已知 x = - (69)10，y = (75)10，请写出 x 和 y 的二进制真值，以及它们的8位二进制补码表示（含单符号位），并按补码加减运算法则计算 [x-y]补，要求用双符号法判定结果是否溢出，如未溢出请写出结果的十进制真值

<think>嗯，用户让我解决一个关于二进制补码的问题。题目是已知x=-69，y=75，要写出它们的二进制真值，8位补码表示，然后用补码加减法计算[x-y]补，用双符号位判断溢出，如果没有溢出的话还要转成十进制真值。 首先，我需要确认自己是否理解正确。题目中的x是十进制数-69，y是十进制的75。二进制真值应该是指原码表示吧？不过原码对于负数来说符号位是1，后面是绝对值的二进制。而补码的话，负数需要取反加一。这里需要注意8位补码的范围是-128到127，所以69和75都在这个范围内，没问题。 第一步，处理x和y的二进制真值。x是负数，所以原码应该是符号位1，后面跟69的二进制。69转二进制的话，64是2^6，所以是1000101，所以原码应该是1 1000101，但因为是8位，所以符号位占一位，后面七位，所以原码应该是11000101？或者原码的真值是否需要不带符号位的二进制？比如，对于x=-69的真值可能是指绝对值部分，即二进制1000101，但可能用户这里需要的是原码表示。不过题目说的是“二进制真值”，通常真值可能指的是原码，包括符号位，所以x的真值是11000101，y的是01001011？因为75的二进制是64+8+2+1=64+11=1001011，所以符号位0，后面七位，所以8位原码是01001011。 不过可能需要更仔细地转换。首先，将69转换为二进制。69除以2，商34余1，34/2商17余0，17/2商8余1，8/2商4余0，4/2商2余0，2/2商1余0，1/2商0余1，所以从下往上写是1000101，共7位，所以8位原码是符号位1，后面七位，即11000101。y=75的二进制是同样方法，75除以2，商37余1，37/2商18余1，18/2商9余0，9/2商4余1，4/2商2余0，2/2商1余0，1/2商0余1，所以二进制是1001011，共7位，所以原码是符号位0，后面七位，即01001011。 接下来是补码。x是负数，所以补码是原码取反加一，不包括符号位。原码是11000101，符号位后的部分是1000101。取反得到0111010，加一得到0111011，所以补码应该是符号位1，后面加上这个结果，即10111011。对吗？或者步骤是否正确？ 或者，另一种方法是将x的绝对值转换为二进制，然后取补码。比如，69的二进制是01000101（8位），那么补码就是取反加一，得到10111010 +1 =10111011。所以x的补码是10111011。而y是正数，所以补码与原码相同，即01001011。 然后计算[x-y]补，补码减法可以转换为加上-y的补码。即[x]补 + [-y]补。所以需要先找到-y的补码。-y是-75，其补码是75的原码取反加一。75的二进制原码是01001011，所以取反（符号位变为1，后面取反加一），也就是先取反数值部分：1001011取反是0110100，加一得0110101，所以补码应该是符号位1加上这个结果，即10110101？或者另一种方式，75的补码是01001011，所以-75的补码是取反加一整个补码（不包括符号位？），应该是10110101？需要确认。 或者更准确的方法是：y=75的补码是01001011，所以-y的补码等于对y的补码取反加一（包括符号位？），或者是不是这样？其实补码的负数可以通过取反加一来得到。例如，对于正数的补码，取反加一得到其负数的补码。所以，对于y的补码01001011，取反得10110100，加一得10110101，这就是-y的补码。 然后，将x的补码10111011加上-y的补码10110101，进行加法运算。这时候需要注意使用双符号位，也就是将两个补码扩展为两位符号位，即把原来的符号位复制到第二位。比如，x的补码是10111011，双符号位就是11 011011？