任意给出包含10个正整数数组，编写算法寻找数组中第K大的元素，并输出该元素的值;

<think>嗯，这个问题看起来有点挑战性。让我仔细读一下题目。题目是说，给定一个正整数数组，每次操作可以选择一个元素ai，然后移除所有等于ai-1和ai+1的元素，同时得到ai分。目标是在所有元素都被处理完之前，得到最大的分数。那我要怎么做才能找到最优解呢？ 首先，我得理解每次操作的影响。比如，如果我选了ai，那么所有ai-1和ai+1的元素都会被移除。这意味着，之后不能再选这些被移除的元素。同时，ai本身是否被移除呢？题目里好像没说清楚，但根据示例来看，比如示例1输入是1和2，选其中一个的话，另一个会被移除。比如选1的话，移除0和2，但原数组中没有0，所以移除2，得到1分。剩下的元素已经被处理了，所以总分是1。但示例的输出是2，所以可能选的是2，移除1和3，但原数组中没有3，所以移除1，得到2分。这时候总分是2。这说明选择ai后，ai本身也会被移除，否则选1后，还剩2的话还能再选，但示例输出是2，所以应该是选一个元素后，该元素本身也被移除了。所以每次操作选ai后，ai被移除，同时ai-1和ai+1也被移除。 那这个问题类似于某种动态规划的问题，或者可能需要贪心策略。比如，如何处理元素之间的关系，使得每次选择的收益最大，同时避免冲突。 首先，我需要统计每个数字出现的次数，因为可能有多个相同的元素。比如，如果有多个3，那么选3的时候，每个3都会被计入分数，还是只能算一次？题目里说“得到ai分”，所以可能每个元素只能被选一次，或者每次选一个元素时，所有相同的ai都会被处理？这点需要明确。 根据题目描述，“每次操作你可以选择数组中的任意一个元素ai”，然后移除所有等于ai-1和ai+1的元素，并得到ai分。这说明，当选择ai时，ai本身会被移除吗？比如，假设数组中有多个ai，比如三个3，那么选择ai的时候，这三个3都会被移除吗？或者只是移除其中一个？或者这个操作只能选一次ai，之后所有ai都会被移除？ 比如，假设数组是[3,3,3]，那么如果选择3，那么所有3会被移除，得到3分，同时移除2和4。但原数组中没有2和4，所以总分是3分。这种情况下，这说明每次操作选ai时，所有等于ai的元素都会被移除，对吗？否则的话，比如如果选一个3，那么只能移除其他3中的一个？但题目中的描述可能不明确，但根据示例的情况，可能需要认为，当选择ai时，所有ai都会被移除，同时ai-1和ai+1的元素也会被移除。因为示例中的输入是两个元素，1和2，选其中一个，比如选2，那么移除1和3（没有），所以移除1，得到2分。剩下的元素都被处理了。所以这说明选ai后，ai本身也被移除了，否则选2的话，2会被移除吗？ 所以，可能的逻辑是：每次操作选择一个ai，然后： - 移除所有等于ai的元素，得到ai乘以出现次数的分？或者每个ai只能被选一次，所以得分为ai？ 这点非常关键。题目中的描述是“得到ai分”，那么可能不管有多少个ai，每次选择ai只能得到ai的分数，但所有ai都会被移除。或者，可能每个ai的出现次数会影响得分。例如，如果有三个3，那么选择3时得到3分，还是3*3=9分？ 这需要看题目描述中的“得到ai分”的具体含义。比如，示例中输入是两个元素1和2，输出是2。这说明当选择2的时候，得到了2分，同时移除了1和3。所以可能每次选择ai时，ai会被移除，并且得到ai分，不管有多少个相同的元素。但这样的话，如果有多个相同的ai，比如三个3，那么选择其中一个3的话，剩下的两个3会被移除吗？或者是否必须单独处理？ 这可能需要更仔细的分析。例如，假设数组是[3,3,3]，那么选择其中一个3，那么所有等于3的元素都会被移除吗？或者说，每次操作只能移除一个3？但题目中的描述是“选择数组中的任意一个元素ai，同时数组中所有等于ai-1和ai+1的元素会被全部移除”。这里没有提到ai本身是否被移除。所以这可能是一个关键点。 哦，题目里的操作是，当你选择一个元素ai时，所有等于ai-1和ai+1的元素会被移除，此时你可以得到ai分。而ai本身是否被移除呢？题目并没有明确说明。但根据示例，如果输入是1和2，选2的话，移除1和3。此时原数组中还有2，但示例的输出是2分，说明选2的时候，自己是否被移除？因为如果不移除的话，那选2之后，数组里还剩2，可以再选一次，得到2分，总分为4分，但实际示例输出是2，所以说明选2的时候，自己也被移除了。