一元四次方程C语言

### 一元四次方程求解概述 在一元四次方程 \( ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 \) 中，系数 \( a, b, c, d, e \) 是已知常数，而目标是找到变量 \( x \) 的根。对于此类高阶多项式方程，解析法通常较为复杂，因此数值方法成为更常见的解决方案。 以下是基于 C 语言实现的一元四次方程求解方案，采用 **牛顿迭代法** 和 **二分法** 来逼近实数根[^1]。 --- ### 方法描述 #### 牛顿迭代法 牛顿迭代法是一种高效的数值计算方法，用于逼近非线性方程的根。其核心思想是从初始猜测值出发，通过不断改进近似值得到最终结果。具体公式如下： \[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \] 其中： - \( f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e \) - \( f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d \) 为了提高效率并减少误差，可以设置最大迭代次数以及收敛精度阈值。 #### 二分法 当无法直接应用导数时，或者需要快速定位区间内的根位置，可以选择二分法作为辅助工具。该算法适用于连续函数，并假设存在两个端点使得 \( f(a)f(b)<0 \)，即根位于此范围内。 --- ### 示例代码实现 以下是一个完整的 C 程序示例，展示如何利用上述两种方法联合求解一元四次方程： ```c #include <stdio.h> #include <math.h> // 定义多项式的最高幂次和系数数组大小 #define MAX_DEGREE 4 double polynomial(double coefficients[], double x) { int i; double result = 0.0; for (i = 0; i <= MAX_DEGREE; ++i) { result += coefficients[i] * pow(x, i); } return result; } double derivative(double coefficients[], double x) { int i; double result = 0.0; for (i = 1; i <= MAX_DEGREE; ++i) { // 导数从第1项开始 result += i * coefficients[i] * pow(x, i - 1); } return result; } void newton_raphson(double coefficients[], double initial_guess, double tolerance, int max_iterations) { double xn = initial_guess; int iteration_count = 0; while (iteration_count < max_iterations) { double fxn = polynomial(coefficients, xn); if (fabs(fxn) < tolerance) { printf("Root found at %.6lf\n", xn); break; } double dfxn = derivative(coefficients, xn); if (dfxn == 0) { printf("Zero derivative encountered.\n"); return; } double next_xn = xn - fxn / dfxn; if (fabs(next_xn - xn) < tolerance) { printf("Root found at %.6lf\n", next_xn); break; } xn = next_xn; iteration_count++; } if (iteration_count >= max_iterations) { printf("Exceeded maximum iterations without convergence.\n"); } } int main() { double coefficients[MAX_DEGREE + 1]; printf("Enter the coefficients of the quartic equation:\n"); for (int i = MAX_DEGREE; i >= 0; --i) { printf("Coefficient for x^%d: ", i); scanf("%lf", &coefficients[i]); } double initial_guess; printf("Enter an initial guess for Newton-Raphson method: "); scanf("%lf", &initial_guess); double tolerance = 1e-7; int max_iterations = 100; newton_raphson(coefficients, initial_guess, tolerance, max_iterations); return 0; } ``` --- ### 关键说明 1. **输入处理** 用户需依次提供五项系数（对应于 \(a\) 到 \(e\)），随后指定一个初猜值供牛顿迭代法使用。 2. **函数定义** `polynomial` 函数负责计算给定点处的目标多项式值；`derivative` 计算对应的导数值。 3. **终止条件** 当当前估计值满足绝对误差小于设定容忍度或达到预设的最大循环数目时停止运算。 4. **异常情况** 如果遇到零导数，则提示错误信息退出程序运行。 --- ###