实训目的及要求 1.掌握判断语句的使用方法；2.掌握循环语句的使用方法；3.掌握跳出循环的语句。 实训原理 1.判断语句的使用方法(if.else)；2.循环语句的使用方法(for、while)；3.跳出循环的语句(break)。题目描述 判断是否为完美数。所谓的“完美数"是指，这个数的所有真因子即除了自身的所有因子)的和恰好等于它本身。例如：6(6=1+2+3)和28(28=1+2+4+7+14)就是完美数。 输入描述 输入一个数n(1<=n<=10000) 输出描述 输入判断结果(是否为完美数)，请按示例进行输出，不得含有多余的空格或换行、回车符。 输入示例 6 输出示例 6 is a perfect number.

<think>嗯，我现在需要解决这个判断完美数的问题。首先，我得理解题目要求。完美数的定义是说，这个数的所有真因子（除了它本身以外的所有因子）的和等于它本身。比如6的真因子是1、2、3，它们的和刚好是6，所以6是完美数。那我要怎么做呢？ 首先，我得想如何找出一个数的所有真因子。比如输入n，我需要遍历从1到n-1的所有数，看看哪些能整除n。或者，有没有更高效的方法？比如，只需要遍历到n的一半，因为超过n/2的数除了n本身之外不可能再是因子了。或者更进一步，遍历到sqrt(n)，然后成对地收集因子？比如对于28来说，当找到2的时候，同时得到14。这样可能减少循环次数。不过因为题目中的n最大是10000，可能用简单的方法也足够，因为数据量不大。不过还是得考虑效率的问题。 那具体步骤应该是这样的：首先，输入一个数n。然后，找出所有除了n本身的因子，并求和。如果和等于n，那么就是完美数，否则不是。 那如何找出所有真因子呢？比如，从1到n-1，逐个判断是否能被n整除。不过这样的话，当n很大时，比如10000，循环次数就是9999次，可能有点多。不过对于编程题来说，应该还是可以接受的。或者可以优化到循环到n/2，这样循环次数减半。或者更好的方法是循环到sqrt(n)，然后同时处理两个因子。比如，当i是n的因子时，那么n/i也是因子。不过需要注意i和n/i是否相等，避免重复计算，比如当n是完全平方数时，比如16，i=4的时候，n/i也是4，这时候只需要加一次。 不过对于真因子来说，需要排除n本身。所以在处理的时候要注意，比如当i是1的时候，对应的另一个因子是n，这时候要排除掉。或者，在循环的时候，i的范围是1到sqrt(n)，然后对于每个i，如果i是因子的话，那么另一个因子是n/i，但这两个都不能等于n本身。比如，当i=1时，另一个因子是n/1 =n，这时候要排除掉。所以，正确的做法是，当i是因子的时候，如果i不等于n，并且n/i不等于n，并且i不等于n/i的话，那么把i和n/i都加到总和中。或者可能需要更仔细的处理。 比如，以n=6为例，遍历i从1到sqrt(6)大约是2.449，所以i=1和2。当i=1时，6%1==0，此时另一个因子是6/1=6，但因为要排除n本身，所以只加1。然后i=2的时候，6%2==0，另一个因子是3，这时候3不等于6，所以加2和3。总和是1+2+3=6。符合条件。 那这样的话，正确的处理方式是：初始化sum=0，循环i从1到sqrt(n)，如果n能被i整除，那么： - 如果i不等于n，就将i加到sum中。 - 对应的另一个因子是n/i，如果这个因子不等于i，并且不等于n，那么也将n/i加到sum中。 这样就能收集所有的真因子。这样可以减少循环次数，提高效率。比如对于n=28来说，sqrt(28)=5.29，循环到5。i=1时，28%1==0，sum加上1，另一个因子是28，但等于n本身，所以不加。i=2时，另一个因子是14，不等于i也不等于n，所以sum加2和14。i=4的时候，另一个因子是7，同样加4和7。i=5的时候，可能不是因子？等等。这样总和会是1+2+14+4+7=28？那总和是1+2=3，加上14是17，加4是21，加7是28。是的。这样就能正确计算。 所以这样的算法是正确的。那具体如何实现呢？在代码中，可以用一个循环，i从1到sqrt(n)的整数部分，然后处理每个i的情况。 现在，代码的大致流程： 输入n。如果n是1的话，它的真因子是0，所以不是完美数。因为完美数的定义至少是6开始的。 然后，初始化sum为0。遍历i从1到sqrt(n)的整数部分。对于每个i，如果n%i ==0： - 如果i不等于n，那么sum +=i。 - 对应的另一个因子是n/i，如果这个因子不等于i，并且不等于n，那么sum +=n/i。 最后，比较sum是否等于n。如果是，输出“n is a perfect number.”，否则输出不是。 需要注意的是，当n=1时，没有真因子，所以sum是0，不等于1，所以不是完美数。同样，当n=6时，sum是1+2+3=6，是的。 那现在，如何用代码实现？ 比如在Python中： 首先输入n： n = int(input()) 然后处理特殊情况，比如n=1的话，直接判断为不是。 否则，sum初始化为0。循环i从1到int(n**0.5) +1，或者使用math.sqrt然后转换为int？ 或者，可以用循环i的范围是1到int(math.sqrt(n)) +1，这样可以避免因为精度问题漏掉某些情况。不过可能需要具体情况具体分析。 例如，对于n=28，sqrt(28)=5.29，int是5，所以循环i到5。当i=5时，n%i是3，所以不处理。当i=4时，n%4是0，所以处理。 所以循环范围应该是1到int(math.sqrt(n)) +1？或者直接range(1, int(math.sqrt(n)) +1)。这样可以保证覆盖所有可能的i。 例如，在Python中： import math sum = 0 for i in range(1, int(math.sqrt(n)) +1): if n % i ==0: if i !