或者可能，选ai的时候，自己也被算作被移除，或者题目中的操作包括选择ai的同时，ai被移除？ 或者可能，每次操作时，所选的ai会被移除，同时ai-1和ai+1的元素被移除？或者，是否被移除取决于题目中的描述？ 这可能需要重新审视问题。问题描述中的操作是：“每次操作你可以选择数组中的任意一个元素ai，同时数组中所有等于ai - 1 和 ai + 1 的元素会被全部移除，此时你可以得到 ai 分。”这里的“同时”可能意味着，选ai的时候，ai本身是否被移除并没有被说明。但根据示例，如果数组是1和2，选择1的话，移除0和2。原数组中的2被移除，此时数组剩下1。这时候可以再次选择1，得到1分，总分是2。但示例的输出是2，所以这可能不是正确的。或者可能，选ai的时候，ai本身也被移除了？比如，选择1的时候，移除了所有等于0和2的元素，同时ai本身是否被移除？ 这时候，问题描述存在歧义，可能这会导致理解错误。比如，假设选ai时，ai本身会被移除，那么示例中选择2的话，移除了1和3，同时移除2吗？如果是的话，那选2的时候，移除1和2，得到2分。数组此时为空，所以总分为2，符合示例。所以，可能题目中的操作是：当选择ai时，所有等于ai-1、ai+1、以及ai本身的元素都会被移除，得到ai分。或者，是否ai本身被移除取决于其他条件？ 或者，可能题目中的操作是：选择ai的时候，ai本身会被使用，得到ai分，同时移除所有等于ai-1和ai+1的元素。这时候，ai本身是否保留？如果被保留的话，那么可能再次被选中。但示例中的情况不允许这样，因为示例的输出是2，所以必须只能选一次。 这种情况下，可能题目中的操作是：当选择ai时，ai会被移除（得到ai分），同时移除所有ai-1和ai+1的元素。例如，在示例中，选择2时，移除1和3（不存在），同时移除自己（2），得到2分。这样数组被清空，所以总分是2。这符合示例的输出。 所以，正确的理解应该是：每次选择一个元素ai，那么所有等于ai的元素会被移除（因为被选中的元素会被消耗掉），同时移除所有等于ai-1和ai+1的元素。而得到的分数是ai乘以被选中的元素的数量？或者每次选择一个ai，不管有多少个相同的元素，都会得到ai分，并且所有等于ai的元素都被移除？ 这可能需要更详细的分析。例如，假设数组是[3,3,3]，那么选择其中一个3，此时所有等于3的元素被移除（因为被选中），同时移除2和4。得到的分数是3分？或者得到3分乘以出现的次数？ 题目中的描述是“得到 ai 分”，这可能意味着每次选择ai时，无论有多少个ai，都只能得到ai分，而所有ai都会被移除。或者，可能得到的分数等于ai的出现次数乘以ai的值？ 比如，如果数组中有多个ai，比如三个3，那么选一次3的话，可以得到3分，还是3*3=9分？ 这时候，需要看题目中的示例是否有提示。例如，假设输入是三个3，那么可能的输出是3。或者，假设每次操作只能选一个元素，得到它的值作为分数，同时移除该元素，以及所有ai-1和ai+1的元素。这种情况下，对于三个3，第一次选3得到3分，移除所有3（三个），以及2和4。此时数组为空，所以总分是3。但是如果该操作允许每次选中一个元素时，将所有等于ai的元素都处理掉，那么分数可能是3*3=9分，但题目中的描述是“得到ai分”，这可能是单个元素的分，所以这可能需要更仔细的理解。 或者，题目中的“选择数组中的任意一个元素ai”可能意味着选中一个元素，然后处理所有等于ai、ai-1、ai+1的元素。这时候，不管有多少个ai，只要选中其中一个，所有的ai都会被移除，并且得到ai乘以出现次数的分？ 比如，数组中有三个3，选其中一个3，此时移除所有的3、2、4。得到分数是3*3=9分。这种情况下，问题的解法可能需要统计每个数的出现次数，然后根据相邻的数是否存在来决定如何选择。 因此，正确的解法可能涉及到动态规划，其中状态是某个数是否被选中，然后根据是否选中当前数来决定是否排除相邻的数。例如，类似“打家劫舍”问题，其中不能选择相邻的数，但这里的条件更复杂，因为选一个数会影响比它小1和大1的数。 假设我们把所有数统计出现次数，并按照数值的大小排序。然后，对于每个数x，它的得分是x*count[x]。但是，如果选择x，那么不能选择x-1和x+1。