PTA 多边形游戏
时间: 2025-06-12 15:46:04 浏览: 11
### PTA多边形游戏的算法与实现
PTA多边形游戏通常涉及动态规划(Dynamic Programming, DP)来解决凸多边形的最优三角剖分问题。以下是该问题的核心思想和实现方式。
#### 核心思想
在凸多边形的最优三角剖分中,目标是找到一种三角剖分方法,使得所有三角形权重之和最小。假设凸多边形有 \(n+1\) 个顶点 \(V_0, V_1, \ldots, V_n\),最优三角剖分可以分解为三个部分:三角形 \(V_0V_kV_n\) 的权值、子多边形 \(\{V_0, V_1, \ldots, V_k\}\) 的权值以及子多边形 \(\{V_k, V_{k+1}, \ldots, V_n\}\) 的权值[^3]。
#### 动态规划状态定义
设 \(d[i][j]\) 表示从顶点 \(i\) 到顶点 \(j\) 的子多边形的最小权重,则状态转移方程为:
\[ d[i][j] = \min_{i < k < j} \{d[i][k] + d[k][j] + w(i, k, j)\} \]
其中 \(w(i, k, j)\) 是三角形 \(V_iV_kV_j\) 的权重。
#### 初始化与边界条件
- 当 \(j = i + 1\) 时,\(d[i][j] = 0\),因为此时没有三角形。
- 权重函数 \(w(i, k, j)\) 可以根据具体问题定义,例如边长的乘积或顶点坐标的某种计算。
#### 实现代码
以下是一个基于动态规划的 C++ 实现:
```cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int INF = 1e9;
// 计算三角形权重 w(i, k, j)
int weight(int i, int k, int j, const vector<int>& points) {
// 假设权重为边长的乘积
return points[i] + points[k] + points[j];
}
int minWeightTriangulation(const vector<int>& points) {
int n = points.size() - 1; // 凸多边形的顶点数
vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n, INF));
// 初始化
for (int i = 0; i < n; ++i) {
dp[i][i + 1] = 0;
}
// 动态规划填表
for (int len = 2; len < n; ++len) { // 子多边形长度
for (int i = 0; i + len < n; ++i) {
int j = i + len;
for (int k = i + 1; k < j; ++k) {
dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j] + weight(i, k, j, points));
}
}
}
return dp[0][n - 1];
}
int main() {
vector<int> points = {0, 1, 2, 3}; // 示例顶点坐标
cout << "Minimum weight of triangulation: " << minWeightTriangulation(points) << endl;
return 0;
}
```
#### 解释
1. **权重函数**:在上述代码中,权重函数 \(w(i, k, j)\) 被简单定义为边长的加权和。可以根据实际问题调整权重计算方式。
2. **动态规划表**:`dp[i][j]` 存储从顶点 \(i\) 到顶点 \(j\) 的子多边形的最小权重。
3. **时间复杂度**:由于三重循环,时间复杂度为 \(O(n^3)\),适用于中小规模问题。
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