=n: sum +=i counterpart = n // i if counterpart !=i and counterpart !=n: sum += counterpart 这样处理之后，sum是否等于n？ 测试n=6的情况： i的范围是1到2（因为sqrt(6)≈2.449，int是2，所以循环i=1,2）。 i=1： n%1 ==0 →是的。i不等于6，sum加1。counterpart=6/1=6。因为counterpart等于n，所以不加。sum现在是1。 i=2： 6%2==0 →是的。i=2不等于6，sum加2→sum=3。counterpart是3。因为3不等于i（2），也不等于n（6），所以sum加3→sum=6。所以总和是6，符合条件。 对于n=28： i的范围是1到5。 i=1： sum加1。counterpart是28，不处理。sum=1. i=2： sum加2 →3. counterpart是14。14不等于2，也不等于28。sum+14=17. i=4：28%4=0。sum+4=21. counterpart=7，不等于4和28。sum+7=28. i=3：28%3→余1，不处理。 i=5：28%5→余3，不处理。 总和是28，符合条件。 对于n=1的情况，循环范围是1到1。i=1： n%i==0 →是的。i=1是否等于n=1？是的。所以不加入sum。counterpart是1，同样等于i和n，所以不加。sum=0。所以最终sum=0≠1，正确。 那这样的话，这个算法是正确的。那现在代码的大致结构就出来了。需要注意的是，当n=1的时候，sum=0，所以判断为False。 另外，需要考虑n的取值范围是1到10000，所以输入的n可能为1，这时候应该输出“1 is not a perfect number.” 那现在代码的编写： 首先导入math模块，处理平方根。 然后输入n，判断是否为完美数。 代码： import math n = int(input()) if n == 1: print(f"{n} is not a perfect number.") else: total = 0 sqrt_n = int(math.sqrt(n)) for i in range(1, sqrt_n + 1): if n % i == 0: # 处理因子i if i != n: total += i # 处理对应的另一个因子 counterpart = n // i if counterpart != i and counterpart != n: total += counterpart if total == n: print(f"{n} is a perfect number.") else: print(f"{n} is not a perfect number.") 测试这个代码： 输入6：预期输出是正确。代码中的循环i=1,2： i=1：i=1≠6 →total加1。counterpart=6，等于n，所以不加。total=1. i=2：i=2≠6 →加2。counterpart=3≠2且≠6 →加3。total=1+2+3=6 →等于n→输出正确。 输入28：总和正确。 输入1：直接输出不是。 输入496，这个也是完美数。测试看看： n=496，sqrt(496)是22.所以循环到22. 检查每个i的情况。例如，i=1 →counterpart=496→不加。i=2 →counterpart=248 →加2和248。i=4 →124。i=8→62。i=16 →31。这些因子相加的总和应该等于496。所以代码会正确判断。 那这个算法应该正确。 那这个实训的目的和要求是掌握判断语句和循环语句的使用，以及break跳出循环。但在这个问题中，可能不需要使用break，因为需要遍历所有可能的因子。或者，有没有可能提前终止循环的情况？ 比如，在循环过程中，如果当前的总和已经超过了n，那么可以提前终止循环。比如，当sum超过n的时候，就可以break，因为后面的因子只能让sum更大，不可能等于n。这可以作为一个优化点。 比如，在代码中添加，如果在循环过程中，total已经大于n了，就直接break，结束循环。这样可以减少循环次数。例如，当n=6的时候，总和在加3之后刚好等于6，不会提前终止。但是对于某些数来说，可能中途就超过n，这时候可以提前退出。 那如何实现这一点？比如，在每次循环内部，判断total是否已经超过n，如果是的话，break。 修改后的循环部分： for i in ...: if n%i ==0: ...处理i和counterpart... if total >n: break 这样可以提前终止循环。例如，假设有一个数，它的真因子和已经超过n，那么后面的因子不需要再处理了，直接结束循环。 比如，假设n=24，它的真因子和是1+2+3+4+6+8+12=36>24，所以在循环过程中，当总和超过24时，就可以break，减少循环次数。 所以，在代码中加入这个条件，可以提高效率。不过题目中的n的范围是到10000，这可能不会有太大影响，但作为优化是有意义的。 所以，在代码中的循环部分，可以加入： if total >n: break 比如，在每次处理完i和counterpart之后，检查total是否已经超过n，如果是的话，直接break。例如： for i in range(1, sqrt_n +1): if n%i ==0: ...处理i和counterpart... if total >n: break 但是这可能并不能完全正确，因为在处理i的循环中，可能后面的i对应的因子会导致总和增加，但此时可能在某个i的处理后，总和已经超过了n。例如，假设处理完i=3，此时总和已经超过了n，那么后面的i不需要处理，直接break。这样可以减少循环次数。 