请根据分治法的伪代码将归并排序用分治法模板改写，展示分治法的“分”、“治”、“合”。 输入格式： 输入首先给出一个正整数 n（≤100），随后一行给出 n 个不超过 10 3 的待排序的正整数。同行数字间以空格分隔。 输出格式： 在一行中输出按非递减序排列好的有序序列。为简化输出处理，每个数字后面跟一个空格。 输入样例： 10 3 7 9 1 4 10 6 2 5 8 输出样例： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

<think>好的，用户想了解如何基于分治法实现归并排序，并展示分解、解决和合并的过程，还要用分治法模板重写算法，分阶段说明和示例解析。首先，我需要回忆分治法的三个步骤：分、治、合。归并排序正是典型的分治算法，所以得按照这三个阶段来拆解。 首先，分解阶段。归并排序会将数组不断分成两半，直到每个子数组只有一个元素，这时候自然是有序的。这部分需要详细说明递归分割的过程，可能还要提到递归的终止条件，比如当子数组长度小于等于1时停止分解。 然后是解决阶段，也就是对每个子数组进行排序。不过实际上，在分解到最小单位后，每个子数组已经有序，所以解决阶段可能更多是指递归地处理子问题，确保每个子数组有序。这里可能需要解释递归调用的顺序，比如先分解左边，再分解右边，最后合并。 接下来是合并阶段，这是归并排序的核心。需要将两个有序的子数组合并成一个有序的数组。这里要详细描述合并的步骤，比如使用双指针法比较两个子数组的元素，依次选择较小的放入临时数组，最后处理剩余元素。这部分需要具体说明，可能还要给出代码示例或者伪代码。 用户要求使用分治法模板重写算法，所以可能需要将归并排序的代码结构明确分为divide、conquer、merge三个部分。不过通常归并排序的实现中，分解和解决是递归进行的，而合并是单独的步骤。可能需要调整代码结构，使其更符合分治法的三个阶段。 输入输出示例部分，需要选择一个具体的例子，比如数组[8,3,5,1,7,2]，逐步展示分解、解决、合并的过程。分解阶段要展示如何将数组拆分成更小的子数组，直到每个子数组只有一个元素。合并阶段则要展示如何将两个有序子数组合并成一个大的有序数组。 还要注意引用中的内容，比如引用3和5详细描述了归并排序的分治策略，特别是分解、解决、合并的具体步骤。需要确保回答中的描述与引用一致，并在适当的地方添加引用标识。例如，在分解阶段提到分治法将问题分成更小的子问题，可以引用[^3]。 另外，用户要求生成相关问题，可能需要根据归并排序的特点，比如时间复杂度、优化方法、与其他排序算法的比较等来提出问题。例如，归并排序的时间复杂度分析？如何处理递归带来的额外开销？归并排序和快速排序的区别？ 在代码部分，需要确保使用正确的LaTeX格式，行内公式用$...$，独立公式用$$...$$。例如，在解释合并过程时，可能需要使用数学表达式来说明比较和合并的步骤。 还要注意用户提到的系统级指令，比如所有行内数学表达式必须用$...$，独立公式单独成段。同时回答需要使用中文，结构清晰，分步骤说明。 最后，检查是否有遗漏的部分，比如是否详细说明了每个阶段的输入输出示例，代码是否符合分治法的模板，引用是否正确添加等。确保回答覆盖了用户的所有要求，并且准确无误。</think>### 分治法实现归并排序详解 #### 分治法模板分解归并排序 归并排序基于分治法（Divide and Conquer），其过程分为以下三个阶段： 1. **分（Divide）** 将待排序数组递归地分解为两个子数组，直到子数组长度为1（天然有序）。 **输入**：数组$A[p..r]$，其中$p$为起始索引，$r$为终止索引。 **输出**：多个长度为1的子数组。 **关键操作**：计算中点$q = \lfloor (p+r)/2 \rfloor$，将数组分为$A[p..q]$和$A[q+1..r]$[^3]。 2. **治（Conquer）** 对每个子数组递归调用排序方法。由于分解到最小单位时子数组已有序，此阶段实际通过递归调用完成子问题的排序准备[^5]。 3. **合（Combine）** 将两个有序子数组合并为一个有序数组。通过双指针遍历子数组，按顺序合并元素。 **输入**：两个已排序子数组$A[p..q]$和$A[q+1..r]$。 **输出**：合并后的有序数组$A[p..r]$。 #### 算法实现（Python） ```python def merge_sort(arr): # 基本情况：数组长度为1时直接返回 if len(arr) <= 1: return arr # 分：将数组分为左右两半 mid = len(arr) // 2 left = merge_sort(arr[:mid]) right = merge_sort(arr[mid:]) # 合：合并两个有序子数组 return merge(left, right) def merge(left, right): result = [] i = j = 0 # 双指针遍历比较元素 while i < len(left) and j < len(right): if left[i] < right[j]: result.append(left[i]) i += 1 else: result.append(right[j]) j += 1 # 处理剩余元素 result += left[i:] result += right[j:] return result ``` #### 输入输出示例解析 **输入**：$[8,3,5,1,7,2]$ **分解过程**： 1. 初始数组：$[8,3,5,1,7,2]$ 2. 第一次分解：$[8,3,5]$ 和 $[1,7,2]$ 3. 递归分解左半部分： - $[8]$、$[3,5]$ → 继续分解为$[3]$和$[5]$ 4. 递归分解右半部分： - $[1]$、$[7,2]$ → 继续分解为$[7]$和$[2]$ **合并过程**： 1. 合并$[3]$和$[5]$ → $[3,5]$ 2. 合并$[8]$和$[3,5]$ → $[3,5,8]$ 3. 合并$[7]$和$[2]$ → $[2,7]$ 4. 合并$[1]$和$[2,7]$ → $[1,2,7]$ 5. 合并左右结果$[3,5,8]$和$[1,2,7]$ → $[1,2,3,5,7,8]$ **最终输出**：$[1,2,3,5,7,8]$ 此过程通过分治策略将时间复杂度降低到$O(n \log n)$。