python递归实现中缀表达式求值

<think>我们被要求使用递归方法实现中缀表达式求值。根据引用[2]，递归解法是其中一种方法。中缀表达式就是我们通常使用的表达式，如"(2+3)*(5+7)+9/3"。递归方法可以考虑将表达式分解成子问题。递归思路：1.去除空格（如果有的话），但题目说明没有空格，所以可以忽略。2.考虑运算符优先级，先计算括号内的，然后乘除，再加减。3.我们可以考虑从运算符优先级最低的运算符（比如加减）开始拆分，因为加减的优先级低于乘除，这样我们可以将表达式拆分成多个部分。具体递归过程：递归函数可以设计为：eval_expr(s)，其中s是一个字符串表达式，返回该表达式的计算结果。步骤：a.首先，考虑处理括号：我们需要从外到内消除括号。但实际上，我们可以使用递归来处理括号。当我们遇到括号时，我们递归地计算括号内的表达式。但是要注意括号可能嵌套，所以我们需要匹配括号。我们可以用一个计数器来记录括号的层数。b.然而，更好的方法是先处理括号内的子表达式。我们可以遍历字符串，当遇到左括号时，我们开始记录子串，直到匹配到右括号（注意嵌套括号的情况）。然后递归计算该子串（去掉最外层括号）的值，并用结果替换原来的括号表达式。但是，考虑到效率，我们可能会在递归之前先消除括号？或者一边递归一边处理括号。另一种思路（参考引用[2]的递归解法）：我们可以先找出优先级最低的运算符（在括号外），然后以此运算符为界，将表达式分为左右两部分，递归求值后再进行运算。具体步骤：1.遍历字符串，用一个变量记录当前括号的嵌套层数（用于确保括号外的运算符）。2.当遇到左括号，层数加1；右括号，层数减1。3.在层数为0（即在最外层）时，寻找最右边的一个加减号（因为加减号优先级低，先拆分它可以将表达式分成更大的子部分，这样更高效）或者最右边的乘除号？但注意，如果先拆分加减，那么后续拆分乘除时，由于乘除优先级高，所以会先计算乘除。所以我们可以这样：首先，寻找最右边的在括号外的加减号（因为加减优先级最低），以它为分割，递归计算左右两边。如果没有加减号，再寻找最右边的乘除号（在括号外）作为分割。4.如果整个表达式都没有运算符（且可能被括号括起来），那么检查它是否是括号表达式，如果是，去掉括号；如果是数字，则直接返回该数字。步骤细化：-首先，我们尝试去掉表达式首尾的括号（但前提是去掉后整个表达式仍是合法的，即去掉的是匹配的括号）。在递归函数内，我们可以先检查字符串是否被括号括起来，如果是，并且整个字符串被一对括号包围，那么我们可以去掉这对括号，然后重新开始计算。但是要注意，括号可能出现在中间，所以我们不能简单地去掉首尾括号，因为可能表达式是"(2+3)*4"，首尾是字符'('和')'，但中间的')*4'会导致去掉首尾括号后表达式不合法。-因此，我们采用括号匹配计数的方法。我们遍历字符串，用一个变量`paren_count`来记录括号的深度。当`paren_count==0`时，我们才考虑括号外的运算符。算法如下：定义函数：defeval_expr(expr:str)->int步骤：1.遍历expr，同时记录括号深度paren_count（初始0），并记录最右侧的加减运算符的位置（在paren_count==0时）和乘除运算符的位置（在paren_count==0时）。注意，我们优先考虑加减，因为加减优先级低，所以应该最后算，也就是表达式树的上层。因此我们从右向左找运算符，这样遇到加减运算符就可以直接分成左边和右边（左边是一个完整的子表达式，右边也是）。2.为什么要从右向左？因为加减是左结合的，所以最右边的加减运算符应该是最后计算的。例如：1+2+3，我们应该先计算1+2，然后+3。但用递归拆分，我们更希望先拆成1+2和3，然后计算完左边得到3，再3+3=6。但实际上，如果我们从左边开始找，会先找到第一个+号，然后拆成1和2+3，这样2+3先计算得到5，然后1+5=6，结果相同。但是，在有其他运算符时，我们只找括号外的运算符，所以从右向左找加减运算符（括号外）可以使表达式被拆成两个子表达式，然后递归计算。3.但是，考虑有乘除的情况：1+2*3，我们应该先找到*号（因为乘除优先级高），这样避免在括号外先找到+号而提前拆分。所以实际上，我们应该先找加减运算符（在括号外）作为分割点，但如果没有括号外的加减运算符，再找乘除运算符（在括号外）。并且，由于乘除也是左结合，所以我们也应该从右向左找乘除运算符？例如：1*2*3，我们找到第二个*号（最右边的乘号），拆成1*2和3，然后计算1*2=2，再2*3=6，这样不对，因为1*2*3应该是先算1*2得到2，再算2*3。所以拆分时应该拆成左边表达式和右边表达式，然后进行运算。如果我们找到最右边的运算符，那么左边是一个完整的表达式，右边也是一个完整的表达式。4.因此，我们考虑：从右向左扫描，这样能够保证我们找到的运算符是最后计算的。具体：-先找加减运算符（括号外），如果找到，则在该运算符处分割，然后递归计算左边和右边，然后根据运算符计算。-如果没有加减运算符，再找乘除运算符（括号外），如果找到，则分割。-如果都没有，说明两种情况：要么是一个数字，要么整个表达式被括号包裹。5.