PTA 多边形游戏

时间: 2025-06-12 15:46:04 浏览: 11
### PTA多边形游戏的算法与实现 PTA多边形游戏通常涉及动态规划(Dynamic Programming, DP)来解决凸多边形的最优三角剖分问题。以下是该问题的核心思想和实现方式。 #### 核心思想 在凸多边形的最优三角剖分中,目标是找到一种三角剖分方法,使得所有三角形权重之和最小。假设凸多边形有 \(n+1\) 个顶点 \(V_0, V_1, \ldots, V_n\),最优三角剖分可以分解为三个部分:三角形 \(V_0V_kV_n\) 的权值、子多边形 \(\{V_0, V_1, \ldots, V_k\}\) 的权值以及子多边形 \(\{V_k, V_{k+1}, \ldots, V_n\}\) 的权值[^3]。 #### 动态规划状态定义 设 \(d[i][j]\) 表示从顶点 \(i\) 到顶点 \(j\) 的子多边形的最小权重,则状态转移方程为: \[ d[i][j] = \min_{i < k < j} \{d[i][k] + d[k][j] + w(i, k, j)\} \] 其中 \(w(i, k, j)\) 是三角形 \(V_iV_kV_j\) 的权重。 #### 初始化与边界条件 - 当 \(j = i + 1\) 时,\(d[i][j] = 0\),因为此时没有三角形。 - 权重函数 \(w(i, k, j)\) 可以根据具体问题定义,例如边长的乘积或顶点坐标的某种计算。 #### 实现代码 以下是一个基于动态规划的 C++ 实现: ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; const int INF = 1e9; // 计算三角形权重 w(i, k, j) int weight(int i, int k, int j, const vector<int>& points) { // 假设权重为边长的乘积 return points[i] + points[k] + points[j]; } int minWeightTriangulation(const vector<int>& points) { int n = points.size() - 1; // 凸多边形的顶点数 vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n, INF)); // 初始化 for (int i = 0; i < n; ++i) { dp[i][i + 1] = 0; } // 动态规划填表 for (int len = 2; len < n; ++len) { // 子多边形长度 for (int i = 0; i + len < n; ++i) { int j = i + len; for (int k = i + 1; k < j; ++k) { dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j] + weight(i, k, j, points)); } } } return dp[0][n - 1]; } int main() { vector<int> points = {0, 1, 2, 3}; // 示例顶点坐标 cout << "Minimum weight of triangulation: " << minWeightTriangulation(points) << endl; return 0; } ``` #### 解释 1. **权重函数**:在上述代码中,权重函数 \(w(i, k, j)\) 被简单定义为边长的加权和。可以根据实际问题调整权重计算方式。 2. **动态规划表**:`dp[i][j]` 存储从顶点 \(i\) 到顶点 \(j\) 的子多边形的最小权重。 3. **时间复杂度**:由于三重循环,时间复杂度为 \(O(n^3)\),适用于中小规模问题。
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