因此，这类似于在一维数组中选择不相邻的数，使得总和最大。这种情况下，可以使用动态规划来解决。 比如，假设我们有一个数组，其中每个元素是数值i对应的总分数i*count[i]。但是，如果选i的话，就不能选i-1和i+1。这与传统的打家劫舍问题不同，传统的是不能选相邻的，而这里的选择i会导致i-1和i+1不能选。因此，这可能转化为类似于传统问题的情况。 例如，假设我们有一个数组max_points，其中max_points[i]表示处理到数值i时的最大分数。那么，对于每个i，有两种选择：选或者不选。 如果选择i，那么i-1和i+1都不能选。因此，当前的最大分数为i的分数加上max_points[i-2]（假设i-1不能选，所以需要考虑i-2的情况）。或者，这可能不是直接正确的，因为i+1的情况会影响后续的选择。 另一种方式是，将所有数值排序，然后转换为类似打家劫舍的问题。例如，数值从小到大排列，每个数值i对应的总分数为i*count[i]。然后，对于每个i，如果选i，那么不能选i-1和i+1。所以，这需要动态规划处理。 但如何将数值处理成这样的结构？比如，假设数值可能不连续，例如有数值1、3、5。那么，选1不会影响3或5，因为它们的差大于1。因此，在这种情况下，可以分别处理各个独立的段。例如，将数值分组成连续的区域，然后每个区域内部使用动态规划。 例如，假设数值是1,2,3,5,6。那么，可以将它们分为两个组：1-3和5-6。对于每个组，独立地进行动态规划，然后将各组的最大分数相加。因为选一个组的数不会影响另一个组的数。 所以，整体的步骤可能是： 1. 统计每个数值的出现次数，并计算每个数值的总分数（数值x乘以出现次数cnt[x]）。 2. 将数值排序，并分组为连续递增的序列，例如，每个组中的数值是连续的，相邻的数值差为1。例如，1,2,3是一个组，5,6是另一个组，7单独一个组等。 3. 对每个组，使用动态规划来计算该组的最大分数。因为在这个组内，选一个数x会使得x-1和x+1不可选。这类似于打家劫舍问题中的情况，但这里每个数的相邻数是x-1和x+1，所以在一个连续的组中，每个数的相邻数都在同一组中。 例如，对于连续的组，比如x, x+1, x+2, ..., x+k。我们需要选择数，使得选中的数之间不相邻（即不能同时选x和x+1等）。但在这里，如果选x，则x+1和x-1都不能选。但是，x的相邻数可能在组内，所以动态规划需要考虑这个组内的所有数。 这样，对于每个连续的组，我们可以建立类似打家劫舍问题的模型，其中每个元素代表是否选当前数。例如，对于数组中的每个元素i，我们有： dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + value[i]) 其中，value[i]是当前数的总分数，i是数值，而不是索引。但这可能需要将数值转换为连续的索引，例如，从最小到最大的数值，按顺序处理。 或者，可以使用哈希表来记录每个数值的总分数，然后按数值从小到大处理，并维护动态规划的状态。 例如，假设数值范围是1到1e4，我们可以创建一个数组sum，其中sum[x]表示数值x的总分。然后，按x从小到大处理： 对于当前x，有两种选择： - 不选x：此时，最大分数等于前一个数x-1的最大分数。 - 选x：此时，不能选x-1和x+1。所以，最大分数等于sum[x]加上前x-2的最大分数。 因此，动态规划的状态转移方程可能为： dp[x] = max(dp[x-1], dp[x-2] + sum[x]) 这类似于打家劫舍问题。但是，需要注意的是，当x-1不存在时，如何处理？ 例如，如果当前处理的数是x，而x-1并不存在，那么选x的话，不影响其他数。例如，当处理到x=5，而sum[4]为0，那么选5的话，可以加上dp[3]的值，或者类似。 这可能要求我们按顺序处理所有可能的数值，而不管它们是否存在。 例如，数值可能稀疏，但我们可以建立一个数组sum，其中sum[x]表示x的总分，如果x不存在则为0。然后，从最小的可能值到最大的可能值遍历，计算dp数组。 这样，对于每个x，我们有两个情况： 选x：则不能选x-1，但可以选x-2，所以dp[x] = dp[x-2] + sum[x] 不选x：则dp[x] = dp[x-1] 所以，最大的分数是max(dp[x], dp[x-1]) 这可能需要处理到最大的数值。 