对于整个表达式被括号包裹的情况：我们可以在开始检查整个表达式的最外层是否有一对匹配的括号？例如，如果第一个字符是'('，最后一个字符是')'，并且中间部分的括号是匹配的（或者整个表达式在去掉最外层括号后，括号计数从0开始扫描中间部分，那么中间部分的括号应该是匹配的）。但是，我们之前已经在扫描过程中使用了括号计数，因此我们可以用另一种方法：在遍历完整个字符串后，如果括号计数为0，且没有找到任何运算符，且首尾字符是括号，那么我们可以去掉首尾括号，然后递归计算内部。6.具体步骤：-初始化：paren_count=0-从右向左遍历：索引i从len(expr)-1到0-遇到')'，paren_count+1-遇到'('，paren_count-1-当paren_count==0时，检查当前字符：a.如果是加减运算符（'+'或'-'），但是要注意：表达式可能以负数开头，如"(-3)"，或者负号在表达式开头。不过我们的递归分解中，通常表达式不会是单个负数，但是在递归过程中可能出现负数。所以，我们需要注意：在表达式开头出现的减号（负号）不能作为分割。但是我们的扫描是从右向左，所以不会在开头遇到（因为开头在索引0，我们是从后往前扫描）。因此，当我们从右向左扫描时，如果遇到加减号，并且该加减号不在字符串开头（那么它一定是二元运算符），则可以分割。但是，如果遇到加减号在开头呢？在我们的递归过程中，表达式不可能单独出现一个负号，因为数字已经是单独的了。所以，我们可以在递归函数中处理负数的情况，即如果表达式以负号开头，则直接视为负数。-改进：考虑表达式开头出现负号的情况，比如"-1"或者"(-1)"。在递归函数中，我们首先检查表达式的第一个字符，如果是负号，那么我们可以特殊处理：将负号后面的部分当成一个表达式，然后取负。7.算法调整：考虑到表达式可能以负号开头，我们可以先判断第一个字符，如果是负号，那么有两种情况：a.整个表达式就是一个负数，例如"-123"，那么直接返回负数。b.或者后面是一个括号，例如"-(1+2)"。对于括号，我们在遍历过程中能够通过括号匹配来跳过括号内的内容。为了统一处理，我们可以这样：-先处理括号：如果整个表达式被括号包围，则去掉括号（匹配的），然后递归计算去掉括号后的表达式。-然后检查首字符是否为负号：如果是，且整个表达式是“-”加上一个表达式，则返回负的该表达式。但实际上，我们可以避免在递归函数中处理括号的移除，而是在扫描运算符时通过括号计数来确保只在括号外分割。所以对于负号，我们在扫描运算符时需要避免将负号当作运算符分割。因此，我们在扫描运算符（加减乘除）时，要跳过可能的一元运算符（负号）。怎么判断？当遇到一个运算符（例如减号）时，如果它前面没有其他字符（即索引位置0），或者前面的字符是另一个运算符或左括号，那么这个减号就是一元运算符（负号）。所以，在扫描过程中，如果遇到加减号，要检查其前面的字符（即索引i-1）是什么？但是注意我们的扫描方向是从右向左，所以当我们从右向左扫描遇到一个加减号时，它可能是二元运算符（当后面有操作数时）。但是，我们无法直接通过左右来区分，因为在遇到运算符时，我们需要确定这个运算符是二元还是负号（一元）。所以，我们可以在表达式前面加一个0来避免负数吗？不行，因为表达式是任意的。8.为了避免处理负数的一元运算符的复杂性，我们可以改变策略：从左向右扫描来寻找运算符，这样我们可以通过运算符左侧的情况来判断是否是负号。但是，考虑到优先级，我们应该先分割低优先级运算符（加减），并且从左向右扫描的话，我们找的是最左边的低优先级运算符，这样会导致我们拆分的是最左边的运算。例如，对于1+2+3，我们拆分成1和2+3，然后递归计算2+3=5，再1+5=6，这样结果正确。但是，在1+2*3中，如果我们先找到左边的+号，拆分1和2*3，计算1+6=7，正确。在1*2+3中，我们先找到+号（虽然乘除优先级高，但我们没有括号外乘除运算符？不对，我们的算法应该是优先找括号外乘除运算符（如果加减没找到）？不对，我们之前的设计是从右向左优先找加减，然后乘除。如果我们改为从左向右，那么我们需要先找到乘除运算符（优先级高）才能保证正确拆分。9.重新设计：考虑到运算符优先级，我们首先应该分割优先级最低的运算符（加减），并且由于加减是左结合的，所以我们从左向右找加减运算符（括号外）时，应该找最右边的加减运算符？不行，因为我们只能遍历一遍。所以改为：我们优先找括号外最右边的加减运算符（因为最后计算），然后以此分割。这样加减运算符左右两边的表达式可以独立计算。10.因此，我们选择从右向左扫描，并且跳过一元运算符（负号）的情况：即当扫描到一个运算符（比如'-'）时，判断它是否为一元运算符。判断条件：如果该运算符的前一个字符是运算符、左括号或者字符串开头（即索引0），那么它是一元运算符（负号），不能用于分割。但是我们的扫描方向是从右向左，所以我们可以先跳过连续的数字，直到遇到一个非数字非空格（但题目没有空格）的字符。然而，对于括号内的表达式，我们通过paren_count已经记录了。11.简化处理：先处理整个表达式被括号包围的情况。这样我们就可以避免在扫描过程中遇到括号的问题。