斐波那契数列java蓝桥杯

### Java 实现斐波那契数列的蓝桥杯题目及解答 #### 题目描述 给定正整数 \( n \)，求斐波那契数列的第 \( n \) 项。 注意：由于结果可能会非常大，因此要求输出的结果是对 10007 取模后的值。 输入格式：单个整数 \( n \) （\( 1 \leq n \leq 1,000,000 \)）。 输出格式：一个整数，表示斐波那契数列第 \( n \) 项对 10007 的取模结果。 --- #### 解决方案 以下是基于动态规划的思想来解决该问题的一种高效方法： ```java import java.util.Scanner; public class Main { public static void main(String[] args) { Scanner input = new Scanner(System.in); int n = input.nextInt(); // 初始化数组大小为 n+2 是为了方便索引操作 int[] F = new int[n + 2]; F[1] = 1; F[2] = 1; if (n > 2) { for (int i = 3; i <= n; i++) { F[i] = (F[i - 1] + F[i - 2]) % 10007; } } System.out.println(F[n]); } } ``` 上述代码通过循环迭代的方式计算斐波那契数列中的每一项，并利用取模运算防止溢出[^1]。这种方法的时间复杂度为 \( O(n) \)，空间复杂度也为 \( O(n) \)。 如果希望进一步优化空间复杂度，则可以仅保留最近的两项来进行状态转移： ```java import java.util.Scanner; public class Main { public static void main(String[] args) { Scanner input = new Scanner(System.in); int n = input.nextInt(); if (n == 1 || n == 2) { System.out.println(1); return; } int prev1 = 1; // 表示 F(i-1) int prev2 = 1; // 表示 F(i-2) for (int i = 3; i <= n; i++) { int current = (prev1 + prev2) % 10007; prev2 = prev1; prev1 = current; } System.out.println(prev1); } } ``` 此版本的空间复杂度降低至 \( O(1) \)[^4]，而时间复杂度仍保持为 \( O(n) \)。 --- #### 黄金分割比例的应用 对于较大的 \( n \)，可以直接近似使用黄金分割比例 \( \phi = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1.6180339887 \) 来估算斐波那契数列的比例关系。然而，在实际编程比赛中通常不会采用这种方式，因为浮点误差可能导致精度不足[^2]。 --- #### 大规模数据处理注意事项 当 \( n \) 较小时，直接存储整个序列即可；但如果 \( n \) 很大（例如达到百万级别），则需特别关注内存占用以及性能瓶颈。此外，还需考虑中间结果是否会超出 `long` 数据类型的范围。在这种情况下，提前对每一步结果进行取模是一种常见且有效的策略[^5]。 ---