legendre多项式表达式推导

<think>嗯，用户问的是三点Legendre-Gauss求积公式的求积系数。首先，我需要确定自己对这个知识点的掌握是否正确。三点公式，也就是n=3的情况，对应的节点和权重应该有三个。Legendre多项式在区间[-1,1]上的根作为节点，权重则是通过积分基函数得到的。 首先，Legendre多项式的三次形式是P3(x)= (5x³ - 3x)/2，对吗？然后它的根应该是0和±√(3/5)。不过三点的话，应该有三个根，但可能我记错了。或者是不是五次多项式？不对，三点对应的是n=3，所以Legendre多项式的次数应该是3，那么根应该是三个不同的点。这时候可能需要重新确认Legendre多项式的表达式。 或者，或许三点Gauss求积公式对应的Legendre多项式是P3(x)吗？不，实际上，n点的Gauss求积公式对应的是n次Legendre多项式的根。所以三点的话应该是用P3(x)的根，也就是三次多项式的根。三次Legendre多项式是P3(x) = (5x³ - 3x)/2，对吗？是的。然后它的根应该是x=0和x=±√(3/5)吗？或者是不是其他的解？ 解方程(5x³ - 3x)/2 =0的话，得到x=0和x=±√(3/5)。所以三个节点应该是这三个值，即0，±√(3/5)。不过需要确认是否正确，因为有时候可能会有不同的归一化方式。 接下来，求积系数也就是权重。权重的计算通常是通过积分基函数得到的。对于每个节点xi，权重wi=∫_{-1}^1 li(x) dx，其中li(x)是拉格朗日插值基函数。或者可以使用已知的公式，比如对于Legendre-Gauss求积，权重可以表示为2/( (1 - xi²) [P_n'(xi)]² )。 对于三点的情况，n=3，所以权重公式是2/( (1 - xi²) [P3'(xi)]² )。需要计算每个节点的导数值。例如，对于节点x1= -√(3/5)，计算P3'(x) = (15x² - 3)/2，代入x的值，得到导数值，然后计算权重。 或者，可能已经有现成的权重数值，比如常见的三点Gauss求积的节点和权重是已知的，比如节点为±√(3/5)和0，对应的权重分别为5/9，8/9，5/9。这个可能需要再次确认是否正确，因为如果节点是±√(3/5)和0，那么对应的权重应该是5/9、8/9、5/9吗？或者是不是对称的？ 是的，三点Legendre-Gauss的节点是对称的，中间的节点是0，另外两个是±√(3/5)，对应的权重分别为5/9，8/9，5/9。这个是正确的，因为三点公式对于五次多项式是精确的，所以权重需要满足一定的条件。 所以用户的问题应该是要求这三个权重系数，即5/9，8/9，5/9。但需要确认是否正确，或者是否需要更多的推导过程。用户可能需要知道如何手动计算这些权重，或者只是需要结果。 此外，用户可能是在学习数值积分方法，需要应用三点公式来解决问题，所以正确的权重对他们的计算至关重要。如果给出正确的系数，用户就可以直接使用。同时，可能需要解释权重的来源，或者为什么是这样的数值。 总结：三点Legendre-Gauss求积公式的节点是±√(3/5)和0，对应的权重是5/9、8/9、5/9。需要确保这些数值的正确性，并可能简要说明推导方法或来源。</think>以下是三点Legendre-Gauss求积系数的详细说明： --- ### 一、三点Legendre-Gauss公式的节点与权重 对于积分区间$[-1,1]$，三点公式的**节点**和**权重系数**为： $$ \begin{cases} x_0 = -\sqrt{\dfrac{3}{5}}, & w_0 = \dfrac{5}{9} \\ x_1 = 0, & w_1 = \dfrac{8}{9} \\ x_2 = +\sqrt{\dfrac{3}{5}}, & w_2 = \dfrac{5}{9} \end{cases} $$ --- ### 二、系数推导原理 #### 1. Legendre多项式根 节点是3次Legendre多项式$P_3(x) = \dfrac{1}{2}(5x^3 - 3x)$的根，解得： $$ x = 0,\ \pm\sqrt{\dfrac{3}{5}} $$ #### 2. 权重计算 利用权重公式： $$ w_i = \dfrac{2}{(1 - x_i^2)[P_3'(x_i)]^2} $$ 计算得： - 对$x_0 = -\sqrt{3/5}$，$w_0 = 5/9$ - 对$x_1 = 0$，$w_1 = 8/9$ - 对$x_2 = +\sqrt{3/5}$，$w_2 = 5/9$ --- ### 三、Python验证代码 ```python import numpy as np # 三点Legendre-Gauss参数 nodes = [-np.sqrt(3/5), 0, np.sqrt(3/5)] weights = [5/9, 8/9, 5/9] # 测试积分∫_{-1}^1 x^4 dx (精确值=2/5) def f(x): return x**4 approx = sum(w * f(x) for x, w in zip(nodes, weights)) print(f"近似值: {approx:.6f}, 精确值: 0.4") # 输出: 近似值: 0.400000, 误差: 0.0 （对5次多项式精确成立） ``` --- ### 四、应用说明 1. **通用区间转换**：若积分区间为$[a,b]$，需进行变量替换： $$ x = \dfrac{(b-a)t + (a+b)}{2} $$ 积分结果需乘缩放因子$\dfrac{b-a}{2}$ 2. **精度特性**：三点公式可精确计算$5$次以下多项式积分 --- ### 五、典型应用场景 - 有限元分析中的刚度矩阵计算 - 工程力学中的分布载荷积分 - 高精度要求的科学计算问题