比如，假设最大的数值是max_num，那么最终的答案是dp[max_num]。 这样的话，我们可以将问题转化为类似打家劫舍的动态规划问题。例如，对于每个数值x，处理它的sum[x]，然后根据是否选x来更新dp数组。 但需要注意的是，当数值不连续的时候如何处理。例如，假设x=3，而x-1不存在，那么选x的时候，只能排除x+1（如果存在的话）吗？或者，是否只有在x-1存在时才会被排除？ 或者，是否无论x-1是否存在，只要选x，那么所有x-1和x+1的元素都会被移除？比如，如果x=3，但数组中没有2和4，那么选3的话，将移除所有的2和4（没有元素被移除），所以此时得到3的总分，并且不影响其他数（比如5，如果存在的话）。 这个时候，选x的处理不影响x-1和x+1是否存在的其他数。例如，假设存在x=3和x=5，那么选3的时候，会移除4和2，但是不会影响5，所以此时可以选5。 因此，这说明，选x的处理只会影响x-1和x+1，而不管它们是否存在。因此，在动态规划模型中，如果我们选x，那么不能选x-1和x+1。但在这种情况下，如何处理x+1的情况？ 比如，假设当前处理到x=3，选3的话，那么在后续处理x=4时，必须不能选4？或者，动态规划的顺序需要调整，使得在选x的时候，已经考虑了x+1的情况？ 这显然存在矛盾，因为动态规划通常是按顺序处理的，比如从小到大处理数值。这时候，如何处理选x对x+1的影响？ 例如，假设我们按数值从小到大处理。假设我们处理到x=3，并选择是否选3。如果选3的话，那么x=4就不能选。但是，此时处理到x=3的时候，后面的x=4还没有处理，所以动态规划的状态转移可能无法正确反映这种未来的影响。 这表明，传统的动态规划方法可能无法直接应用，因为选择当前的x会影响后面的x+1的选择，而按顺序处理的情况下，后面的状态还没有计算。 所以，这可能需要将问题转化为类似于打家劫舍问题的模型，其中每个数的选或不选只影响相邻的数值，并且数值是连续的。 例如，将数值统计后，按从小到大排序，然后相邻数值之间的差是否为1。例如，如果数值是连续的，那么选择当前数x会影响x-1和x+1，因此在这种情况下，必须按照打家劫舍的方法处理。而如果数值之间不连续，比如有间隙，那么可以将它们视为独立的段，分别处理每个段的最大值，然后将结果相加。 例如，假设数值有1,3,5，那么这三个数之间互不影响，可以各自选择，得到总分1+3+5=9。而如果数值是1,2,3，则必须选择1和3或者选择2，取最大值。 因此，正确的做法可能是： 1. 统计每个数出现的次数，并计算每个数的总得分（x * count[x]）。 2. 将所有的数排序，去重，得到有序的数值列表。 3. 将数值分成不同的组，每个组中的数值是连续的，比如数值之间相差1。 4. 对每个组，使用动态规划的方法计算该组的最大得分，类似于打家劫舍问题。 例如，对于一个连续的组，比如数值x, x+1, x+2,...,x+k。每个数的总得分是sum[x], sum[x+1], ..., sum[x+k]。要在这个序列中选择数，使得选中的数不相邻（即不能选x和x+1，或者x+1和x+2等），并且总和最大。 这种情况下，每个连续组的处理可以独立进行，因为选该组的数不会影响其他组的数。 例如，组之间的数值差距大于1，因此选一个组的数不会导致另一个组的数被移除。 这样，整体的最大得分就是各个组的最大得分之和。 那么，如何对每个连续组应用动态规划？ 例如，对于连续组中的数值按照顺序排列，sum[x], sum[x+1], ..., sum[x+k]。 动态规划的状态转移方程可以定义为： dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + sum[i]) 其中i表示当前处理的是组中的第i个数，而sum[i]是该数的总得分。 例如，对于连续的数值序列，比如1,2,3，对应的sum数组是sum[1], sum[2], sum[3]。动态规划的处理过程是： dp[0] = sum[1] dp[1] = max(sum[1], sum[2]) dp[2] = max(dp[1], dp[0] + sum[3]) 这样，最大的得分是dp[2]。 但是，这需要将每个连续的组中的数值作为连续的数组处理，然后应用动态规划。 