或者，两位符号位的情况下，原来的8位补码需要扩展为9位，其中前两位是符号位。比如x的补码是10111011，双符号位应该是将符号位复制一次，变成11 011011？或者可能原补码是8位，双符号位需要扩展为9位？比如，原补码的最高位是符号位，双符号位的话，变成两位符号位，所以x的补码是1 0111011，双符号位的话是11 0111011，共9位？而-y的补码是10110101，双符号位的话是11 0110101？或者可能两位符号位的补码是扩展符号位，例如，对于8位补码，双符号位则变成9位，最高两位相同，比如x补是10111011，双符号位就是 11 0111011（共9位），而-y补是10110101，双符号位是 11 0110101？ 然后加法的时候，将两位符号位视为高位，然后相加。这时候需要确保两个数都是双符号位。例如，x的补码是10111011，双符号位就是将符号位复制一位，得到110111011？或者正确的做法是，每个数的符号位扩展一位，比如原符号位是1，双符号位就是11，后面跟着原数值部分。例如，x的补码是8位：10111011，双符号位应该是 11 0111011？或者每个数被扩展为9位，前两位是符号位，所以x的补码双符号位是11 0111011，而-y的补码双符号位是11 0110101？ 这时候，可能需要将两个数都转换为9位双符号位的补码形式。例如： x的补码是8位：10111011。转换成双符号位的话，符号位是1，所以两位符号位都是1，后面是数值部分，即11 0111011，共9位。同理，-y的补码是10110101，转换为双符号位的话，符号位1，两位符号位11，后面数值部分是0110101，所以总共有9位：11 0110101？ 然后，将这两个9位的补码相加： 11 0111011 (x的补码) + 11 0110101 (-y的补码) = ? 逐位相加，注意进位。让我们具体计算： 第一位（符号位第二位）：1 + 1 = 10，所以写0，进位1 第二位（符号位第一位）：1 + 1 + 进位1 = 11，写1，进位1 接下来的各位： 第三位：0+0+1=1，进位0 第四位：1+1=0，进位1 第五位：1+0+1=0，进位1 第六位：1+1+1=1，进位1 第七位：0+0+1=1，进位0 第八位：1+1=0，进位1 第九位：1+0+0=1，进位0 或者可能需要更仔细的位排列： 两位符号位后面跟着数值位： x的补码双符号位：1 1 0 1 1 1 0 1 1 （9位） -y的补码双符号位：1 1 0 1 1 0 1 0 1 （9位） 然后相加： 1 1 0 1 1 1 0 1 1 + 1 1 0 1 1 0 1 0 1 ---------------------------- 逐位相加： 从右到左： 第9位：1+1=10 → 0，进位1 第8位：1+0+1=10 → 0，进位1 第7位：0+1+1=10 → 0，进位1 第6位：1+0+1=10 → 0，进位1 第5位：1+1+1=11 → 1，进位1 第4位：1+0+1=10 → 0，进位1 第3位：0+1+1=10 → 0，进位1 第2位：1+1+1=11 → 1，进位1 第1位：1+1+1=11 → 1，进位1 最终结果可能溢出，因为两位符号位不同？比如，如果符号位两位是10或者01，则表示溢出。现在，计算后的符号位是两位：例如，假设第一位和第二位是1和1，加上进位的话，可能得到不同的结果。这可能需要重新详细计算。 或许我应该将每个数的双符号位补码写成9位，例如： x的补码是8位：10111011 → 双符号位扩展为9位：110111011（即符号位1复制一位，后面跟着原数值位） 同理，-y的补码是8位：10110101 → 双符号位扩展为9位：110110101 现在，相加： 110111011 (x) +110110101 (-y) = ? 