多重背包问题pta
时间: 2025-06-30 16:36:29 浏览: 8
### 多重背包问题 PTA 题解与算法
多重背包问题是动态规划中的经典问题之一，其核心思想是扩展了0-1背包和完全背包的限制条件。在多重背包问题中，每种物品不仅有重量和价值，还存在一个数量限制。这意味着对于每种物品，可以选择装入0个、1个、直到最多允许的数量。
#### 问题描述
给定 \( n \) 种物品和一个容量为 \( C \) 的背包。每种物品 \( i \) 的重量为 \( w_i \)，价值为 \( v_i \)，并且最多可以选 \( k_i \) 个。目标是选择若干物品放入背包，使得总重量不超过 \( C \)，同时总价值最大。
#### 动态规划解法
动态规划的状态定义通常如下：
- 定义 \( dp[j] \) 表示当背包容量为 \( j \) 时的最大价值。
- 状态转移方程为：
\[
dp[j] = \max(dp[j], dp[j - m \cdot w_i] + m \cdot v_i) \quad (m \leq k_i)
\]
其中 \( m \) 是当前物品 \( i \) 的选取数量。
为了优化时间复杂度，可以将每个物品拆分为多个“子物品”，这些子物品通过二进制分解的方式生成。例如，如果某物品最多可以选 \( k_i = 7 \) 个，则将其拆分为 \( 1, 2, 4 \) 和 \( 7 - (1+2+4) = 0 \)（即无需额外处理）。
以下是基于二进制优化的代码实现[^2]：
```cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int N, C;
vector<int> w, v;
int main() {
cin >> C >> N; // 输入背包容量和物品数量
for (int i = 0; i < N; ++i) {
int weight, value, count;
cin >> weight >> value >> count; // 输入物品的重量、价值和数量
// 使用二进制分解将物品转化为0-1背包形式
for (int k = 1; count > 0; k <<= 1) {
if (k > count) k = count;
w.push_back(k * weight);
v.push_back(k * value);
count -= k;
}
}
// 动态规划求解
vector<int> dp(C + 1, 0);
for (int i = 0; i < w.size(); ++i) {
for (int j = C; j >= w[i]; --j) {
dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
}
}
cout << dp[C] << endl; // 输出结果
return 0;
}
```
#### 时间与空间复杂度
- **时间复杂度**：由于使用了二进制优化，每个物品被拆分后的子物品数量最多为 \( O(\log k_i) \)，因此总的时间复杂度为 \( O(nC\log k) \)。
- **空间复杂度**：\( O(C) \)，其中 \( C \) 为背包容量。
#### 相关题目
PTA平台上有许多涉及多重背包问题的题目，以下是一些常见题目的描述：
- **切原木问题**：给定一根长度为 \( N \) 的原木和若干种切割方式，每种切割方式有固定的价值和数量限制，求最大总价值。
- **凑零钱问题**：类似于完全背包问题，但某些硬币的数量有限，需要结合多重背包的思想解决[^3]。
---
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吉林大学提供的计算机专业课件，标题为“Windows程序设计”，是一个专为初学者设计的自学材料。通过这份课件，初学者将能够掌握Windows环境下编程的基本概念和实践技能，这对于未来深入学习更高级的编程知识及从事软件开发工作都是非常有帮助的。
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本讲主要是对Windows程序设计做一个基本的介绍，涵盖了Windows应用程序的运行环境和特性。课程会介绍Windows操作系统对程序设计的支持，包括API（应用程序编程接口）的使用，以及如何创建一个基本的Windows应用程序。此外，还会涉及程序设计的基本原则，如消息驱动和事件驱动编程。
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在本讲中，将介绍Windows程序中如何进行文本输出和基本图形绘制。这部分知识会涉及GDI（图形设备接口）的使用，包括字体管理、颜色设置和各种绘图函数。对于初学者来说，理解这些基本的图形绘制方法对于创建美观的应用程序界面至关重要。
