。如果该子区域的布局已经被计算过，则直接取缓存的结果；否则，运行动态规划计算，并将结果缓存。 5. 将所有子区域的数目相乘，得到f(A,B)。 6. 根据容斥的系数（-1的|A|+|B|次方）将f(A,B)累加到总答案中。 7. 最后，将答案对19901013取模。 现在，如何分割网格为子区域？ 例如，对于给定的A和 B，行分界线集合A将行分割为连续的块。例如，对于n=4行，分界线为0、1、2。假设A包含分界线1，那么行被分割为 [0-1]和 [2-3]。同样，列分界线集合B将列分割为连续的块。例如，B包含分界线0，那么列被分割为 [0]和 [1-3]。 每个子区域的行范围和列范围确定后，可以从原网格中提取对应的子网格，并检查其中的障碍物情况。 例如，子区域的行范围是r_start到r_end，列范围是 c_start到 c_end。该子区域的网格是原网格中这些行和列的交叉部分，其中障碍物与原网格相同。 因此，每个子区域的障碍物布局可以被唯一确定。 现在，如何高效地枚举所有行分界线和列分界线的组合？ 这可能通过位掩码来表示行分界线和列分界线。例如，每个行分界线可以对应一个位，其中该位为1表示该分界线被包含在集合A中。同样，列分界线对应一个位掩码。 例如，对于n=4，行分界线有三个，可以用三位的掩码表示。例如，掩码0b101表示分界线0和 2被选中。 因此，枚举所有可能的行分界线和列分界线的组合可以通过遍历所有可能的掩码来完成。 现在，如何分割行分界线和列分界线？ 例如，对于行分界线的掩码，可以将其转换为一个分界线数组，然后确定分割后的行块。例如，掩码的每一位对应一个分界线，若该位为1，则该分界线被选中，分割行。 例如，对于行数n=3，行分界线有两个：0和1。掩码0b01表示分界线1被选中。行被分割为 [0-1]和 [2]。 分割行的算法可以如下： 初始化当前起始行为0。遍历分界线0到 n-2，如果分界线i被选中，则分割当前块到i，并开始新的块从i+1。例如，对于分界线掩码的每一位i，若被选中，则将当前块分割为从当前起始到i的行，然后起始行设为 i+1。最后，添加最后一个块。 同样的方式适用于列分界线的掩码。 例如，函数get_segments(mask, total)可以将掩码转换为连续的分割块。例如，mask是行分界线的掩码，total是行数。 综上，该问题的解决方案较为复杂，需要结合容斥原理、网格分割、动态规划等多个步骤。对于每个子区域的动态规划计算，需要高效的状态设计和转移。 尽管实现起来较为复杂，但该思路在理论上是可行的。现在，需要将其转化为具体的代码实现。 现在，我需要考虑如何编写代码来实现这一思路。 首先，读入n和m，以及网格的障碍物信息。存储为一个二维数组，例如，grid[i][j]表示第i行第j列是否为障碍物。 然后，预计算所有可能的行分界线集合A和列分界线集合B的组合。对于每个组合，分割网格为子区域，并计算每个子区域的放置方式数目。 对于每个组合(A,B)，计算其贡献： 贡献 = (-1)的(|A| + |B|)次方 * product(每个子区域的放置方式数目) 然后将所有组合的贡献累加，得到最终答案。 现在，分割行和列的函数。例如，对于行分界线的掩码，函数返回行块列表。例如，对于n=3，掩码0b10（二进制表示分界线1被选中），函数返回[[0], [1,2]]。 类似的，列分界线的掩码返回列块列表。 然后，每个子区域是行块和列块的笛卡尔积。例如，行块是[r_start, r_end]，列块是[c_start, c_end]，子区域的行范围是r_start到r_end，列范围是c_start到 c_end。 对于每个这样的子区域，需要提取对应的网格，并计算其放置方式数目。 为了缓存这些子区域的放置方式数目，可以用一个字典，其中键为子区域的行范围、列范围和对应的障碍物布局的哈希值。值是对应的放置方式数目。 或者，可以缓存每个子区域的矩形位置（行起始、行结束、列起始、列结束）以及障碍物布局的哈希，以避免重复计算。 但这可能在实现时较为复杂，因为不同的子区域可能有相同的障碍物布局，但在不同的位置。例如，某个子区域可能是一个2x2的网格，其中没有障碍物，而另一个子区域也是2x2的网格，同样没有障碍物。它们的放置方式数目是相同的，因此可以共享缓存条目。但若它们的障碍物布局不同，则不能共享。 因此，缓存的关键应是子区域的尺寸以及其障碍物布局的哈希。 例如，可以将子区域的r行数、c列数，以及其障碍物布局的二进制表示作为缓存的键。 或者，可以将障碍物布局转换为一个唯一的字符串，例如，将每行每列的障碍物情况拼接成字符串。 例如，对于子区域的网格，每个格子可以用0或1表示是否是障碍物。将这些数字按行优先顺序拼接成一个字符串，作为键。 这可以唯一标识该子区域的障碍物布局，从而避免重复计算。 因此，缓存的结构可以是一个字典，键为（rows, cols, obstacle_hash），值为放置方式数目。 在计算子区域的放置方式数目时，首先生成obstacle_hash，然后查询缓存。如果存在，则直接使用缓存的结果；否则，运行动态规划计算，并将结果存入缓存。 