让我们一位一位计算，从右到左： 每一位相加，包括进位： 第1位（最右边）：1+1=10 → 0，进位1 第2位：1+0+1=10 → 0，进位1 第3位：0+1+1=10 → 0，进位1 第4位：1+0+1=10 → 0，进位1 第5位：1+1+1=11 → 1，进位1 第6位：1+0+1=10 → 0，进位1 第7位：1+1+1=11 → 1，进位1 第8位：0+1+1=10 → 0，进位1 第9位（符号位第二位）：1+1+1=11 → 1，进位1 第10位（符号位第一位）：1+1+1=11 → 1，进位1 但这里每个数都是9位，所以相加结果应该是9位加进位？可能我哪里弄错了。或者，正确的加法是忽略最高位的进位，因为补码加法是模2^n运算，所以进位溢出会被丢弃。 不过可能我的计算有误，这里需要更仔细的步骤。 另一个方法：将x和-y的补码转换成十进制，相加后再看结果。但用户要求用双符号位判断溢出，所以必须用二进制加法过程。 或者，可能更简单的是，先写出正确的补码形式，然后进行加法运算，并观察双符号位是否一致。 例如，x的补码是10111011（8位），双符号位扩展为9位的话是110111011。而-y的补码是10110101，双符号位是110110101。相加： 110111011 +110110101 = ? 现在，逐位相加： 从右到左： 第1位：1+1=0，进位1 第2位：1+0+1=0，进位1 第3位：1+1+1=1，进位1 第4位：0+0+1=1，进位0 第5位：1+1=0，进位1 第6位：1+0+1=0，进位1 第7位：1+1+1=1，进位1 第8位：0+1+1=0，进位1 第9位：1+1+1=1，进位1（但这里只有9位，所以进位会被丢弃） 所以结果应该是： (1) 1 0 0 1 1 0 0 0 0 （进位后的结果，但实际9位是？） 可能计算有误，或许我应该用具体的二进制加法步骤： 比如： x的双符号补码：1 1 0 1 1 1 0 1 1 （共9位） -y的双符号补码：1 1 0 1 1 0 1 0 1 （共9位） 相加： 从右到左每一位： 1. 第9位：1 + 1 = 0，进位1 2. 第8位：1 + 0 + 1 = 0，进位1 3. 第7位：0 + 1 + 1 = 0，进位1 4. 第6位：1 + 0 + 1 = 0，进位1 5. 第5位：1 + 1 + 1 = 1，进位1 6. 第4位：1 + 0 + 1 = 0，进位1 7. 第3位：0 + 1 + 1 = 0，进位1 8. 第2位（符号位第二位）：1 + 1 + 1 = 1，进位1 9. 第1位（符号位第一位）：1 + 1 + 1 = 1，进位1 所以，相加后的结果应该是： 1 1 0 0 1 0 0 0 0 （但可能有错误，需要重新计算） 或者，可能正确的加法结果如下： 让我们写出每一位的具体数值： x双符号位补码：1 1 0 1 1 1 0 1 1 -y双符号位补码：1 1 0 1 1 0 1 0 1 相加： 每一位（从右到左，即第9位到第1位）： 位9：1 + 1 = 0，进位1 位8：1 + 0 + 1 = 0，进位1 位7：0 + 1 + 1 = 0，进位1 位6：1 + 0 + 1 = 0，进位1 位5：1 + 1 + 1 = 1，进位1 位4：1 + 0 + 1 = 0，进位1 位3：0 + 1 + 1 = 0，进位1 位2（符号位第二位）：1 + 1 + 1 = 1，进位1 位1（符号位第一位）：1 + 1 + 1 = 1，进位1 结果各位： 位9: 0 位8: 0 位7: 0 位6: 0 位5: 1 位4: 0 位3: 0 位2: 1（原符号位第二位） 位1: 1（原符号位第一位） 所以，总的结果是：1 1 0 0 0 1 0 0 0 （即符号位两位都是1，后面跟着001000）。但这里可能哪里出错了，因为中间的计算步骤可能不正确。