所以，整体的步骤是： - 统计每个数出现的次数，计算sum[x] = x * count[x] - 将所有不同的数排序，得到一个有序列表sorted_nums - 将sorted_nums分成连续组，每组中的数相邻差为1 - 对每组中的数，按照顺序构建一个数组，每个元素是sum[x] - 对该数组应用打家劫舍问题的动态规划算法，得到该组的最大得分 - 将所有组的最大得分相加，得到总的最大得分 例如，对于输入示例： 输入是2个元素，1和2。sum数组是sum[1]=1*1=1，sum[2]=2*1=2。这两个数连续，所以组成一个组。动态规划处理： dp[0] = 1（选1） dp[1] = max(1, 2) = 2（选2） 所以总的最大得分是2，符合示例的输出。 另一个例子，假设输入是三个3，那么sum[3] =3*3=9。这个数单独成一个组。动态规划处理： dp[0] =9。所以总得分9。 这表明，如果数组中有多个相同元素，它们的总得分是x乘以出现的次数，并且选该元素时，必须选择该元素，并且不能选相邻的数。而因为相邻的数不存在，所以可以安全地选择该元素。 再来看另一个例子，比如数组是1,3,5。这三个数各自独立，因此每个组成单独的组。每个组的得分是1、3、5。总和是9。 而如果数组是1,2,3,5,6，那么分成两组：1-3和5-6。处理第一组的动态规划： 组中的sum数组是[1,2,3]。假设每个数出现一次： sum[1]=1，sum[2]=2，sum[3]=3. 动态规划处理： dp[0] =1 dp[1] = max(1,2) =2 dp[2] = max(2,1+3=4) →4。所以该组的最大得分是4. 第二组的sum数组是5和6： sum[5]=5，sum[6]=6. 动态规划处理： dp[0]=5 dp[1] = max(5,6) =6 →该组的得分是6. 总得分是4+6=10. 所以，这样的处理是正确的。 因此，问题的解法可以分为以下几个步骤： 1. 统计每个数的出现次数，并计算sum[x] =x*count[x]。 2. 将所有的数排序，去重，得到sorted_nums列表。 3. 将sorted_nums分割成连续的组，每个组中的数相邻差为1。 4. 对每个组中的数，按顺序构建一个数组，其中每个元素是对应数的sum[x]。 5. 对每个这样的数组应用打家劫舍的动态规划算法，得到该组的最大得分。 6. 将各组的得分相加，得到总最大得分。 现在，需要考虑如何高效地实现这些步骤，尤其是当数组长度很大（n≤1e5）时，算法的时间复杂度要足够低。 统计出现次数可以使用哈希表或者数组，因为数的范围是1到1e4。可以用数组来统计，时间复杂度O(n)。 排序去重后的sorted_nums列表的长度最多是1e4，所以排序的时间是O(1e4 log 1e4)，可以接受。 分割成连续组的过程可以在一次遍历中完成。例如，初始化一个当前组的列表，然后遍历sorted_nums，如果当前数与前一数的差大于1，则结束当前组，开始新的组。 对于每个连续组，构建sum数组的时间与该组的长度有关，而总的sum数组长度不会超过1e4。 动态规划处理每个组的时间是线性的，所以总的时间复杂度是O(n + m)，其中m是sum数组的总长度（即不同的数的个数），这在题目给定的范围内是可行的。 现在，编写具体的代码步骤： 例如，用C#语言： 首先读取输入： int n = int.Parse(Console.ReadLine()); int[] a = Array.ConvertAll(Console.ReadLine().Split(), int.Parse); 然后统计每个数的出现次数： Dictionary<int, int> count = new Dictionary<int, int>(); foreach (int num in a) { if (count.ContainsKey(num)) count[num]++; else count[num] = 1; } 或者，因为数的范围是1到1e4，可以用数组： int maxAi = 10000; int[] count = new int[maxAi + 2]; // 从0到1e4+1，防止越界 foreach (int num in a) count[num]++; 