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### 构建法向约束下的普通贝塞尔曲线的 Python 实现 #### 数学背景 贝塞尔曲线是一种参数化的连续函数，其形状由一组控制点决定。对于带有法向约束的贝塞尔曲线，需要在特定点处使切线方向满足预定义的方向矢量。这种约束可以通过调整控制点的位置来实现。 贝塞尔曲线的基本公式为： \[ B(t) = \sum_{i=0}^{n} P_i B_{i,n}(t), \quad t \in [0, 1] \] 其中 \(P_i\) 是控制点，\(B_{i,n}(t)\) 是伯恩斯坦基多项式[^1]。 --- #### 方法描述 为了实现带有法向约束的贝塞尔曲线，可以按照以下逻辑设计代码： 1. **设定起始和终止点及其对应的法向约束** 给定起点 \(P_0\) 和终点 \(P_n\)，以及它们处的单位法向量 \(\vec{n}_0\) 和 \(\vec{n}_n\)。利用法向量计算出对应点处的切线方向。 2. **计算辅助控制点** 对于三阶贝塞尔曲线，假设已知两个端点 \(P_0\) 和 \(P_3\) 及其法向约束，可通过几何关系推导出中间控制点 \(P_1\) 和 \(P_2\) 的位置。 3. **生成贝塞尔曲线** 使用标准的贝塞尔曲线公式生成最终的曲线。 --- #### Python 实现代码 以下是一个完整的 Python 实现，支持构建带有法向约束的三阶贝塞尔曲线： ```python import numpy as np from scipy.spatial.transform import Rotation as R import matplotlib.pyplot as plt def generate_bezier_points_with_normal_constraint(p_start, p_end, n_start_angle, n_end_angle, scale_factor=1/3): """ 生成具有法向约束的三阶贝塞尔曲线控制点。 参数: p_start (np.ndarray): 起点坐标 (x, y) p_end (np.ndarray): 终点坐标 (x, y) n_start_angle (float): 起点处法向角（弧度制） n_end_angle (float): 终点处法向角（弧度制） scale_factor (float): 控制点偏移的比例因子 返回: list[np.ndarray]: 包含四个控制点的列表 """ # 计算两点间的差向量 delta_p = p_end - p_start # 计算法向量 normal_start = rotate_vector(delta_p, n_start_angle + np.pi / 2) normal_end = rotate_vector(-delta_p, n_end_angle - np.pi / 2) # 计算中间控制点 p1 = p_start + scale_factor * np.linalg.norm(delta_p) * normalize(normal_start) p2 = p_end + scale_factor * np.linalg.norm(delta_p) * normalize(normal_end) return [p_start, p1, p2, p_end] def rotate_vector(vector, angle): """ 将二维向量按逆时针方向旋转指定角度。 参数: vector (np.ndarray): 输入向量 (x, y) angle (float): 旋转角度（弧度制） 返回: np.ndarray: 旋转后的向量 """ rotation_matrix = R.from_euler('z', angle).as_matrix()[:2, :2] return np.dot(rotation_matrix, vector) def normalize(vector): """将向量归一化""" norm = np.linalg.norm(vector) if norm == 0: raise ValueError("Cannot normalize zero-length vector.") return vector / norm def evaluate_bezier_curve(control_points, num_points=100): """ 评估贝塞尔曲线上的点。 参数: control_points (list[np.ndarray]): 控制点列表 num_points (int): 曲线上采样的点数 返回: np.ndarray: 形状为 (num_points, 2) 的数组，表示曲线上各点的坐标 """ def bernstein_poly(i, n, t): return comb(n, i) * (t ** i) * ((1 - t) ** (n - i)) from math import comb n = len(control_points) - 1 ts = np.linspace(0, 1, num_points) curve_points = [] for t in ts: point = sum([bernstein_poly(i, n, t) * control_points[i] for i in range(n + 1)]) curve_points.append(point) return np.array(curve_points) # 测试代码 if __name__ == "__main__": # 定义起点、终点及法向约束 p_start = np.array([0, 0]) p_end = np.array([5, 3]) n_start_angle = np.radians(90) # 起点法向角（顺时针转90°即垂直向上） n_end_angle = np.radians(-45) # 终点法向角（顺时针转-45°） # 生成控制点 control_points = generate_bezier_points_with_normal_constraint(p_start, p_end, n_start_angle, n_end_angle) # 评估曲线 curve_points = evaluate_bezier_curve(control_points) # 绘图 fig, ax = plt.subplots() ax.plot(*zip(*control_points), marker='o', label="Control Points", linestyle="--") ax.plot(curve_points[:, 0], curve_points[:, 1], label="Bezier Curve") ax.legend() ax.set_aspect('equal') plt.show() ``` --- #### 说明 1. 上述代码分为以下几个部分： - `generate_bezier_points_with_normal_constraint`: 根据起点、终点及法向约束生成四组控制点。 - `rotate_vector`: 提供向量旋转的功能。 - `normalize`: 向量归一化工具函数。 - `evaluate_bezier_curve`: 基于控制点计算贝塞尔曲线上的离散点集。 2. 用户可以通过修改 `scale_factor` 来调节控制点偏离的程度，从而改变曲线的形态[^2]。 3. 结果可视化展示了控制点与生成的贝塞尔曲线的关系。 ---