我想用matlab实现Line Search Newton-CG方法来解决这个问题

### 使用 MATLAB 实现 Line Search Newton-CG 方法 Line Search Newton-CG 是一种优化算法，结合了牛顿法和共轭梯度法的优点。它通过迭代求解目标函数的极小值，在每一步中利用线搜索技术来调整步长并确保收敛性。 以下是基于 MATLAB 的 Line Search Newton-CG 方法的一个典型实现： #### 函数定义 假设我们有一个目标函数 \( f(x) \)，其一阶导数为 \( g(x) = \nabla f(x) \)，二阶导数为 \( H(x) = \nabla^2 f(x) \)。Newton-CG 方法的核心在于近似求解方程 \( H(x_k)p_k = -g(x_k) \)[^1] 并应用线搜索策略更新变量 \( x_{k+1} = x_k + t p_k \)。 ```matlab function [x_opt, fval, iter] = lineSearchNewtonCG(f, gradf, hessf, x0, tol, maxIter) % Inputs: % f : 目标函数 (句柄形式) % gradf : 目标函数的一阶梯度 (句柄形式) % hessf : 目标函数的Hessian矩阵 (句柄形式) % x0 : 初始猜测向量 % tol : 收敛容忍误差 % maxIter: 最大允许迭代次数 % % Outputs: % x_opt : 最优解 % fval : 最优目标函数值 % iter : 迭代次数 iter = 0; x = x0; while true % 计算当前点的目标函数值、梯度和Hessian矩阵 g = gradf(x); % 梯度计算 H = hessf(x); % Hessian矩阵计算 % 如果梯度范数小于容忍误差，则停止迭代 if norm(g) < tol break; end % 使用共轭梯度法求解 H*p = -g p = solveConjugateGradient(H, -g); % 执行线搜索找到最佳步长t alpha = backtrackingLineSearch(f, gradf, x, p); % 更新x x = x + alpha * p; % 增加迭代计数器 iter = iter + 1; % 超过最大迭代次数则退出循环 if iter >= maxIter warning('达到最大迭代次数'); break; end end % 输出最优解及其对应的目标函数值 x_opt = x; fval = f(x); end function p = solveConjugateGradient(A, b) % 使用共轭梯度法求解 Ax=b tol_cg = 1e-8; % CG方法的容忍误差 max_iter_cg = size(b, 1); % 最大迭代次数等于b的维度 p = pcg(A, b, tol_cg, max_iter_cg); % 调用MATLAB内置pcg函数 end function alpha = backtrackingLineSearch(f, gradf, x, p) % 后退线搜索寻找合适的步长alpha rho = 0.5; % 步长缩减因子 c1 = 1e-4; % Armijo条件参数 alpha = 1; % 初始化步长为1 phi_0 = f(x); % 当前点的目标函数值 d_phi_0 = dot(gradf(x), p); % 方向导数 while f(x + alpha * p) > phi_0 + c1 * alpha * d_phi_0 alpha = rho * alpha; % 缩减步长 end end ``` 上述代码实现了完整的 Line Search Newton-CG 方法。其中 `solveConjugateGradient` 子程序用于解决内部的线性系统，而 `backtrackingLineSearch` 提供了一种简单有效的线搜索机制。 --- ###