然后，收集所有存在的数，并排序： List<int> sortedNums = new List<int>(); for (int i=1; i<=maxAi; i++) if (count[i] > 0) sortedNums.Add(i); 然后，分割成连续组： List<List<int>> groups = new List<List<int>>(); if (sortedNums.Count ==0) return 0; List<int> currentGroup = new List<int>(); currentGroup.Add(sortedNums[0]); for (int i=1; i<sortedNums.Count; i++) { if (sortedNums[i] == sortedNums[i-1]+1) currentGroup.Add(sortedNums[i]); else { groups.Add(currentGroup); currentGroup = new List<int>(); currentGroup.Add(sortedNums[i]); } } groups.Add(currentGroup); // 添加最后一个组 然后，对每个组应用动态规划： int totalScore =0; foreach (var group in groups) { int groupSize = group.Count; if (groupSize ==0) continue; // 构建sum数组 long[] sum = new long[groupSize]; for (int i=0; i<groupSize; i++) sum[i] = (long)group[i] * count[group[i]]; // 处理动态规划 if (groupSize ==1) totalScore += (int)sum[0]; else { long prevPrev = sum[0]; long prev = Math.Max(sum[0], sum[1]); for (int i=2; i<groupSize; i++) { long current = Math.Max(prev, prevPrev + sum[i]); prevPrev = prev; prev = current; } totalScore += (int)prev; } } Console.WriteLine(totalScore); 但是，这可能存在一些问题。例如，当组的大小大于2时，如何处理动态规划。比如，对于组中的元素sum[0], sum[1], sum[2], ...，动态规划的处理应该是： 初始化dp0 = sum[0] dp1 = max(sum[0], sum[1]) 然后对于i >=2，dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2]+sum[i]) 所以，在循环中，维护prevPrev和prev变量，分别代表dp[i-2]和dp[i-1]。 例如，当i=2时： current = max(prev, prevPrev + sum[2]) 然后将prevPrev更新为prev，prev更新为 current。 这样，最终的prev就是该组的最大得分。 例如，组中的元素是1,2,3，sum是1,2,3： 初始时，prevPrev=1，prev= max(1,2)=2. i=2时，current = max(2, 1+3=4) →4. 所以，最终得分是4. 这计算正确。 测试示例： 输入： 2 1 2 统计后的sum数组是1和2，形成连续组。组的大小是2。 sum数组是 [1,2] 动态规划： prevPrev =1 prev = max(1,2)=2 →总得分是2. 符合示例的输出。 另一个测试案例： 输入： 3 3 3 3 统计后的sum数组是3*3=9，组的大小是1 →得分9. 另一个测试案例： 数组是1,3,5 →三个组，每个组的得分相加1+3+5=9. 数组是1,2,3,5,6 →两个组，得分4+6=10. 这说明代码的逻辑是正确的。 现在，考虑如何处理非常大的数据，比如n=1e5。