这样，可以避免重复计算同一子区域的放置方式数目。 现在，如何生成obstacle_hash？ 例如，对于子区域的网格，遍历每个格子，将障碍物情况转换为一个二进制串。例如，每个格子用1表示障碍物，0表示无障碍物。然后，按行优先的顺序将这些二进制位组合成一个字符串，例如“00100101...”。 或者，可以将这些二进制位转换为一个大的整数，作为哈希值。这可能更高效。 但处理较大的子区域时，整数可能超出处理能力。因此，使用字符串可能是更稳妥的方法。 例如，对于子区域的行数r和列数c，每个格子的障碍物情况可以表示为r*c位的二进制数，然后转换为十六进制字符串或类似的。 现在，动态规划计算子区域的放置方式数目。 对于给定的子区域的r行c列的网格，障碍物布局，如何计算其放置方式数目？ 这需要实现一个动态规划函数，其输入是子区域的网格，输出是合法的放置方式数目。 如前所述，这可能通过逐行的动态规划来实现，状态包括当前行的覆盖情况以及下一行的覆盖情况。 例如，对于每行i，状态由current_mask和 next_mask表示。其中，current_mask表示当前行i的覆盖情况，next_mask表示下一行i+1的覆盖情况。 初始状态是dp[0][0][0] = 1，表示处理第0行时，当前行和下一行的覆盖情况均为0。 然后，对于每个行i，从0到r-1： 对于每个可能的current_mask和 next_mask： 如果 dp[i][current_mask][next_mask] 为0，跳过。 遍历处理每个列j，从0到 c-1： 检查当前格子 (i,j) 是否为障碍物。如果是，则不能放置任何骨牌，并且必须确保current_mask的j位未被覆盖。 如果 current_mask的j位已被覆盖，则继续处理下一个列。 否则，考虑三种情况： 1. 不放置任何骨牌。此时，当前列j未被覆盖，current_mask的j位保持0。需要确保这一列未被覆盖，因此可以转移到下一列的状态。 2. 放置一个横放的骨牌，占据 (i,j)和 (i,j+1)。需要确保j+1 < c，且这两个格子都不是障碍物，并且在current_mask中j+1位未被覆盖。 3. 放置一个竖放的骨牌，占据 (i,j)和 (i+1,j)。需要确保i+1 < r，且这两个格子都不是障碍物，并且next_mask的j位未被覆盖。 这可能很难直接实现，因为需要处理每个列j的转移。 另一种方法是，逐行处理，对于每行i，处理所有可能的current_mask和 next_mask组合，并尝试放置骨牌，填充当前行和下一行的覆盖情况。 这可能更高效，因为每行的处理可以独立于其他行。 例如，对于行i，处理当前_mask和 next_mask的组合，并生成下一行的状态。 例如，在处理行i时，可以尝试填充当前行i的列j，通过放置横放或竖放的骨牌，或者不放置。然后，根据这些动作，更新next_mask和下一行的状态。 这可能需要递归或迭代的方式处理每个列，但具体实现较为复杂。 综上，动态规划的具体实现可能需要更详细的设计。例如，可以将每行视为一个状态，其中当前_mask表示当前行i的覆盖情况，而 next_mask表示下一行i+1的覆盖情况。然后，处理行i时，遍历所有可能的current_mask和 next_mask的组合，并尝试放置骨牌。 例如，对于行i的每个状态（current_mask，next_mask），处理每个列j，并尝试可能的动作： 1. 如果 current_mask的j位已设置，则跳过，继续处理j+1。 2. 否则，检查当前格子是否障碍物。如果是，无法放置，必须保持未被覆盖。这可能导致无效状态（因为 current_mask的j位未设置，但该格子是障碍物，必须未被覆盖）。 这可能说明，在状态设计时，必须确保不会覆盖障碍物。因此，在预处理子区域的网格时，需要生成一个障碍物掩码，表示哪些格子是障碍物，并在动态规划转移时检查这些障碍物。 例如，在动态规划处理到某个格子时，如果该格子是障碍物，则必须确保未被覆盖，并且无法放置任何骨牌。 因此，在动态规划转移时，必须首先检查当前格子是否为障碍物。如果是，则必须确保在current_mask中该位未被覆盖，否则当前状态是无效的。 因此，在初始化状态时，必须确保current_mask与障碍物布局不冲突。即，对于障碍物所在的格子，current_mask的对应位必须为0。 综上，动态规划的实现步骤如下： 预处理子区域的障碍物布局，存储为一个二维数组，其中每个元素为0（无障碍物）或1（有障碍物）。 初始化动态规划数组。例如，使用一个三维数组 dp[i][current_mask][next_mask]，其中i表示当前处理的行，current_mask表示当前行的覆盖情况，next_mask表示下一行的覆盖情况。初始时，dp[0][0][0] = 1。 对于每行i从0到 r-1： 对于每个可能的 current_mask和 next_mask： 如果 dp[i][current_mask][next_mask] 为0，跳过。 