具体做法：-使用一个函数检查整个表达式是否被一对匹配的括号包围：例如，expr[0]=='('，并且从1到len(expr)-2的括号都是匹配的（即括号计数从0开始，遍历到最后一个字符前，计数都是正数，并且最后计数为0），则我们可以去掉外层括号。12.递归基：当表达式是一个数字字符串时（可能有多位数字，也可能有负号？），直接返回该整数值。因此，算法设计如下（不考虑空格，因为题目没有空格）：defeval_expr(expr:str)->int:#1.处理括号：如果整个表达式被一对括号包围，则去掉括号ifexpr.startswith('(')andexpr.endswith(')')andcheck_parentheses(expr[1:-1]):returneval_expr(expr[1:-1])#2.检查是否是一个数字：如果是，直接返回ifexpr.isdigit():#但是expr可能是负数开头，所以不能直接用isdigit#或者尝试转整数，但如果表达式复杂则不行。我们判断：如果第一个字符可能是负号，后面是数字，或者全部是数字。try:returnint(expr)except:pass#不是数字，后面继续#3.检查负号：如果表达式以负号开头，那么可以看作0减去一个正数，或者递归计算后面的部分并取负？ifexpr[0]=='-':#有两种情况：一种是整个表达式就是一个负号加一个数字，另一种是负号加一个表达式#我们可以递归计算负号后面的表达式return-eval_expr(expr[1:])#但是，负号后面可能接括号，例如"-(1+2)"，我们上面的括号处理已经去掉了外面的括号，但这里去掉括号后的表达式是"-3"。所以我们需要能够处理负号后面是括号表达式的情况？然而，我们首先会尝试去掉括号，所以如果expr是"-(1+2)"，那么实际上我们不会进入括号处理，因为括号在负号后面。因此，我们需要在负号后面直接递归计算。#但是，上面这样递归处理负号可能会导致问题，因为负号后面可能是一个表达式，而表达式可能包含多个字符。比如"-1+2"，这应该被解析为(-1)+2还是-(1+2)？按照数学规则，负号只作用于它后面的第一个数，即(-1)+2=1。所以，我们不应该把整个"-1+2"中的负号后面的所有部分都归为子表达式，因为运算符优先级，负号只作用到1。#所以我们必须按照运算符来拆分表达式，而不能简单用负号开头就整体取负。因此，我们重新考虑：不单独处理负号，而在扫描运算符时，遇到减号判断是否是一元运算符。13.所以我们使用从右向左扫描，同时记录括号深度，以及遇到运算符时判断：-如果当前字符是')'：paren_count++；是'('：paren_count--。-当paren_count==0时，如果当前字符是运算符（包括加减和乘除），则：a.检查当前运算符是否是减号并且可能是一元运算符：如果该运算符位于表达式开头（索引0），那么它是一元运算符（负号），不能分割；或者前一个字符是运算符或左括号，那么也是一元运算符。但是因为我们从右向左扫描，我们不知道前一个字符是什么？但是我们正在扫描整个字符串，所以我们可以检查其左侧的字符（在字符串中位置i-1）。注意：在从右向左扫描时，索引i是当前字符的位置，那么前一个字符（在字符串顺序上）是i-1位置（即左边的字符）。所以，我们可以检查：-如果当前字符是减号（'-'），并且它的左侧字符是运算符（如'+','-','*','/'）或左括号'('，那么它是一元运算符（负号），不能作为分割点。b.如果不是一元运算符，那么就可以分割。但是，我们优先处理加减还是乘除？在扫描时，我们首先寻找加减运算符（在括号外），一旦找到（从右向左）第一个非一元运算符的加减号，我们就分割。所以，我们在遍历过程中，优先记录加减运算符（在括号外），乘除运算符则可以先记录，然后等没有加减再使用。14.实际代码步骤：-初始化：paren_count=0-初始化变量：low_priority_index=-1#用于记录最右侧的括号外的加减运算符位置（非负号）high_priority_index=-1#最右侧的括号外的乘除运算符位置（非负号？乘除没有一元运算符吗？乘除的一元运算符？在数学中，一般没有用*/一元运算符，所以不考虑，但负号有）-注意：乘除也有可能出现类似负号的情况吗？如"*/"这样的表达式是不合法的，所以我们不考虑乘除的一元运算符。-从右向左遍历i从len(expr)-1到0：ifexpr[i]==')':paren_count+=1ifexpr[i]=='(':paren_count-=1ifparen_count==0:ifexpr[i]=='+'orexpr[i]=='-':#检查是否是二元运算符：检查前一个字符（i-1位置）是否非运算符（即数字）并且非开头（i>=1），或者即使前一个字符是运算符，但如果是右括号，那么它可能是操作数结束？这很复杂。#我们重新考虑：二元运算符必须有两个操作数。从右向左扫描，当我们遇到一个运算符时，它的右边必须是操作数，而左边可以是操作数或者表达式。#对于减号，如果是二元运算符，那么它的左边一定是一个操作数（或者是括号括起来的表达式，但括号已经被计数），而右边也是一个操作数。