我正在写天线近场聚焦类的IEEE TAP文章，有一段话，请帮我检查语法问题，并指出错误和给出简短英文表述。where $Q_{Fp}=\mathrm{Tr}(\bm Q_F(\bm r_p) \bm B)$ and $Q_{total}=\mathrm{Tr}(\bm Q_{total}(\bm r_p) \bm B)$ $= \sum\nolimits_{p=1}^M Q_{Fp}$ are single FP power and total FPs power, respectively. ${ws}_n=\mathrm{Tr}(\bm w_{total}^H D_n \bm w_{total} \bm B)$ is squared norm of the excitation. $\bm w_{total}=[\bm w^{(1)},$$\bm w^{(2)},\cdots, \bm w^{(M)}]$ is basic beam excitation matrix. While $D_n(i,i)=1$, satisfying only $i=n,n+N$ and the other values are zero. The parameter $\zeta_p$ represents the FP assigning power proportion and $\epsilon_p$ is small positive constant. The parameter $\delta$ is a small positive regularization factor in the iteration\cite{6663667}.\par Each constraint of the problem (\ref{NF.E14}) is linear inequality, and it ensures that the set of feasible solutions constitutes a convex set. Hence, the above iteration procedure can be solved effectively by using some optimization toolboxes such as CVX toolbox \cite{CVXMatlab}. Once the rank-one approximated $\bm B$ is obtained \cite{10323360,8695010}, the beam coefficient vector $\bm b$ can be decomposed as follows: \begin{equation} \begin{aligned} \bm B \approx \sigma_{max} \bm v \bm v^T \end{aligned} \label{NF.E15} \tag{11} \end{equation} where $\sigma_{max}$ and $v$ are the largest eigenvalue and the corresponding eigenvector of matrix $\bm B$. The beam coefficient vector can be obtained as $\bm b \approx \sqrt{\sigma_{max}} \bm v$. In addition, after solving the matrix $\bm B$, the beam coefficient vector $\bm b$ can also be obtained by Gaussian randomization \cite{8647620}. Combined with the excitation of the basic beam, we can obtain the excitation of the NFF multifocus with DRR constraints and its power distribution. \begin{equation} \begin{aligned} \bm w = [\bm w^{(1)},\bm w^{(2)},\dots,\bm w^{(M)}] \bm b \end{aligned} \label{NF.E16} \tag{12} \end{equation}

<think>好的，我现在需要帮用户检查一段学术论文中的语法问题，并给出修改建议和英文表述。首先，我需要仔细阅读用户提供的段落，注意其中的技术术语和数学表达式是否符合规范。 首先看用户提到的系统级指令：所有行内数学表达式必须使用$...$，独立公式用$$...$$，并且要检查LaTeX语法是否正确。用户的中文回答结构要清晰，逐步解决问题，确保真实可靠。 接下来，用户提供的段落中有很多数学公式，我需要逐一检查它们的格式是否正确。例如，用户写的是where $Q_{Fp}=\mathrm{Tr}(\bm Q_F(\bm r_p) \bm B)$，这里看起来使用了正确的$符号包裹，变量Q_Fp的写法是否正确？通常变量应该用斜体，但矩阵可能用粗体，这里\bm Q_F是正确的，表示矩阵。然后用户接着写$Q_{total}=\mathrm{Tr}(\bm Q_{total}(\bm r_p) \bm B)$，这里total作为下标是否应该用正体？可能应该是\mathrm{total}，但需要确认学术惯例。不过用户使用了\bm Q_{total}，可能total是矩阵名称的一部分，所以用正体可能更合适，但需要确认。 接下来用户写${ws}_n=\mathrm{Tr}(\bm w_{total}^H D_n \bm w_{total} \bm B)$，这里的ws_n可能应该写成w s_n或者更清晰的符号，比如\mathrm{ws}_n，但用户用了花括号包裹，可能为了避免斜体，但正确的方式应该是\mathrm{ws}_n，所以建议修改为$\mathrm{ws}_n$。