dijkstra cpp，代码

<think>我们正在回答用户关于Dijkstra算法C++实现的问题。根据系统级指令，我们需要：1.使用中文回答2.结构清晰，逐步解决问题3.保证回答真实可靠4.在行内数学表达式使用$...$，独立公式使用$$...$$5.生成相关问题6.在引用的段落末尾添加引用标识用户要求查找使用C++实现Dijkstra算法的代码示例。我们将提供一个基本的Dijkstra算法实现，并解释关键步骤。Dijkstra算法用于在带权有向图中找到从源点到所有其他顶点的最短路径。算法要求所有权重非负。实现步骤：1.初始化：将源点的最短距离设为0，其他顶点的最短距离设为无穷大（用一个大数表示）。2.使用一个优先队列（最小堆）来存储顶点及其当前的最短距离，每次取出距离最小的顶点。3.对于取出的顶点，遍历其所有邻接边，进行松弛操作：如果通过当前顶点到达邻接顶点的距离更短，则更新邻接顶点的最短距离，并将邻接顶点加入优先队列。注意：在C++中，我们可以使用`priority_queue`作为最小堆，但默认是最大堆，因此需要调整（使用`greater`或负权重）。另一种方法是使用`set`，它可以方便地更新元素，但实现起来稍复杂。这里我们使用`priority_queue`，并注意避免重复入队（因为无法直接更新队列中的元素，我们允许同一个顶点多次入队，但在处理时跳过已经处理过的更优情况）。代码示例：```cpp#include<iostream>#include<vector>#include<queue>#include<climits>usingnamespacestd;typedefpair<int,int>pii;//用于存储(距离,顶点)voiddijkstra(vector<vector<pii>>&graph,intsrc,vector<int>&dist){intn=graph.size();dist.assign(n,INT_MAX);dist[src]=0;//最小优先队列，按距离从小到大排列priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii>>pq;pq.push({0,src});while(!pq.empty()){intu=pq.top().second;intd=pq.top().first;pq.pop();//如果当前取出的距离不是最短距离，则跳过（因为可能已经被更新过）if(d!=dist[u])continue;//遍历所有邻接点for(auto&edge:graph[u]){intv=edge.first;intweight=edge.second;//松弛操作if(dist[u]+weight<dist[v]){dist[v]=dist[u]+weight;pq.push({dist[v],v});}}}}intmain(){//示例：顶点数intn=5;//图的邻接表表示：graph[u]={(v1,w1),(v2,w2),...}vector<vector<pii>>graph(n);//添加边graph[0].push_back({1,4});graph[0].push_back({2,1});graph[1].push_back({3,1});graph[2].push_back({1,2});graph[2].push_back({3,5});graph[3].push_back({4,3});vector<int>dist;dijkstra(graph,0,dist);//输出从源点0到所有顶点的最短距离for(inti=0;i<n;i++){cout<<"Distancefrom0to"<<i<<"is"<<dist[i]<<endl;}return0;}```解释：-我们使用邻接表存储图，每个顶点对应一个列表，列表中每个元素为`pair<int,int>`，第一个整数是邻接顶点，第二个整数是边的权重。-`dist`数组存储从源点到每个顶点的最短距离，初始化为`INT_MAX`（表示无穷大）。-优先队列`pq`存储`(距离,顶点)`对，并按距离从小到大排序（通过`greater<pii>`实现最小堆）。-每次从队列中取出距离最小的顶点`u`，如果取出的距离不是当前记录的最短距离（说明这个顶点已经被更新过，这个记录是过时的），则跳过。-对`u`的每个邻接点`v`，尝试进行松弛：如果通过`u`到`v`的距离比当前记录的距离小，则更新`dist[v]`，并将新的距离和顶点`v`入队。注意：这个实现中，同一个顶点可能被多次入队（每次更新距离时都入队），但只有最小距离的那次会被处理（因为之后取出的相同顶点但距离更大的会被跳过）。这不会影响正确性，但可能增加队列大小。在最坏情况下，时间复杂度为$O(E\logE)$，其中$E$是边数。引用中提到使用`set`可以避免重复元素，并支持更新操作。但上述使用优先队列的方法在大多数情况下是高效的。参考文献：-引用[^3]提到使用`std::set`（自平衡二叉搜索树）来存储顶点和距离对，以便快速查找和更新。但在上述实现中，我们使用优先队列，虽然更新操作是通过重新入队实现的，但效率在稀疏图中通常可以接受。§§相关问题§§1.在Dijkstra算法中，为什么要求权重非负？2.如果图中有负权边，应该使用什么算法？3.如何优化Dijkstra算法以处理大规模图？4.在C++中，除了邻接表，还有哪些常用的图表示方法？5.如何输出最短路径而不仅仅是最短距离？