因此，减号不能出现在表达式的开头（除了负号，但我们已经从右向左扫描，所以出现在开头的减号我们不会在第一次遇到，因为我们在字符串开头时，i=0，而循环是从最后开始，所以最后才会到0）。在i=0位置遇到加减号时，它只能是一元运算符（负号）？所以i=0位置的加减号我们不作为分割点。#所以条件：如果i>0，并且expr[i]=='-'或expr[i]=='+'，并且前一个字符expr[i-1]不是运算符（加减乘除）和左括号（实际上，前一个字符可以是右括号，因为可能表达式结束，例如(1+2)-3中的减号，它的左边是2，但我们在扫描时，由于从右向左，我们首先扫描到减号，而它的左边字符是')'，而')'在括号计数中已经被处理过，但是这里我们只关心它是什么字符）。#我们可以这样：对于加减号，只要它不在字符串开头，并且前一个字符不是运算符（加减乘除）和左括号，那么这个加减号就是二元运算符？不对，因为前一个字符可能是右括号，例如上面的例子，所以应该允许前一个字符是右括号。#实际上，我们可以这样判断：如果i>0，且expr[i]是二元运算符，那么它的左边必须是一个表达式（以数字或者括号结束），右边是表达式。因此，我们不要求前一个字符是什么，只需要判断当前运算符不是一元运算符即可。判断：如果前一个字符是运算符（加减乘除），那么这个运算符就是一元运算符？但是注意：连续两个运算符是不合法的表达式（除了一元负号），所以我们默认表达式是合法的。所以，如果我们遇到一个减号，且前一个字符是运算符，那么该减号就是一元运算符（负号），跳过。否则，就是二元运算符。#但是，也可能有连续两个运算符的情况，如"1+-2"，这在数学中是允许的，表达为1+(-2)。所以我们在遇到这种表达式时，第二个运算符是一元负号。#因此，判断规则：如果运算符位置i>0，且前一个字符是运算符，那么当前运算符（如果是减号）是一元运算符，跳过。但注意，前一个字符也可能是左括号，如"(-2)"，这时我们遇到的减号在左括号后面，那么它也是一元运算符。#所以：当paren_count==0且expr[i]是加减号，并且（i==0或者expr[i-1]在['+','-','*','/','(']中）时，那么这个运算符（如果是'-'）为一元运算符，不能用于分割。而加号在一元情况下通常省略（即正号，一般省略），所以我们不考虑加号的一元情况。#所以，对于减号：如果满足（i>0andexpr[i-1]in['+','-','*','/','(']）或i==0，那么跳过（不用于分割）。#对于加号：一元加号一般省略，所以我们同样处理？但一元加号不影响值，所以我们也可以忽略一元加号。因此，在遇到加号时，如果满足上述条件，则跳过。否则，作为二元运算符。#因此，我们这样处理：ifexpr[i]in['+','-']:is_unary=Falseifi==0:is_unary=True#开头位置的加减号，都是一元（如果出现加号在开头，也视为一元，但一元加号可以忽略）else:prev_char=expr[i-1]ifprev_charin['+','-','*','/','(']:is_unary=Trueelse:is_unary=Falseifnotis_unary:#记录这个运算符位置（加减），并立即使用它进行分割？但是我们要找最右边的加减号，所以我们记录下位置，继续向左找看有没有更右边的加减号？不对，因为是从右向左扫描，所以先遇到的运算符位置更靠右。我们想要最右边的符合条件的一个加减号，所以第一个遇到的（从右向左）就是最右边，就可以停止。#因此，我们记录这个位置，并跳出循环？不，我们要找最右边优先级最低的运算符（加减），所以一旦找到括号外且不是一元的加减运算符，我们就记录位置并停止扫描（因为我们是按优先级分组，加减最低，所以我们优先分割加减，只要找到一个就停止扫描？注意，我们需要分割，然后递归。由于表达式可能有多个相同优先级的运算符，我们选择最右边的一个（最后计算）来分割，这样左边可以是一个更长的表达式，右边是一个相对独立的表达式。#所以我们记录当前运算符位置，并跳出循环（因为已经找到了一个加减运算符，所以我们不再继续找其他运算符，因为我们要用这个运算符来分割）。low_priority_index=ibreak#因为要找最右边的，所以找到第一个（从右向左）非一元的加减运算符就可以停止？但注意，可能有多个加减运算符，我们希望找到括号外最右边的一个（也就是先找到的，因为从右向左扫描，先扫描到的最右边），但是如果有多个呢？比如1+2+3，我们要找的是最后一个+号（在2和3之间）。那么当我们从右向左扫描时，我们首先遇到的是3前面的+号（索引为3的字符？假设字符串为"1+2+3"），索引为3的位置是2和3之间的加号。那么我们会记录这个位置，然后break。但是我们想找的是优先级最低的运算符（也就是说我们希望将表达式分成1+2和3，然后分别递归计算？不对，我们想拆成1+2和3，然后递归计算1+2=3，再计算3+3=6。但是，如果我们把3前面的加号作为分割点，那么左边是"1+2"，右边是"3"，然后我们计算左边的值，然后和右边做加法，得到3+3=6，正确。