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正态分布的二维概率密度函数·

时间: 2024-12-29 16:16:39 浏览: 125

### 二维正态分布的概率密度函数对于二维正态分布，其概率密度函数可以描述为： \[ f(x,y) = \frac{1}{2\pi\sigma_x\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}}\exp{\left(-\frac{z}{2(1-\rho^2)}\right)}, \] 其中 \( z=\frac{(x-\mu_x)^2}{\sigma_x^2}+\frac{(y-\mu_y)^2}{\sigma_y^2}-\frac{2\rho(x-\mu_x)(y-\mu_y)}{\sigma_x\sigma_y} \)，\( \mu_x \) 和 \( \mu_y \) 是各自维度上的均值，而 \( \sigma_x \) 和 \( \sigma_y \) 则代表各自的标准差；参数 \( \rho \) 表示两变量间的相关系数[^5]。下面是一个简单的 Python 实现例子，用来展示如何定义并绘制这样的二维正态分布的概率密度函数图像: ```python import numpy as np from scipy.stats import multivariate_normal import matplotlib.pyplot as plt from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D # 定义均值向量和协方差矩阵 mean_vector = [0, 0] covariance_matrix = [[1, .8], [.8, 1]] # 创建网格数据集 X, Y = np.meshgrid(np.linspace(-3, 3, 50), np.linspace(-3, 3, 50)) pos = np.dstack((X, Y)) # 初始化多元正态分布对象 rv = multivariate_normal(mean=mean_vector, cov=covariance_matrix) # 计算PDF值 Z = rv.pdf(pos) # 绘制三维图形 fig = plt.figure() ax = fig.add_subplot(111, projection='3d') ax.plot_surface(X, Y, Z, cmap='viridis') plt.show() ``` 此代码片段创建了一个具有特定均值向量 `mean_vector` 和协方差矩阵 `covariance_matrix` 的二元正态分布实例，并通过 Matplotlib 库将其可视化出来。这里使用的协方差矩阵指定了两个分量之间的线性关系强度——在这个案例里设置为了相对较高的正值 `.8` 来体现较强的正关联[^3]。

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