仿射密码为单表加密的一种，字母系统中所有字母都利用一个简单数学方程加密，对应至数值或转回字母。 本关任务：用 c++ 实现仿射密码，然后对输入的密文字符串进行仿射解密后打印输出。为了完成本关任务，你需要掌握： 1.同余方程； 2.欧拉函数； 3.逆元； 4.仿射密码的密码体制； 5.费马小定理；本关的编程任务是，补全右侧编辑器中 Begin-End 区间的代码，实现给定字符串的解密功能，具体要求如下： 对于给定的密钥对以及密文串，要求计算并打印出解密后的明文串。#include<bits/stdc++.h> using namespace std; char A[103]; constexpr int mod=26; //在下面Begin和End之间补全代码，对输入的字符串进行仿射密码解密 /*********** Begin ***********/ int main() { int a,b; cin>>a>>b; cin>>A; } /*********** End ***********/

### C++ 实现仿射密码解密算法 仿射密码是一种基于模运算的代换密码，其加密和解密过程依赖于模同余、乘法逆元以及欧拉函数的相关理论。以下是关于如何用C++实现仿射密码解密算法的具体说明。 #### 解密公式的推导 在仿射密码中，加密公式为 \( e(x) = (a \cdot x + b) \mod 26 \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 是密钥参数[^3]。为了实现解密操作，需要找到对应的逆变换： \[ d(y) = a^{-1} \cdot (y - b) \mod 26 \] 这里的关键在于计算 \( a^{-1} \)，即 \( a \) 的模反元素（也称为乘法逆元）。\( a^{-1} \) 满足以下关系： \[ a \cdot a^{-1} \equiv 1 \pmod{26} \] 只有当 \( \gcd(a, 26) = 1 \) 时，才能保证 \( a \) 存在一个唯一的模反元素[^3]。 --- #### 使用扩展欧几里得算法求解乘法逆元 通过扩展欧几里得算法可以高效地求解 \( a \) 关于模数 26 的逆元。具体步骤如下： 1. 找到整数 \( x \) 和 \( y \)，使得 \( ax + 26y = \gcd(a, 26) \)[^1]。 2. 如果 \( \gcd(a, 26) = 1 \)，则 \( x \) 即为所求的 \( a^{-1} \)；否则不存在逆元。 --- #### C++ 实现代码 下面是完整的 C++ 程序，用于实现仿射密码的解密功能： ```cpp #include <iostream> #include <string> using namespace std; // 扩展欧几里得算法求解乘法逆元 int extended_gcd(int a, int m, int &x, int &y) { if (m == 0) { x = 1; y = 0; return a; } int gcd = extended_gcd(m, a % m, x, y); int temp_x = x; x = y; y = temp_x - (a / m) * y; return gcd; } // 计算 a 对 mod 的乘法逆元 int modular_inverse(int a, int mod) { int x, y; int gcd = extended_gcd(a, mod, x, y); if (gcd != 1) { // 若 gcd 不等于 1，则无逆元 cout << "Error: Inverse does not exist." << endl; return -1; } else { return ((x % mod) + mod) % mod; // 返回正数形式的逆元 } } // 将字符转换为数值表示 int char_to_num(char c) { if ('A' <= c && c <= 'Z') return c - 'A'; if ('a' <= c && c <= 'z') return c - 'a'; return -1; // 非字母字符返回错误码 } // 将数值表示转换回字符 char num_to_char(int n) { return static_cast<char>('A' + n); // 假设输入范围合法 } // 仿射密码解密函数 string affine_decrypt(const string& ciphertext, int a, int b) { int mod = 26; int inv_a = modular_inverse(a, mod); // 计算 a 的逆元 if (inv_a == -1) return ""; // 若无法求逆元，返回空字符串 string plaintext = ""; for (char c : ciphertext) { int cipher_num = char_to_num(c); if (cipher_num >= 0) { // 只处理有效字母 int plain_num = (inv_a * (cipher_num - b)) % mod; if (plain_num < 0) plain_num += mod; // 确保结果非负 plaintext += num_to_char(plain_num); } else { plaintext += c; // 保留非字母字符不变 } } return plaintext; } int main() { string ciphertext = "wyusiocssucxhsex"; // 输入密文 int a = 5, b = 8; // 密钥参数 string decrypted_text = affine_decrypt(ciphertext, a, b); if (!decrypted_text.empty()) { cout << "Decrypted Text: " << decrypted_text << endl; } else { cout << "Decryption failed due to invalid key parameters." << endl; } return 0; } ``` --- #### 代码解析 1. **`extended_gcd` 函数**：实现了扩展欧几里得算法，用于求解两个数的最大公约数及其线性组合系数。 2. **`modular_inverse` 函数**：调用 `extended_gcd` 来计算 \( a \) 关于模数 26 的乘法逆元。 3. **`affine_decrypt` 函数**：核心解密逻辑，逐字符将密文还原成明文。 4. **主程序部分**：读取密文和密钥参数，调用解密函数并输出结果。 --- #### 注意事项 - 在实际应用中，需确保 \( a \) 和模数互质 (\(\gcd(a, 26) = 1\))[^3]。 - 上述代码默认英文字母表大小为 26 (`mod=26`)，如果涉及其他字符集，应调整相应参数。 ---