else:#一元运算符，跳过passelse:#如果是乘除运算符，同样记录（但因为我们先找加减运算符，所以如果在同一次遍历中已经找到了加减，会break，所以不会记录乘除）ifexpr[i]=='*'orexpr[i]=='/':#乘除不存在一元运算符（除特殊，这里不考虑），所以直接记录，但是我们先不break，因为后面可能还有加减运算符（我们优先找加减）#但是我们这里只扫描一遍，并且从右向左，我们希望找到最右边的乘除运算符。因为可能有多个乘除，比如1*2*3，那么最右边的乘号（在2和3之间）应该先分割？不对，乘除是左结合的，所以应该先分割左边。但是递归分割时，我们希望把低优先级放到上层分割。所以我们先记录乘除运算符的位置，然后继续向左扫描，看是否有加减运算符（优先级更低），如果有加减运算符，则用加减运算符分割，否则最后用乘除分割。#因此，我们不break，而是只记录乘除的位置（最右边的乘除运算符，因为我们从右向左，第一个遇到的乘除运算符是最右边的），然后继续向左扫描。但是，如果后面出现了加减运算符，则覆盖掉乘除运算符的位置。而当我们遇到加减运算符时，我们break（跳出），然后使用加减运算符分割。所以乘除运算符的记录是临时的，如果后面发现加减运算符，则用加减运算符分割，否则最后用乘除运算符分割。#因此，我们记录当前乘除运算符的位置（但可能是暂时的，因为可能后面会遇到加减）high_priority_index=i#这里我们只记录一个最右边的乘除运算符（因为我们从右向左扫描，每遇到一个乘除运算符，我们就更新位置，这样保证我们得到的是最右边的一个）-循环结束后，我们判断：iflow_priority_index!=-1:op=expr[low_priority_index]left_expr=expr[:low_priority_index]right_expr=expr[low_priority_index+1:]#递归计算左右部分left_val=eval_expr(left_expr)right_val=eval_expr(right_expr)ifop=='+':returnleft_val+right_valifop=='-':returnleft_val-right_valelifhigh_priority_index!=-1:op=expr[high_priority_index]left_expr=expr[:high_priority_index]right_expr=expr[high_priority_index+1:]left_val=eval_expr(left_expr)right_val=eval_expr(right_expr)ifop=='*':returnleft_val*right_valifop=='/':returnleft_val//right_val#题目要求整数除法else:#如果都没有，则可能是括号表达式（但我们已经处理过了）或者数字，或者是一个负号开头的表达式#我们尝试直接转整数，如果转不了，说明是一个被括号包围的表达式？但我们之前已经检查过括号和负号开头了，所以这里应该是数字，或者是没有运算符的表达式#如果是空字符串？不可能，因为基case已经处理了数字。#另外，还可能是一元运算符的负号开头，但我们在扫描时跳过了？但扫描时如果整个表达式就是一个负数（如"-123"），那么它不会进入循环中的任何操作，所以我们这里需要处理。#再次尝试处理负号：如果第一个字符是负号，那么递归计算后面的部分并取负。ifexpr[0]=='-':return-eval_expr(expr[1:])#否则，可能是数字字符串，可能是正号开头的数字（但正号可以忽略）ifexpr[0]=='+':#一元加号returneval_expr(expr[1:])#最后，尝试转换整数returnint(expr)15.但是，我们怎么处理括号表达式已经被我们提前处理过的情况？我们在开头已经尝试过去除外层括号，所以如果表达式被括号包围，已经去除了。所以这种情况不需要再考虑括号。16.然而，上面的括号去除函数check_parentheses(inner)如何实现？我们写一个辅助函数：defcheck_parentheses(s):#检查s中的括号是否匹配（在遍历过程中）count=0forcharins:ifchar=='(':count+=1elifchar==')':count-=1ifcount<0:#在中间过程中可能出现右括号多的情况returnFalsereturncount==0然后，在表达式处理的第一步：ifexpr.startswith('(')andexpr.endswith(')'):#检查去掉括号后，内部的括号是否匹配（内部部分是否匹配）inner=expr[1:-1]ifcheck_parentheses(inner):returneval_expr(inner)注意：这里去掉括号后，内部的表达式可能仍然有括号，在递归中还会处理。17.但是，还有一种情况：整个表达式可能不是被括号包围的，而是最外层有多个运算符，比如"(1+2)*(3+4)"，这种表达式，我们扫描运算符时，因为乘号在括号外，所以会被扫描到。18.