所以在代码中加入： for i in range(1, sqrt_n +1): if n%i ==0: # 处理i和counterpart if total >n: break 这样，每次处理完一个i后，检查总和是否超过n。如果是的话，提前退出循环。这样可以优化时间。 那修改后的代码： import math n = int(input()) if n ==1: print(f"{n} is not a perfect number.") else: total =0 sqrt_n = int(math.sqrt(n)) for i in range(1, sqrt_n +1): if n%i ==0: if i !=n: total +=i counterpart = n//i if counterpart !=i and counterpart !=n: total +=counterpart # 检查是否总和已经超过n if total >n: break if total ==n: print(f"{n} is a perfect number.") else: print(f"{n} is not a perfect number.") 这样的优化是否有问题？比如，当处理某个i的时候，可能加上i和counterpart之后总和刚好等于n，而后面还有i没有处理，但因为总和等于n，所以不会break。但是如果总和大于n就会break。这没有问题，因为总和等于n的时候，后面的处理不会改变总和，所以继续处理后面的i是否还有可能让总和超过n？ 比如，假设n=28，处理到i=4的时候，总和是1+2+14+4+7=28。此时总和等于n，所以不会break，继续处理i=5。而i=5的时候，n%5是3，所以不处理。总和还是28。所以不会影响结果。这样是正确的。 如果总和等于n的话，继续处理后面的i，可能会增加总和吗？比如，是否存在某个n的真因子，在处理后面的i时，又添加新的因子，导致总和超过n？比如，如果n本身不是完美数，但中间处理时总和等于n的情况？ 比如，假设n=24，总和在处理到某个i的时候可能等于24，但实际上其真因子的总和可能更大。例如，n=24的真因子是1,2,3,4,6,8,12。总和是1+2+3+4+6+8+12=36。假设在处理i=4的时候，总和是1+2+3+4+6+8+12？或者可能处理到某个i的时候，总和暂时等于n？ 可能不太容易发生这样的情况，但需要确保代码的正确性。例如，假设n=6的处理中，当i=2的时候，总和达到6，此时后面的i还会不会处理？假设i循环到sqrt(6)即2，所以i=1和2。在处理i=2之后，总和已经是6，而循环结束。所以后面的i不会处理。 所以，加入这个break的条件可以优化时间，但不会影响正确性，因为一旦总和超过n，那么最终结果肯定是非完美数，所以可以提前终止循环。但是如果总和等于n，则不会触发break，循环会继续处理所有可能的i，但是总和可能保持不变，或者被后续的处理改变吗？比如，是否存在某个i的处理会让总和在等于n后又继续增加？ 比如，假设有一个数n=30，其真因子总和是多少？可能超过30吗？ 真因子是1,2,3,5,6,10,15。总和是1+2+3+5+6+10+15=42>30。所以在处理过程中，当总和超过30时，就会break。 另一个例子，如果n是完美数，比如496，那么总和在循环结束时刚好等于n。所以不会触发break的条件。此时循环会处理所有i，但是总和不会超过n。所以不会提前退出。 所以，这个优化是正确的，并且不影响结果。因此，可以加入该条件以提高效率。 总结：代码结构正确，可以处理各种情况，包括n=1，优化了循环次数，判断条件正确。 另外，关于实训的要求，要求掌握判断语句（if-else）、循环语句（for、while）、跳出循环的语句（break）。在代码中，使用了if-else进行判断，for循环遍历因子，并且在总和超过n时使用break跳出循环。所以满足实训的要求。 所以，最终的代码应该包括这些要素，并且正确判断是否为完美数。</think>```python import math n = int(input()) if n == 1: print(f"{n} is not a perfect number.") else: total = 0 sqrt_n = int(math.sqrt(n)) for i in range(1, sqrt_n + 1): if n % i == 0: if i != n: total += i counterpart = n // i if counterpart != i and counterpart != n: total += counterpart if total > n: # 优化：提前终止循环 break print(f"{n} is a perfect number." if total == n else f"{n} is not a perfect number.") ``` **代码解析：** 1. **输入处理**：读取用户输入的正整数$n$ 2. **特殊处理**：当$n=1$时直接输出结果（1没有真因子） 3. **因子求和**： - 遍历范围优化为$1$到$\sqrt{n}$（减少循环次数） - 通过整除判断获取因子$i$及其对应的因子对$n//i$ - 排除自身$n$的情况，累计真因子之和 4. **提前终止**：当总和超过$n$时立即终止循环（完美数必须严格相等） 5. **结果判断**：比较真因子和与原始数值，按格式输出结果 **实现要点：** - 使用`math.sqrt`进行平方根计算优化循环次数 - 使用`counterpart`变量同时计算因子对提升效率 - 通过`break`语句实现循环提前终止 - 严格处理边界条件（