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键盘输入是用户与应用程序交互的重要方式之一。本讲将解释Windows程序如何接收和处理键盘事件，包括键盘按键的响应机制、快捷键的设置和文本输入处理等。掌握这部分知识对于实现用户友好界面和交互逻辑至关重要。
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### 总结
以上就是根据吉林大学计算机专业课件“Windows程序设计”中提供的各讲内容提炼出的关键知识点。该课件内容详实，覆盖了从基础到高级的各项内容，非常适合初学者按部就班地学习Windows程序设计。学习者通过逐步掌握这些知识点，将能够独立设计和开发出具有完整功能的Windows应用程序。
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Struts框架中ActionForm与实体对象的结合使用
在深入讨论知识点之前，首先要明确一点，struts框架是Java的一个开源Web应用程序框架，用于简化基于MVC（Model-View-Controller）设计模式的Web应用程序的开发。而ActionForm则是Struts框架中的一个组件，它充当MVC设计模式中的Model（模型）和View（视图）之间的桥梁，主要用于封装用户输入的数据，并将这些数据传递给业务逻辑层进行处理。
知识点一：Struts框架基础
Struts框架使用一个中央控制器（ActionServlet）来接收所有的用户请求，并根据配置的映射规则（struts-config.xml）将请求转发给相应的Action类进行处理。Action类作为控制器（Controller），负责处理请求并调用业务逻辑。Action类处理完业务逻辑后，会根据处理结果将控制权转交给不同的JSP页面。
知识点二：ActionForm的使用
ActionForm通常用于封装来自用户界面的数据，这些数据被存储在表单中，并通过HTTP请求提交。在Struts中，每个表单对应一个ActionForm子类的实例。当ActionServlet接收到一个请求时，它会负责创建或查找相应的ActionForm对象，然后使用请求中的数据填充ActionForm对象。
知识点三：在ActionForm中使用实体对象
在实际应用中，表单数据通常映射到后端业务对象的属性。因此，为了更有效地处理复杂的数据，我们可以在ActionForm中嵌入Java实体对象。实体对象可以是一个普通的Java Bean，它封装了业务数据的属性和操作这些属性的getter和setter方法。将实体对象引入ActionForm中，可以使得业务逻辑更加清晰，数据处理更加方便。
知识点四：Struts表单验证
Struts提供了一种机制来验证ActionForm中的数据。开发者可以在ActionForm中实现validate()方法，用于对数据进行校验。校验失败时，Struts框架可以将错误信息存储在ActionMessages或ActionErrors对象中，并重新显示表单页面，同时提供错误提示。
知识点五：整合ActionForm与业务逻辑
ActionForm通常被设计为轻量级的，主要负责数据的接收与传递。真正的业务逻辑处理应该在Action类中完成。当ActionForm对象被创建并填充数据之后，Action对象可以调用ActionForm对象来获取所需的数据，然后进行业务逻辑处理。处理完成后的结果将用于选择下一个视图。
知识点六：Struts配置文件
Struts的配置文件struts-config.xml定义了ActionForm、Action、JSP页面和全局转发等组件之间的映射关系。开发者需要在struts-config.xml中配置相应的ActionForm类、Action类以及它们之间的映射关系。配置文件还包含了数据源、消息资源和插件的配置。
知识点七：Struts与MVC设计模式
Struts遵循MVC设计模式，其中ActionServlet充当控制器的角色，负责接收和分派请求。ActionForm承担部分Model和View的职责，存储视图数据并传递给Action。Action类作为控制器，负责处理业务逻辑并返回处理结果，最终Action类会指定要返回的视图（JSP页面）。
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结合上述知识点，我们可以了解到Struts框架在使用ActionForm中集成实体对象时的一些关键操作和设计原则。开发者通过合理地设计ActionForm和Action类，以及妥善地利用Struts提供的配置和验证机制，可以开发出结构清晰、易于维护的Web应用程序。同时，通过社区资源和交流工具，可以有效地提高开发效率，不断完善自己的技术栈。
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