但是，对于表达式"1+2*(3+4)"，我们在扫描时，先扫描到括号内的，paren_count会在括号内增加，所以括号内的部分不会被视为在括号外。因此，当我们扫描到括号外的乘号时，由于乘除优先级高于加减？不对，乘除优先级确实高于加减，但我们的算法是先扫描括号外的加减，如果没有再扫描乘除。所以这个表达式扫描时，括号外有加号（在1后面）和乘号（在2后面）。从右向左扫描：-先扫描到4后面的括号，paren_count++（遇到右括号）？不对，初始paren_count=0，遇到')'变为1？不对，我们需要遍历整个字符串：初始化：paren_count=0i从右向左遍历：i=len(expr)-1:')'->paren_count=1i=len(expr)-2:'4'->跳过i=len(expr)-3:'+'->因为paren_count=1（非0，跳过）...直到遇到')'，在i=9?的位置，对应位置是4后面的')'，扫描到这个括号时，paren_count减1？不对，括号是匹配的，在遇到最后一个字符（右括号）时，paren_count=1（之前遇到过'('了吗？需要再看）。我们需要匹配括号：在遍历过程中，遇到左括号，paren_count加1；右括号，paren_count减1。但是这个表达式中，我们先遇到右括号，paren_count=1，然后遇到左括号时，paren_count-1=0。所以，在左括号之后的部分（即expr[0:1]）是paren_count=0。然后，在扫描到乘号时（在位置5，假设字符串为"1+2*(3+4)"，位置5就是乘号），这时paren_count=0，所以乘号会被记录（high_priority_index=5），然后继续向左扫描，遇到加号（位置1），paren_count=0，且加号不是一元运算符（因为前面是数字'1'），所以low_priority_index记录为1，然后break。所以最后会以加号分割，分成"1"和"2*(3+4)"两部分。然后递归计算左边为1，右边部分："2*(3+4)"。计算右边部分：同样，先尝试括号，不是括号表达式（开头是2，所以不是）。然后扫描，从右向左扫描，扫描到乘号（位置5，但在子字符串中，乘号在位置1？），子字符串为"2*(3+4)"，长度为8?不对，实际子字符串是："2*(3+4)"，从0到7：扫描：i=7:')'->paren_count=1i=6:'4'->继续i=5:'('->paren_count=0...等等，不对，所以需要仔细实现括号计数。19.由于这个算法相对复杂，并且有递归，我们需要多次测试。20.另外，除法用整数除法（//）。21.由于时间有限，我们写一个简化版：先处理括号，然后只处理二元运算符，并认为表达式是合法的。22.具体实现如下，并进行简单测试。但是，考虑到递归深度可能很大，而且表达式不能有空格，我们直接写递归函数。注意：除法用//，整数除法，向0取整？但题目没说，但常规整数除法。注意：在Python中，整数除法是向下取整，但题目没有特别说明，但一般数学计算是向0取整。所以我们应该在除法时使用int(a/b)？但题目说结果整数，我们就用//。23.代码实现：注意：这里表达式没有空格，且是整数字符串，运算符包括：+,-,*,/,()由于这是一个复杂的递归函数，我们可能遇到性能问题，但对于一般表达式长度，是可行的。24.我们写一个辅助函数：检查去掉括号后的内部表达式是否匹配：defcheck_parentheses(s):count=0forcins:ifc=='(':count+=1elifc==')':count-=1ifcount<0:returnFalsereturncount==025.在开始处理时，先去括号。注意，如果表达式被多对括号包围，如"((1+2))"，那么我们会先去掉外层的括号，变成"(1+2)"，然后再去掉一层括号，变成"1+2"。26.在扫描运算符时，我们只扫描paren_count==0的位置。下面给出完整代码：注意：由于我们递归计算，如果表达式很大可能递归深度过大，但这里我们不考虑优化。我们按照从右向左扫描的方式，注意：对于高优先级的运算符乘除，我们在扫描过程中记录，如果找到加减就立即使用加减分割，否则使用乘除分割。另外，在分割时，乘除优先级高于加减，所以我们即使先扫描到乘除，但后面又扫描到加减，则优先使用加减分割。但是，如果我们从右向左扫描，那么首先扫描到的运算符（括号外）中，加减运算符会被优先使用（如果存在）。这符合预期：因为加减优先级低于乘除，所以表达式被加减运算符分成两个大块，然后每个大块内再处理乘除。例如：1+2*3，扫描过程：i=4:'3'->跳过i=3:'*'->paren_count=0，记录high_priority_index=3，继续i=2:'2'->跳过i=1:'+'->paren_count=0，且不是一元运算符，记录low_priority_index=1，break。然后使用'+'分割，得到left_expr="1",right_expr="2*3"。计算左边：1计算右边：表达式"2*3"，会使用乘号分割，得到2和3，计算得到6。然后1+6=7。符合。