</think>### Dijkstra算法C++实现 以下是使用C++实现Dijkstra算法的完整代码示例，包含详细注释和关键步骤说明： ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <queue> #include <climits> using namespace std; // 定义图的邻接表表示 typedef pair<int, int> pii; // (邻接顶点, 边权重) typedef vector<vector<pii>> Graph; void dijkstra(const Graph& graph, int src, vector<int>& dist, vector<int>& prev) { int n = graph.size(); dist.assign(n, INT_MAX); // 初始化所有距离为无穷大 prev.assign(n, -1); // 前驱节点初始化为-1 dist[src] = 0; // 源点到自身距离为0 // 最小堆：存储(距离, 顶点)对 priority_queue<pii, vector<pii>, greater<pii>> pq; pq.push({0, src}); while (!pq.empty()) { int u = pq.top().second; // 当前顶点 int d = pq.top().first; // 当前最短距离 pq.pop(); // 跳过已处理的旧记录 if (d != dist[u]) continue; // 遍历所有邻接边 for (auto& edge : graph[u]) { int v = edge.first; // 邻接顶点 int w = edge.second; // 边权重 // 松弛操作：发现更短路径 if (dist[u] + w < dist[v]) { dist[v] = dist[u] + w; // 更新最短距离 prev[v] = u; // 记录前驱节点 pq.push({dist[v], v}); // 入队新距离 } } } } // 重构最短路径 vector<int> getPath(const vector<int>& prev, int target) { vector<int> path; for (int v = target; v != -1; v = prev[v]) { path.push_back(v); } reverse(path.begin(), path.end()); return path; } int main() { // 创建示例图（有向图） int n = 5; // 顶点数 Graph graph(n); // 添加边 (u, v, weight) graph[0].push_back({1, 4}); graph[0].push_back({2, 1}); graph[1].push_back({3, 1}); graph[2].push_back({1, 2}); graph[2].push_back({3, 5}); graph[3].push_back({4, 3}); vector<int> dist, prev; dijkstra(graph, 0, dist, prev); // 计算从顶点0开始的最短路径 // 输出结果 cout << "顶点\t最短距离\t路径" << endl; for (int i = 0; i < n; ++i) { cout << i << "\t" << (dist[i] == INT_MAX ? "INF" : to_string(dist[i])) << "\t\t"; vector<int> path = getPath(prev, i); for (int v : path) cout << v << " "; cout << endl; } return 0; } ``` #### 关键实现细节： 1. **数据结构选择**： - 使用`priority_queue`实现最小堆（时间复杂度$O((V+E)\log V)$） - 邻接表存储图（空间复杂度$O(V+E)$） - `dist`数组记录最短距离，`prev`数组记录路径 2. **核心算法步骤**： ```plaintext 初始化所有距离为∞，源点距离为0 将源点加入最小堆 while 堆非空: 取出最小距离顶点u 遍历u的所有邻接边(u,v,w): 如果 dist[u] + w < dist[v]: 更新dist[v] = dist[u] + w 记录prev[v] = u 将(v, dist[v])入堆 ``` 3. **负权边处理**： Dijkstra算法要求所有权重非负（$w \geq 0$），若存在负权边需改用Bellman-Ford算法[^1]。 #### 示例输出： ``` 顶点 最短距离 路径 0 0 0 1 3 0 2 1 2 1 0 2 3 4 0 2 1 3 4 7 0 2 1 3 4 ``` ### 性能优化建议 1. **优先队列选择**： - 对于稀疏图（$E \ll V^2$），最小堆是最优选择 - 对于稠密图，可考虑斐波那契堆（理论最优但实现复杂）[^3] 2. **内存优化**： ```cpp // 使用vector.reserve()预分配内存 Graph graph; graph.resize(n); for (auto& adj : graph) adj.reserve(avg_degree); ``` 3. **终止条件扩展**： ```cpp // 提前终止（当找到特定目标点时） if (u == target) break; ```