或许应该更仔细地列出每一位的计算： 例如，按位置排列： x: 1 1 0 1 1 1 0 1 1 y: 1 1 0 1 1 0 1 0 1 从右到左（位1到位9）： 位1：1 + 1 = 0，进位1 位2：1 + 0 + 1 = 0，进位1 位3：0 + 1 +1 = 0，进位1 位4：1 +0 +1 =0，进位1 位5：1 +1 +1=1，进位1 位6：1 +0 +1=0，进位1 位7：0 +1 +1=0，进位1 位8：1 +1 +1=1，进位1 位9：1 +1 +1=1，进位1 所以结果应该是： 位9:1 +1 +1=1，进位1 → 结果位1，但这里已经是最左边了，可能进位会被丢弃？ 所以结果位是： 位1到9： 1（进位后） 1 0 0 1 0 0 0 0 ？ 这可能不太对，可能我需要重新排列正确的顺序。 或者，可能更好的方法是写出每一列的具体加法： 例如，各位编号从右到左为1到9： x的各位（右到左）：1（位1）,1,0,1,1,1,0,1,1（位9） y的各位（右到左）：1（位1）,0,1,0,1,0,1,1,1（位9） 但可能我这里搞混了顺序，应该从左到右排列，左边是高位。 可能更好的方法是将两个数写成： x: 1 1 0 1 1 1 0 1 1 y: 1 1 0 1 1 0 1 0 1 然后相加： 开始时的进位是0。 从右到左逐位相加： 位1（最右边）：1 +1 = 10 → 结果位0，进位1 位2：1 +0 +1=10 → 结果0，进位1 位3：1 +1 +1=11 → 结果1，进位1 位4：0 +0 +1=1 → 结果1，进位0 位5：1 +1 +0=10 → 结果0，进位1 位6：1 +0 +1=10 → 结果0，进位1 位7：0 +1 +1=10 → 结果0，进位1 位8：1 +1 +1=11 → 结果1，进位1 位9：1 +1 +1=11 → 结果1，进位1 所以结果应该是： 位9到1（从左到右）：1 1 1 0 0 0 0 0 0 对吗？因为： 位9：1 +1 +进位（之前进位是1）=1+1+1=11 → 结果1，进位1 但这里，最高位的进位会被丢弃，所以实际结果是9位： 1 1 1 0 0 0 0 0 0？ 或者，进位1会被加到第9位之后，但因为是9位运算，所以丢弃进位，结果为111000000？ 这样的话，双符号位是11，而后面是1000000。但双符号位如果两位不同（比如10或01）才溢出，这里双符号位都是1，所以没有溢出？但根据双符号位的规则，如果两位符号位不同，则表示溢出，否则没有溢出。所以这里符号位两位都是1，表示结果没有溢出，是正确的负数补码。 但此时的结果是9位，双符号位是11，后面的数值部分是1000000。转换回8位的话，去掉最高位的符号位，得到11000000？但原补码是8位，所以可能需要将双符号位的结果转换为8位？ 或者，在双符号位运算中，结果保留两位符号位，然后检查这两位是否相同。如果相同（00或11），则没有溢出；如果不同（01或10），则溢出。这里结果是11 1000000，两位符号位都是1，所以没有溢出。因此，结果正确。 然后，将补码结果转换为十进制。结果的补码是111000000（9位），但实际应该是8位，因为原题是8位补码。可能需要将双符号位的结果截断为8位，即取后8位，符号位是第二位吗？或者如何？ 例如，双符号位的结果是11 1000000（共9位），转换为8位的话，去掉一个符号位，得到11000000？即符号位是1，数值部分是1000000。然后转换为十进制：补码11000000，符号位1，数值部分取反加一：1000000取反是0111111，加一得1000000，即128，所以十进制是-128。但x-y的结果是-69 -75 = -144，而8位补码的范围是-128到+127，所以这里应该溢出，因为-144超出了范围。但根据双符号位判断，符号位两位相同，所以没有溢出？这里明显矛盾，说明我的计算有误。 这说明之前的步骤有错误。可能哪里出错了？ 首先，x是-69，8位补码是10111011，y是75，补码是01001011。-y的补码是10110101。 所以，x的补码是10111011，-y的补码是10110101，两者的和为： 10111011 +10110101 = ? 