再如：1*2+3i=4:'3'->跳过i=3:'+'->paren_count=0，非一元运算符，记录low_priority_index=3，break。所以分割为"1*2"和"3"，计算左边1*2=2，然后2+3=5。再如：1*(2+3)i=6:')'->paren_count++=1i=5:'3'->跳过i=4:'+'->在括号内（paren_count=1），跳过i=3:'2'->跳过i=2:'('->paren_count--=0i=1:'*'->括号外，非一元运算符（前面是1，数字），所以记录high_priority_index=1，继续（但不会找到加减运算符，因为后面没有扫描到）i=0:'1'->跳过。结束，然后使用乘号分割，得到left_expr="1",right_expr="(2+3)"。"1"->1"(2+3)"->会被去掉括号变成"2+3"，然后递归计算：得到5最后1*5=5。但是，表达式为"1*(2+3)"，当处理到乘号时，它的右边表达式为"(2+3)"，这个表达式会被递归计算。递归过程中，在去括号后得到"2+3"，然后再分割，得到2+3=5。所以正确。27.代码实现，注意递归基。28.特殊情况：只有括号和数字，如"123","(123)"，我们处理括号后，递归调用会进入数字情况，返回123。在数字情况下，我们用int(expr)转整数。29.在扫描运算符时，乘除运算符记录后不能跳出，因为后面可能还有加减运算符（优先级更低，需要优先分割），所以乘除运算符记录后继续向左扫描。加减运算符一旦找到一个非一元的，就break。30.对于一元运算符：负号的处理，我们最后如果扫描不到任何运算符，则尝试用负号开头来取负。31.但是，负号开头并且后面是括号的情况呢？比如"-(1+2)"，我们首先去掉括号？表达式不是以'('开头和')'结尾吗？这里表达式开头是'-'，不是括号，所以我们不去括号。然后进入扫描：i从右向左扫描：表达式"-(1+2)"i=5:')'->paren_count=1i=4:'2'->跳过i=3:'+'->在括号内，跳过i=2:'1'->跳过i=1:'('->paren_count=0（因为遇到左括号，paren_count从1减到0）i=0:'-'->paren_count=0，检查：i=0，所以是一元运算符（负号），跳过（不记录为运算符）。然后扫描结束，没有记录任何运算符。所以进入最后一段，检查到开头是负号，则递归计算去掉负号的部分：即"-(1+2)"去掉负号，取子串"1..2"（但这里取的是expr[1:]，即"(1+2)"）。然后递归计算"(1+2)"，得到3，然后取负，得到-3。32.但是，表达式"-1+2"呢？首先我们扫描：i=3:'2'->跳过i=2:'+'->paren_count=0，检查：前面字符是1，所以不是一元运算符。所以可以分割。因此，分割成左边：expr[:2]="-1"，右边：2。但是左边"-1"在扫描运算符时，我们会扫描到负号在位置0，是一元运算符，所以不会分割。在最后，我们会处理负号开头，所以会得到-1。然后计算：左边值为-1，右边值为2，做加法：-1+2=1。符合预期。33.但是，分割时，左边界为0到1，左子表达式是"-1"，但是我们如何计算？在递归函数中，计算"-1"时，会进入最后一步（没有运算符），然后检查开头是负号，递归取负（1的负数为-1）。而右边部分"2"转为整数2。34.注意：在分割时，左边和右边部分都是字符串。35.代码中注意整数除法的方向。题目要求整数，使用整数除法（//），但注意，当除数为负数时，除法是向下取整。但是数学上一般表达式求值是向0取整。所以我们需要调整吗？例如：10/3=3，-10/3=-4（在Python中）？但实际数学计算中，我们期望-10/3=-3（向0取整）。但题目没有特别说明，按照引文[2]的说法，题目中的表达式结果都是整数，而且没有说明取整方式。我们按照Python的//，它相当于math.floor除法（向负无穷取整）。为了与常规的整数除法（向0取整）一致，我们可以调整：判断如果是除法，且两个操作数异号，则结果向下取整。但题目没有要求，而且引用[2]中只说“/结果也是整数”，没有说向哪个方向取整。我们再看例子：引用[2]中的输入：(2+3)*(5+7)+9/3输出：63。其中9/3=3，为正数，所以无影响。因此，我们按照常规的整数除法：即用//，但如果是负数，我们希望向0取整，所以可以这样：ifop=='/':returnabs(left_val)//abs(right_val)*(1if(left_val>=0andright_val>0)or(left_val<0andright_val<0)else-1)但这样比较麻烦，而且题目没有要求。为简单，直接使用//。36.但是，在表达式中，除法使用//可能会得到不期望的结果。例如，10//3=3，-10//3=-4，而一般数学表达式期望-10/3=-3。37.为了解决这个问题，我们可以使用int(a/b)来代替a//b，因为int(a/b)向0取整。但是，如果a和b很大，浮点运算可能有精度问题。