7-7 图的连通性判断 分数 25 作者 陈越 单位 浙江大学 请编写程序，用广度优先搜索输出给定无向图中的各个连通分量，并判断给定的无向图是否连通。 注意输出顺序规定如下： 每个连通分量的输出从其中编号最小的顶点开始； 不同连通分量按其第一个顶点的编号增序输出，每个连通分量占一行； 当一个顶点有多个邻接点时，按其输入的逆序进行访问，即最后输入的邻接点，在广度优先搜索中应被最先访问输出。 输入格式： 输入首先在第一行给出图中最大顶点数量，即正整数 kMaxVertex（≤10）。 第二行给出两个正整数，依次为当前要创建的图的顶点数 n 和边数 m（保证顶点数至少为 2 且不超过最大顶点数量）。 第三行给出 n 个英文字母，顺序对应每个顶点的信息。 随后 m 行，每行给出一条无向边的两个端点的编号、以及边的权重。顶点编号从 0 开始，权重（≤2 30 ）为整数。 同行数字、字符均以一个空格分隔。 输出格式： 按照题面中规定的顺序，输出图中的连通分量每个顶点的信息。每个连通分量占一行，字符间不要有空格。 随后，如果图不连通，则在一行中输出 有 x 个连通分量，其中 x 是连通分量的个数。 最后一行输出 该图连通性为 y，其中图连通时 y 值为 1，否则为 0。 输入样例： 10 6 7 a b c d e f 2 0 2 2 3 1 3 0 3 3 4 4 2 4 2 4 0 5 4 5 1 输出样例： aedcf b 有 2 个连通分量 该图连通性为 0

<think>好的，我现在需要帮助用户解决如何使用BFS判断无向图的连通性并输出连通分量的问题。首先，我得回忆一下BFS的基本原理和它在图遍历中的应用。根据用户提供的引用内容，特别是引用[4]和[5]，BFS通过队列逐层遍历节点，能够有效发现从源节点可达的所有顶点，这正是判断连通分量的关键。 首先，用户需要的是编程实现方法，所以得考虑具体的数据结构。通常，图可以用邻接表或邻接矩阵来表示。邻接表在处理稀疏图时更高效，所以可能更适合。引用[5]中的Java代码示例使用了邻接表，并维护了一个标记数组marked来记录已访问的节点，以及一个队列nodes来进行BFS遍历。 接下来，判断连通性意味着整个图是否只有一个连通分量。如果所有节点都被访问过一次BFS遍历，说明图是连通的；否则，存在多个连通分量。输出各个连通分量需要在每次BFS启动时（即每次找到一个未访问的节点时）记录该连通分量的所有节点。 然后，我需要考虑如何组织代码。根据引用[5]中的示例，BFS的实现包括初始化标记数组、队列，然后循环处理队列中的节点，直到队列为空。每次处理一个节点时，遍历其邻接节点，将未访问的加入队列并标记。这样，每次调用BFS函数就能处理一个连通分量。 此外，用户可能希望看到具体的步骤和代码示例。比如，如何初始化图的数据结构，如何执行BFS遍历，如何记录连通分量，以及如何输出结果。需要确保代码结构清晰，注释明确，便于用户理解。 还要注意不同编程语言的实现差异。用户提供的引用中有Java示例，但用户可能需要其他语言如Python的实现。不过用户没有明确指定，所以可能需要提供一个通用思路，或者选择一种常见语言如Python来示例。 另外，需要考虑时间复杂度和空间复杂度。BFS的时间复杂度是O(V+E)，其中V是顶点数，E是边数，因为每个顶点和边都会被访问一次。空间复杂度主要取决于队列的大小和存储结构，通常是O(V)。 最后，根据用户的要求，生成相关问题。可能需要包括BFS与DFS的区别、性能优化、应用场景等，这些都可以从提供的引用中找到相关点，比如引用[2]和[4]提到了BFS和DFS的比较，以及BFS的应用。</think>以下是使用广度优先搜索（BFS）判断无向图连通性并输出连通分量的实现方法： ### 一、实现原理 1. **连通分量定义**：无向图中互相连通的顶点集合 2. **BFS特性**：从起点出发按层遍历可达顶点，天然适合发现连通分量[^4] 3. **核心步骤**： - 使用标记数组记录顶点访问状态 - 通过队列实现分层遍历 - 每次完整BFS遍历对应一个连通分量 ### 二、代码实现（Python示例） ```python from collections import deque class Graph: def __init__(self, vertices): self.V = vertices self.adj = [[] for _ in range(vertices)] def add_edge(self, u, v): self.adj[u].append(v) self.adj[v].append(u) def find_connected_components(graph): visited = [False] * graph.V components = [] for v in range(graph.V): if not visited[v]: # 开始新的连通分量搜索 queue = deque() component = [] visited[v] = True queue.append(v) while queue: curr = queue.popleft() component.append(curr) for neighbor in graph.adj[curr]: if not visited[neighbor]: visited[neighbor] = True queue.append(neighbor) components.append(component) return components # 示例用法 g = Graph(5) g.add_edge(0, 1) g.add_edge(1, 2) g.add_edge(3, 4) components = find_connected_components(g) print("连通分量数量:", len(components)) print("各连通分量顶点:") for i, comp in enumerate(components): print(f"分量{i+1}: {comp}") ``` ### 三、关键实现细节 1. **标记数组**：`visited`数组防止重复访问，保证时间复杂度为$O(V+E)$[^5] 2. **队列操作**：使用双端队列实现高效的首元素取出（popleft()） 3. **连通性判断**：当返回的components列表长度为1时，图是连通的 4. **顶点信息存储**：每个连通分量以列表形式存储其包含的顶点 ### 四、执行结果示例 ``` 连通分量数量: 2 各连通分量顶点: 分量1: [0, 1, 2] 分量2: [3, 4] ``` ### 五、算法分析 1. **时间复杂度**：$O(V + E)$，每个顶点和边只访问一次[^4] 2. **空间复杂度**：$O(V)$，队列最大存储顶点数 3. **优势**：天然获得最短路径，适合查找最近邻关系[^2]