计算8位补码加法： 1 0 1 1 1 0 1 1 + 1 0 1 1 0 1 0 1 ------------------- 从右到左： 位1：1+1=0，进位1 位2：1+0+1=0，进位1 位3：0+1+1=0，进位1 位4：1+0+1=0，进位1 位5：1+1+1=1，进位1 位6：0+0+1=1，进位0 位7：1+1=0，进位1 位8：1+1+1=1，进位1（溢出） 8位结果是：1 0 0 0 1 0 0 0 0？或者具体计算： 位8（最左边）的结果是1+1=10，加上进位的话，如果进位来自位7，则位7是1+1=0，进位1，所以位8是1+1+1=11，即结果为1，进位1。但8位补码中，进位会被丢弃，所以结果是01110000？不，可能哪里弄错了。 正确的二进制加法步骤： 每一位计算： 位1: 1+1=0，进位1 位2: 1+0=1 +进位1=0，进位1 位3: 0+1=1 +进位1=0，进位1 位4: 1+0=1 +进位1=0，进位1 位5: 1+1=0 +进位1=1，进位1 位6: 0+0=0 +进位1=1，进位0 位7: 1+1=0 +进位0=0，进位1 位8: 1+1=0 +进位1=1，进位1（溢出） 所以8位的结果是：0 1 1 0 0 0 0 0？即01100000？这显然不对，因为手动计算可能出错了。 或者，用另一种方式，将两个补码转换为十进制，然后相加，看结果是否在8位补码范围内。 x的补码10111011转换为十进制：符号位1，数值部分取反加一。原补码是10111011，取反得01000100，加一得01000101，即69，所以十进制是-69。 -y的补码是10110101，转换为十进制：符号位1，数值部分取反加一：10110101 → 取反01001010，加一得01001011，即75，所以十进制是-75。 所以x-y的补码加法就是-69 + (-75) = -144。但8位补码的范围是-128到+127，所以-144超出了范围，应该溢出。但是根据双符号位的判断，如果双符号位是两位，则结果是否溢出？ 当使用双符号位时，如果两个符号位不同（如01或10），则表示溢出；如果相同（00或11），则没有溢出。之前的双符号位加法结果符号位是11，所以认为没有溢出，但实际结果超出了8位补码的范围，这说明我的双符号位计算有错误。 这说明在双符号位加法过程中，可能哪里出错了。可能是在扩展双符号位时的方法不正确。 正确的双符号位加法应该将每个操作数的符号位扩展两位，例如，对于8位补码，双符号位扩展为9位，其中前两位是符号位。例如： x的补码是10111011（8位），双符号位扩展为11 0111011（共9位） -y的补码是10110101（8位），双符号位扩展为11 0110101（共9位） 现在相加： 11 0111011 +11 0110101 = ? 将这两个9位数相加： 110111011 + 110110101 = ? 逐位相加： 从右到左： 位1: 1+1=0，进位1 位2: 1+0+1=0，进位1 位3: 0+1+1=0，进位1 位4: 1+0+1=0，进位1 位5: 1+1+1=1，进位1 位6: 1+0+1=0，进位1 位7: 0+1+1=0，进位1 位8: 1+1+1=1，进位1 位9: 1+1+1=1，进位1（进位被丢弃） 所以结果9位是：1 1 1 0 0 0 0 0 0（符号位两位是11，后面是1000000） 双符号位是11，表示没有溢出。但实际结果应该是-144，这超出了8位补码的范围，所以应该溢出。这说明双符号位判断错误，可能哪里出错了？ 哦，这里的问题可能出在双符号位的计算是否正确。双符号位的溢出判断是看两位符号位是否相同。如果不同，则溢出。例如，结果的双符号位是11，相同，所以无溢出。但实际结果-144超出了8位补码的范围，说明应该溢出。所以这里出现矛盾，说明我的双符号位计算过程有误。 这说明我可能在转换双符号位的时候犯了错误。正确的双符号位扩展应该是在原补码的基础上，将符号位扩展到两位，而不是重复原符号位两次。例如，原补码的符号位是最高位，扩展为两位相同的符号位。