线性回归的多分类问题

### 线性回归实现多分类的方法 尽管线性回归本质上是一个用于解决连续数值预测问题的算法，但在某些情况下可以通过扩展方法将其应用于多分类问题。以下是具体实现方式及其原理： #### 方法一：One-vs-Rest (OvR) 或 One-vs-All (Ova) 在这种策略下，对于一个多分类问题中的每一个类别 \( C_i \)，可以分别建立一个二分类器，其中该类别的样本被标记为正类，而其他所有类别的样本则被标记为负类。最终通过比较各个分类器输出的结果来决定测试样本属于哪个类别。 这种方法虽然简单有效，但它假设不同类别之间相互独立，这可能并不总是成立。因此，在实际应用中需要注意评估其性能表现[^1]。 #### 方法二：Softmax Regression（多项逻辑斯蒂回归） 这是另一种更常见的处理多分类任务的技术。它实际上是广义化的线性模型形式之一，适用于离散型目标变量的情况。给定输入向量 \( X=[x_1,x_2,...,x_n]^T\) 和权重矩阵 W 及偏置项 B，则 Softmax 函数计算如下所示的概率分布 P(y=k|X;W,B): \[ P(y=k | X ; W , B )=\frac{\exp (\sum_{j=0}^{m} w_{kj}*x_j+b_k)} {\Sigma_l(\exp( \sum _{ j = 0 } ^ m w _ { lj } * x _ j + b _ l ))} \] 这里 k 表示第k个类别标签,l 遍历所有的类别索引集合L={1,…K},\(w_{kj}\),\(b_k\)分别是对应于第k个类别的参数组成员. 接着采用交叉熵作为损失函数来进行最优化求解过程: \[ J(W,b)=-(1/m)*Σ[ Σ[y(i)==l]*log(P(y=l|x^(i);W,b))] \] 最后运用诸如梯度下降之类的迭代更新机制调整参数直至收敛得到最优解[W*,B*]. 这种方法能够很好地捕捉到各类别之间的相对关系，并且具有较好的理论支持和实践效果[^4]. #### 实现案例分析 下面给出两个具体的例子说明上述两种思路的应用场景及其实现细节。 ##### 案例A: 使用Scikit-Learn库完成鸢尾花数据集上的三分类任务 在这个经典的数据集中包含了三种不同的植物品种以及它们各自的一些测量属性值如花瓣长度宽度等等。我们可以先加载这个数据源并做初步探索预处理工作之后再调用内置好的LinearSVC或者LogisticRegression组件配合multi_class='ovr'选项即可轻松达成目的[^2]: ```python from sklearn import datasets from sklearn.model_selection import train_test_split from sklearn.linear_model import LogisticRegression import numpy as np iris = datasets.load_iris() X_train,X_test,y_train,y_test=train_test_split( iris.data, iris.target, test_size=.3, random_state=np.random.RandomState()) clf_ovr=LogisticRegression(multi_class="ovr",solver="liblinear").fit(X_train,y_train) print(f"Training Accuracy:{clf_ovr.score(X_train,y_train):.4f}") print(f"Testing Accuracy :{clf_ovr.score(X_test,y_test):.4f}") ``` ##### 案例B: TensorFlow框架下的手写数字MNIST识别项目 此大型公开可用图像数据库由大量黑白像素构成的小尺寸图形组成，旨在训练计算机程序自动辨认阿拉伯数码字符图案。由于这些对象仅限十个固定形态所以非常适合用来检验我们的新想法——即把标准单输出节点结构替换成含有十路分支路径的新架构从而允许同时估计多个可能性得分进而选取最大者作为最终判定依据: ```python import tensorflow as tf from tensorflow.keras.layers import Dense, Flatten from tensorflow.keras.models import Sequential from tensorflow.keras.datasets import mnist (x_train, y_train),(x_test, y_test) =mnist.load_data() model=tf.keras.Sequential([ Flatten(input_shape=(28,28)), Dense(units=128,activation='relu'), Dense(units=10, activation='softmax')]) loss_fn=tf.keras.losses.SparseCategoricalCrossentropy(from_logits=False) optimizer=tf.keras.optimizers.Adam() model.compile(optimizer=optimizer, loss=loss_fn, metrics=['accuracy']) history=model.fit(x=x_train/255.,y=y_train,epochs=5,batch_size=32,validation_split=0.2) test_loss,test_acc=model.evaluate((x_test)/255.,y_test,verbose=2) print('\nTest accuracy:', test_acc) ```