在这种情况下，统计count数组的时间是O(n)，排序是O(1e4 log 1e4)，这在时间上是可行的。动态规划的处理对于每个组是线性的，而组的数量最多是1e4/1 =1e4（如果每个数都不连续），但实际上会更少。所以总的时间复杂度是O(n + m log m + m)，其中m是不同数的数量，这在题目限制下是可接受的。 因此，该算法应该是正确的。</think>### 解答思路 该问题要求通过选择数组中的元素，使得每次选择元素后移除其相邻数值的元素，从而获得最大分数。关键在于如何高效选择元素以获得最高分，可采用动态规划结合分组处理的方法解决。 --- ### 方法思路 1. **统计频次**：统计每个元素的出现次数，并计算每个数值的总得分（数值 × 出现次数）。 2. **分组处理**：将所有数值按大小排序后，将连续数值分到同一组（如1,2,3为一组，5,6为另一组）。 3. **动态规划**：对每个连续组应用类似“打家劫舍”问题的动态规划，计算该组内的最大得分。 4. **合并结果**：将各组的最大得分相加，得到最终结果。 --- ### 解决代码 ```csharp using System; using System.Collections.Generic; public class Program { public static void Main() { int n = int.Parse(Console.ReadLine()); int[] a = Array.ConvertAll(Console.ReadLine().Split(), int.Parse); // 统计每个数的出现次数 int[] count = new int[10002]; // 数值范围1到1e4 foreach (int num in a) { count[num]++; } // 收集所有存在的数并排序 List<int> sortedNums = new List<int>(); for (int i = 1; i <= 10000; i++) { if (count[i] > 0) { sortedNums.Add(i); } } if (sortedNums.Count == 0) { Console.WriteLine(0); return; } // 分割成连续数值的组 List<List<int>> groups = new List<List<int>>(); List<int> currentGroup = new List<int> { sortedNums[0] }; for (int i = 1; i < sortedNums.Count; i++) { if (sortedNums[i] == sortedNums[i-1] + 1) { currentGroup.Add(sortedNums[i]); } else { groups.Add(currentGroup); currentGroup = new List<int> { sortedNums[i] }; } } groups.Add(currentGroup); long totalScore = 0; foreach (var group in groups) { int m = group.Count; if (m == 0) continue; // 动态规划处理每组 long[] dp = new long[m]; dp[0] = (long)group[0] * count[group[0]]; if (m == 1) { totalScore += dp[0]; continue; } dp[1] = Math.Max(dp[0], (long)group[1] * count[group[1]]); for (int i = 2; i < m; i++) { long current = (long)group[i] * count[group[i]]; dp[i] = Math.Max(dp[i-1], dp[i-2] + current); } totalScore += dp[m-1]; } Console.WriteLine(totalScore); } } ``` --- ### 代码解释 1. **输入处理**：读取数组长度和元素，统计每个元素的出现次数。 2. **数值分组**：将数值按连续区间分组，确保组内元素连续。 3. **动态规划**：对每个连续组应用动态规划，计算不选择相邻元素时的最大得分。 4. **结果合并**：将各组的最大得分累加，输出最终结果。 该方法高效处理大规模数据，时间复杂度为 $O(n + m \log m)$，其中 $n$ 为数组长度，$m$ 为不同数值的数量。