例如，原补码是8位： x的补码是10111011 → 双符号位扩展为 11 0111011（9位） -y的补码是10110101 → 双符号位扩展为 11 0110101（9位） 相加得到的结果是： 110111011 +110110101 = (1)101110000 （进位1被丢弃） 所以结果是101110000（9位），双符号位是10，这表示溢出，因为两位符号位不同。这时候才能正确判断溢出。可能我之前在计算加法时出错了，导致双符号位相同，但实际上应该不同。 让我重新计算加法： 正确的9位加法： x双符号位：11 0111011 → 110111011 -y双符号位：11 0110101 → 110110101 相加： 110111011 + 110110101 = ? 计算过程： 从右到左，每一位的加法： 位1: 1+1=0，进位1 位2: 1+0+1=0，进位1 位3: 1+1+1=1，进位1 位4: 0+0+1=1，进位0 位5: 1+1=0，进位1 位6: 1+0+1=0，进位1 位7: 1+1+1=1，进位1 位8: 0+1+1=0，进位1 位9: 1+1+1=1，进位1（进位被丢弃） 结果各位： 位9:1 位8:0 位7:1 位6:0 位5:0 位4:1 位3:1 位2:0 位1:0 所以结果双符号位是位9和位8：1和0，即10，这表示溢出，因为符号位不同。所以结果的双符号位是10，说明发生了溢出，因此结果无效。 这样就能正确判断溢出，因为-144超出了8位补码的范围，所以双符号位为10，表示溢出。 所以最终的结论是，[x-y]补的计算导致溢出，结果无效。</think>已知 $x = -69_{10}$，$y = 75_{10}$，按步骤求解如下： --- ### 一、二进制真值与补码表示 1. **$x$ 的二进制真值** - 绝对值 $69_{10} = 1000101_2$（7位） - 原码（符号位 + 绝对值）：最高位为符号位（1表示负），得 **$1\ 1000101$** - 补码（原码取反加一）：符号位不变，数值部分取反加一 - 原码数值部分：$1000101$ - 取反：$0111010$ - 加一：$0111011$ - 补码：**$10111011_2$**（8位） 2. **$y$ 的二进制真值与补码** - 绝对值 $75_{10} = 1001011_2$（7位） - 原码（符号位 + 绝对值）：最高位为符号位（0表示正），得 **$0\ 1001011$** - 补码（正数与原码相同）：**$01001011_2$**（8位） --- ### 二、计算 $[x - y]_{\text{补}}$ 1. **$-y$ 的补码** - $y$ 的补码为 $01001011_2$ - 取反加一得 $-y$ 的补码：**$10110101_2$** 2. **双符号位补码加法** - 将 $x$ 和 $-y$ 的补码扩展为双符号位（两位符号位相同）： - $x_{\text{补}} = 11\ 0111011_2$（9位） - $[-y]_{\text{补}} = 11\ 0110101_2$（9位） - 加法运算： ``` 11 0111011 + 11 0110101 --------------- (1)10 1110000 // 最高位进位被丢弃 ``` - 结果双符号位为 **$10_2$**（符号位不同），表明**溢出**。 --- ### 三、结论 1. **溢出判定** 双符号位为 $10_2$，表示**运算结果溢出**，结果无效。 （8位补码范围为 $-128$ 至 $127$，而 $x - y = -144$ 超出范围） --- ### 最终答案 - **$x$ 的二进制真值**：$1\ 1000101_2$ - **$y$ 的二进制真值**：$0\ 1001011_2$ - **$x$ 的补码**：$10111011_2$ - **$y$ 的补码**：$01001011_2$ - **$[x - y]_{\text{补}}$ 双符号位结果**：$10\ 1110000_2$，**运算溢出**。