另外，矩阵D_n的描述是否正确？用户后面提到D_n(i,i)=1，只有i=n,n+N，这里可能需要数学符号说明，比如使用指示函数或者明确结构。 然后用户提到$\bm w_{total}=[\bm w^{(1)},$$\bm w^{(2)},\cdots, \bm w^{(M)}]$，这里换行是否正确？在LaTeX中，如果公式在中间换行，可能需要使用多行环境，但用户用了$...$包裹，可能造成换行问题，应该使用多行结构或者确保在同一行内。例如，使用$\bm w_{\text{total}} = [\bm w^{(1)}, \bm w^{(2)}, \cdots, \bm w^{(M)}]$，避免在中间断开。 接下来，用户写“While $D_n(i,i)=1$, satisfying only $i=n,n+N$”，这里的While是否合适？可能应该用“where”更准确，因为是在定义D_n的结构。另外，数学表达式中逗号后面是否有空格？可能需要使用i = n, n+N，加上等号周围的空格更规范。 然后检查标点符号，用户在使用公式后是否有正确的标点，例如在“respectively.”后面是否有句号，但用户写的是“respectively. ${ws}_n=...”，这里句号在公式外面，是正确的。但要注意中文和英文标点的混用，但用户整段是英文，所以应该统一使用英文标点。 另外，用户提到“The parameter $\zeta_p$ represents the FP assigning power proportion and $\epsilon_p$ is small positive constant.”这里“small positive constant”前缺少冠词，应该是“a small positive constant”。 在引用部分，用户使用了\cite{6663667}，是否正确？需要确认参考文献格式是否符合IEEE要求，但此处可能只是占位符，没有问题。 接下来，用户描述问题（\ref{NF.E14}）的每个约束是线性不等式，构成凸集，这里“convex set”是否正确？应该是“convex set”，没有问题。 在分解矩阵B时，用户写$\bm B \approx \sigma_{max} \bm v \bm v^T$，这里\sigma_max应为\sigma_{\max}，使用正体下标，或者保持斜体？通常下标如果是缩写，如max，应使用正体，所以应该是\sigma_{\mathrm{max}}，但不同期刊可能有不同要求，用户可能需要根据期刊规范调整。 另外，用户提到“the largest eigenvalue and the corresponding eigenvector”，变量v应该是向量，所以应用\bm v而不是v，即$\bm v$，以表示向量。 在最后一段中，用户写“Gaussian randomization \cite{8647620}.”，句号在引用外面，正确。但需要注意引用编号是否正确，但此处无法确认。 公式（12）中的省略号用了\dots，正确，但用户之前的公式中用了\cdots，需要统一使用\dots或\cdots，根据上下文，在矩阵中使用\cdots可能更合适，但\dots在逗号分隔中更常见，所以可能没有问题。 总结可能的语法和表达问题： 1. 变量命名和格式问题，如ws_n应使用\mathrm{ws}_n，矩阵total下标是否正体。 2. 冠词缺失，如“a small positive constant”。 3. 句子结构问题，如“While”可能应改为“where”。 4. 数学符号的规范，如\sigma_{\mathrm{max}}，向量v使用粗体。 5. LaTeX换行问题，如矩阵w_total在中间断开。 6. 标点符号是否正确使用英文标点。 7. 句子连贯性，例如“satisfying only $i=n,n+N$”可能需要更清晰的表达。 接下来需要逐一指出错误，给出修改建议，并提供英文表述的修正版本。同时确保所有数学表达式符合LaTeX规范，使用正确的符号和格式。</think>以下是对您段落的语法修改建议及英文表述修正： --- ### 一、语法及表述问题 1. **变量格式问题**： - **原句**: "${ws}_n=\mathrm{Tr}(\bm w_{total}^H D_n \bm w_{total} \bm B)$" - **问题**: `ws` 应使用正体表示变量组合，下标 `total` 需明确是否为数学符号。 - **修改**: 改为 `$\mathrm{ws}_n = \mathrm{Tr}(\bm w_{\mathrm{total}}^H \bm D_n \bm w_{\mathrm{total}} \bm B)$`，其中 `$\bm D_n$` 为矩阵。 2. **矩阵定义不清晰**： - **原句**: "$\bm w_{total}=[\bm w^{(1)},$$\bm w^{(2)},\cdots, \bm w^{(M)}]$" - **问题**: 公式换行错误且缺少对齐符号。 - **修改**: 使用多行公式环境或保持单行： ```latex $\bm w_{\mathrm{total}} = [\bm w^{(1)}, \bm w^{(2)}, \dots, \bm w^{(M)}]$ ``` 3. **数学符号规范**： - **原句**: "$\sigma_{max}$" - **问题**: 下标 `max` 应为正体。 - **修改**: `$\sigma_{\mathrm{max}}$` 4. **向量格式错误**： - **原句**: "eigenvector of matrix $\bm B$. The beam coefficient vector can be obtained as $\bm b \approx \sqrt{\sigma_{max}} \bm v$" - **问题**: 特征向量 `v` 未加粗。 - **修改**: 改为 `$\bm v$`。 5. **冠词缺失**： - **原句**: "$\epsilon_p$ is small positive constant" - **问题**: 缺少冠词 "a"。 - **修改**: "$\epsilon_p$ is a small positive constant" 6. **逻辑连接词不当**： - **原句**: "While $D_n(i,i)=1$, satisfying only $i=n,n+N$" - **问题**: "While" 表对比，此处应为定义关系。 - **修改**: "where $D_n(i,i)=1$ if $i = n$ or $i = n+N$, and zero otherwise" --- ### 二、修改后的英文表述（可直接使用） ```latex where $Q_{Fp} = \mathrm{Tr}(\bm Q_F(\bm r_p) \bm B)$ and $Q_{\mathrm{total}} = \mathrm{Tr}(\bm Q_{\mathrm{total}}(\bm r_p) \bm B) = \sum_{p=1}^M Q_{Fp}$ denote the single focal point (FP) power and total FPs power, respectively. $\mathrm{ws}_n = \mathrm{Tr}(\bm w_{\mathrm{total}}^H \bm D_n \bm w_{\mathrm{total}} \bm B)$ represents the squared norm of the excitation. The basic beam excitation matrix is defined as $\bm w_{\mathrm{total}} = [\bm w^{(1)}, \bm w^{(2)}, \dots, \bm w^{(M)}]$. Here, $\bm D_n$ is a diagonal matrix with $D_n(i,i) = 1$ only if $i = n$ or $i = n+N$, and zero otherwise. The parameter $\zeta_p$ controls the power proportion assigned to the $p$-th FP, while $\epsilon_p$ is a small positive constant. The regularization factor $\delta$ in the iteration is also a small positive value \cite{6663667}. Each constraint in problem (\ref{NF.E14}) is a linear inequality, ensuring that the feasible solution set is convex. Therefore, the iterative procedure can be efficiently solved via optimization toolboxes such as CVX \cite{CVXMatlab}. After obtaining the rank-one approximation of $\bm B$ \cite{10323360,8695010}, the beam coefficient vector $\bm b$ is decomposed as: \begin{equation} \bm B \approx \sigma_{\mathrm{max}} \bm v \bm v^T, \label{NF.E15} \tag{11} \end{equation} where $\sigma_{\mathrm{max}}$ and $\bm v$ are the largest eigenvalue and corresponding eigenvector of $\bm B$, respectively. The beam coefficient vector is then $\bm b \approx \sqrt{\sigma_{\mathrm{max}}} \bm v$. Alternatively, $\bm b$ can be derived via Gaussian randomization \cite{8647620}. Finally, the excitation vector for the near-field multifocus with DRR constraints and its power distribution are given by: \begin{equation} \bm w = [\bm w^{(1)}, \bm w^{(2)}, \dots, \bm w^{(M)}] \bm b. \label{NF.E16} \tag{12} \end{equation} ``` --- ### 三、关键修改总结 1. **数学符号**：正体下标（如 `\mathrm{total}`）、向量粗体（`\bm v`）、矩阵对齐。 2. **语法修正**：补充冠词（"a small constant"）、逻辑连接词（"where" 替代 "while"）。 3. **表述清晰化**：明确 `$\bm D_n$` 的定义和迭代过程逻辑。 建议进一步核对参考文献格式是否符合 IEEE 要求（如标号顺序、作者缩写）。