### 树状数组简介 树状数组（Binary Indexed Tree，简称 BIT）是一种用于高效处理动态前缀和的数据结构。它的核心思想是通过二进制位操作构造一棵隐式存在的“树”，从而支持单点修改和区间查询操作的时间复杂度均为 \(O(\log n)\)。 #### 题目解析 我们需要完成以下任务： 1. **构建树状数组**：初始化一个包含输入数据的树状数组。 2. **输出树状数组的内容**：打印内部维护的值。 3. **计算前缀和**：利用树状数组提供的特性快速计算每个位置的前缀和，并将其存入前缀和数组。 4. **输出前缀和数组内容**：将所有前缀和按顺序输出。 --- ### 算法实现 #### 1. 核心函数说明 - **lowbit(x)**：返回 x 最低位上 1 所代表的数值，公式为 `x & (-x)`。 - **update(index, value)**：更新指定索引处的值，并同步调整树状数组的相关节点。 - **query(index)**：从起点到 index 的前缀和计算。 #### 2. 具体步骤 1. 初始化原始数组和树状数组。 2. 构建树状数组，即将原数组的所有元素逐一插入到树状数组中。 3. 利用树状数组的性质计算前缀和。 4. 输出树状数组及前缀和数组。 --- #### 示例代码 (Python 版本) ```python class BinaryIndexedTree: def __init__(self, size): self.size = size self.tree = [0] * (size + 1) # 树状数组下标从1开始 # 更新index处的值 def update(self, index, delta): while index <= self.size: self.tree[index] += delta index += index & -index # 查询[1,index]区间的和 def query(self, index): res = 0 while index > 0: res += self.tree[index] index -= index & -index return res # 输入部分 n = int(input()) arr = list(map(int, input().split())) # 创建树状数组并填充初始数据 BIT = BinaryIndexedTree(n) for i in range(1, n+1): # 数组下标从1开始 BIT.update(i, arr[i-1]) # 获取树状数组内的实际存储值 tree_values = [] for i in range(1, len(BIT.tree)): tree_values.append(str(BIT.tree[i])) # 计算前缀和 prefix_sum = [] for i in range(1, n+1): prefix_sum.append(str(BIT.query(i))) # 输出结果 print(" ".join(tree_values)) print(" ".join(prefix_sum)) ``` --- #### 示例解释 ##### 输入样例 ``` 5 1 -1 2 1 3 ``` ##### 输出样例 ``` 1 -1 3 1 3 1 0 2 3 6 ``` 1. 第一行为树状数组的实际存储值，即 `[1, -1, 3, 1, 3]`。 2. 第二行为前缀和数组，表示各个位置的累计和。 --- #### 关键知识点回顾 1. **树状数组的核心原理**：基于 lowbit 函数实现快速查找与更新。 2. **前缀和的意义**：能够快速获取任意区间的总和信息。 3. **空间优化**：无需显式构建完整的树形结构即可实现功能。 --- ###