埃氏筛 线性筛

<think>嗯，用户想了解埃氏筛法和线性筛法的区别及实现。首先，我得回忆一下这两种筛法的基本概念。埃氏筛法我记得是埃拉托斯特尼提出的，用来找出所有小于等于某个数的质数。它的原理是从小到大遍历每个数，如果是质数，就标记它的倍数，比如2是质数，就把4、6、8等标记为合数。这样一步步筛下去。 但用户提到了线性筛法，也就是欧拉筛。线性筛法的目标是每个合数只被标记一次，这样可以减少重复操作，提高效率。埃氏筛法中，像数字6会被2和3都标记一次，导致重复。而线性筛法通过让每个合数只被最小的质因数筛掉，比如6只会被2筛掉，避免了重复。 接下来需要比较两者的时间复杂度。根据引用中的资料，埃氏筛法优化后的时间复杂度是$O(n\log\log n)$，而线性筛法是$O(n)$。这说明线性筛法在大数据量时更高效。不过实际应用中，埃氏筛法的常数项可能更小，所以在某些情况下可能表现更好。 然后是实现的区别。埃氏筛法实现起来比较简单，可以用一个循环，对每个质数的倍数进行标记。而线性筛法需要维护一个质数列表，并且对于每个数，用当前已知的质数去乘，直到遇到能整除当前质数的数为止，这样可以确保每个合数只被筛一次。 还需要考虑空间复杂度。线性筛法需要额外的空间来存储质数列表，而埃氏筛法只需要一个布尔数组。这可能在小内存环境下有影响，但通常内存足够的话，线性筛法更优。 用户提供的引用里提到，埃氏筛法像用加法筛，而线性筛法用乘法。这可能是指埃氏筛法通过不断加当前质数来标记倍数，而线性筛法则是用已有的质数相乘来生成合数。这点需要明确解释。 另外，引用中提到，埃氏筛法的一个合数n一定有一个小于等于√n的质因子，这可能影响筛法的终止条件。而线性筛法通过最小质因子来确保每个合数被正确标记。 最后，用户可能需要具体的代码示例来理解两者的实现差异。埃氏筛法的代码相对简单，双重循环；而线性筛法需要一个质数列表和更复杂的条件判断。代码示例能帮助用户直观看到区别。 总结起来，回答应该包括原理对比、时间复杂度分析、实现方式差异以及各自的优缺点，同时给出代码示例和应用场景。需要确保使用正确的中文和LaTeX格式，并引用提供的资料。</think>### 埃氏筛法与线性筛法对比及实现 #### 一、原理区别 1. **埃氏筛法**： 通过标记质数的倍数筛选合数。例如，找到质数$2$后标记$4,6,8,\dots$；找到质数$3$后标记$6,9,12,\dots$。每个合数可能被多次标记（如$6$被$2$和$3$各标记一次），时间复杂度为$O(n \log \log n)$[^3]。 2. **线性筛法**（欧拉筛）： 确保每个合数仅被其最小质因数标记一次。例如，$6$只会被质数$2$通过$2 \times 3$标记，而不会在质数$3$时重复标记。时间复杂度优化为$O(n)$[^1]。 #### 二、实现差异 1. **埃氏筛法代码**： ```python def eratosthenes(n): is_prime = [True] * (n+1) primes = [] for i in range(2, n+1): if is_prime[i]: primes.append(i) for j in range(i*i, n+1, i): # 从i²开始标记 is_prime[j] = False return primes ``` - **特点**：简单但存在重复标记，例如$12$会被$2$和$3$各标记一次。 2. **线性筛法代码**： ```python def linear_sieve(n): is_prime = [True] * (n+1) primes = [] for i in range(2, n+1): if is_prime[i]: primes.append(i) for p in primes: if i * p > n: break is_prime[i * p] = False if i % p == 0: # 关键：确保p是i*p的最小质因数 break return primes ``` - **特点**：通过`if i % p == 0`终止内层循环，保证每个合数只被最小质因数筛去[^1]。 #### 三、性能对比 | 筛法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 适用场景 | |------------|---------------|------------|------------------------| | 埃氏筛法 | $O(n \log \log n)$ | $O(n)$ | 小规模数据或快速实现 | | 线性筛法 | $O(n)$ | $O(n)$ | 大规模数据需高效去重 | #### 四、关键优化点 - 埃氏筛法改进：**从$i^2$开始标记**，减少冗余操作[^4]。 - 线性筛法核心：**用最小质因数终止循环**，避免重复标记。