检查 current_mask是否与障碍物布局冲突。例如，对于当前行i的每个列j，如果障碍物存在，则 current_mask的j位必须为0。否则，该状态无效。 如果无效，则跳过。 否则，生成当前行i的 possible placements。 对于每个可能的放置方式，生成新的 next_current_mask和 new_next_mask，并更新下一行的状态。 例如，在处理完行i后，下一行的状态为 next_mask，因此，下一行i+1的初始 current_mask是 next_mask，而 new_next_mask将被设置为某些值。 这可能需要更详细的分析。 例如，对于行i的 current_mask和 next_mask，处理完行i后，下一行i+1的 current_mask是 next_mask。而 new_next_mask表示下一行i+1处理后，对下下一行的覆盖情况。 这可能需要逐行处理，每次处理行i时，将状态从 current_mask和 next_mask转移到下一行的 new_current_mask和 new_next_mask。 这似乎较为复杂，可能需要重新设计状态转移。 综上，该问题的动态规划部分较为复杂，可能需要参考现有的铺砖问题的解决方案，并对其进行修改以适应允许部分覆盖的情况。 由于时间有限，这里可能无法详细编写完整的动态规划代码，但可以给出一个总体的思路。 最后，答案的总复杂度取决于枚举所有行和列分界线组合的时间，以及每个组合中子区域数目和每个子区域的动态规划计算时间。对于较小的n和m（如n和m不超过10），这可能是一个可行的解决方案。 因此，该问题的解决方案可以概括为： 使用容斥原理，枚举所有可能被禁止的行分界线和列分界线集合，将网格分割为子区域，每个子区域的放置方式数目通过动态规划计算，并将所有子区域的数目相乘，然后根据容斥的符号累加得到最终答案。</think>要解决这个问题，我们需要在一个带有障碍物的网格中放置多米诺骨牌，满足特定的行和列覆盖条件。以下是详细的解决方案： ### 方法思路 1. **问题分析**: - 放置骨牌时不能重叠或覆盖障碍物。 - 相邻行和列之间必须有骨牌横跨。 - 使用容斥原理处理行和列的覆盖条件。 2. **容斥原理**: - 枚举所有可能未被覆盖的行和列分界线集合。 - 计算每个集合下的合法放置方式数，根据集合大小调整符号。 3. **动态规划**: - 将网格分割为子区域，每个子区域独立计算放置方式数。 - 使用动态规划处理每个子区域的合法放置方式数，考虑障碍物和覆盖情况。 ### 解决代码 ```python import sys from functools import lru_cache MOD = 19901013 def main(): sys.setrecursionlimit(1 << 25) n, m = map(int, sys.stdin.readline().split()) grid = [sys.stdin.readline().strip() for _ in range(n)] # 预处理所有可能的行分界线和列分界线组合 # 行分界线是0到n-2，共n-1个；列分界线是0到m-2，共m-1个 # 对于每个组合(A, B)，计算对应的贡献 # 缓存每个子区域的放置数目 memo = {} def get_segments(mask, total): # mask是分界线的掩码，返回分割后的区间列表 segs = [] start = 0 for i in range(total-1): if (mask >> i) & 1: segs.append((start, i)) start = i + 1 segs.append((start, total-1)) return segs def compute_subgrid(r_start, r_end, c_start, c_end): # 提取子区域的障碍物布局，并生成一个唯一的键 sub = [] for i in range(r_start, r_end+1): row = [] for j in range(c_start, c_end+1): row.append(1 if grid[i][j] == 'x' else 0) sub.append(tuple(row)) return (r_end - r_start +1, c_end - c_start +1, tuple(sub)) @lru_cache(maxsize=None) def count_dp(rows, cols, subgrid): # 将subgrid转换为二维数组 sub = [list(row) for row in subgrid] # 动态规划计算该子区域的放置方式数目 # 使用轮廓线动态规划，逐行处理 from collections import defaultdict dp = defaultdict(int) dp[ (0, 0) ] = 1 # (current_mask, next