因此，我们可以自定义一个整数除法函数：defdiv(a,b):ifa*b>=0:returna//belse:return-(abs(a)//abs(b))但是，这个函数也不对，因为a//b是向下取整，我们想要的是向0取整，所以：defdiv(a,b):sign=1ifa<0:a=-asign=-signifb<0:b=-bsign=-signreturnsign*(a//b)这个函数计算后，结果符号正确，但是a//b是整数除法，我们希望a/b的结果向0取整，而a//b就是向下取整，所以我们直接使用：defdiv(a,b):returna//b#不符合向0取整其实，向0取整就是舍去小数部分。所以：defdiv(a,b):ifa%b==0:returna//belse:returna//bifa*b>0else(a//b+1)这样太复杂。我们使用：defdiv(a,b):returnint(a/b)#用浮点数除法，然后转整数，向0取整。但题目要求整数，且表达式求值，用浮点数会有精度问题，所以不推荐。根据标准，要求整数除法，我们使用普通的整数除法，即向0取整。我们可以这样：ifb==0:raiseZeroDivisionErrorsign=1ifa<0:a=-asign=-signifb<0:b=-bsign=-signreturnsign*(a//b)但注意，这个计算过程相当于：我们让a和b都变正数，然后做正数除法（得到非负整数），再乘上符号。但是，我们要求计算结果整数，且题目没有特殊要求，我们按照常规数学计算：向0取整。由于题目没有提供负数除法的测试用例，我们暂时用普通的//，并注意题目要求。如果有要求，再修改。38.考虑到引用[2]中的例子，输入：(2+3)*(5+7)+9/3，输出63。其中9/3=3，用//没有影响。39.我们暂且使用//。40.写代码，并测试。由于代码复杂度，我们写一个递归函数，并按照上述思路实现。注意：我们假设输入是合法的，所以括号匹配，数字都是整数。41.测试用例："1":1"123":123"1+2":3"2-1":1"2*3":6"6/2":3"1+2*3":7"1*(2+3)":5"-(1+2)":-3"-1+2":1"2*(3+4)":14"(2+3)*(5+7)+9/3":5*12+3=6342.注意：除法可能会出现除0，但题目没说明，我们暂时不考虑（表达式除法除数非0）。43.下面编写递归函数。</think> 在 Python 中，使用递归方法实现中缀表达式求值可以通过以下步骤实现。该方法基于运算符优先级和括号匹配原则，将表达式分解为更小的子问题： ### 递归解法实现思路 1. **去除空格**（虽然题目输入通常不含空格） 2. **处理括号**：递归计算最内层括号表达式的值 3. **处理运算符**：按优先级处理（先乘除后加减） 4. **递归基**：当表达式为纯数字时直接转换 5. **处理负号**：特别处理一元负号运算符 ### 完整代码实现 ```python def eval_expr(expr: str) -> int: # 处理括号：递归计算括号内表达式 if expr.startswith('(') and expr.endswith(')'): inner = expr[1:-1] if check_parentheses(inner): return eval_expr(inner) # 递归基：纯数字直接转换 if expr.isdigit(): return int(expr) if expr[1:].isdigit() and expr[0] == '-': # 负整数 return -int(expr[1:]) # 运算符扫描初始化 paren_count = 0 add_index = -1 mul_index = -1 # 从右向左扫描运算符 for i in range(len(expr)-1, -1, -1): c = expr[i] if c == ')': paren_count += 1 elif c == '(': paren_count -= 1 if paren_count != 0: continue # 跳过括号内字符 if c in ['+', '-']: # 确保不是一元负号 if not (i == 0 or expr[i-1] in '+-*/('): add_index = i break # 优先处理低优先级运算符 elif c in ['*', '/']: mul_index = i # 记录高优先级运算符位置 # 递归计算表达式 if add_index != -1: # 处理加减法 left = eval_expr(expr[:add_index]) right = eval_expr(expr[add_index+1:]) return left + right if expr[add_index]=='+' else left - right elif mul_index != -1: # 处理乘除法 left = eval_expr(expr[:mul_index]) right = eval_expr(expr[mul_index+1:]) return left * right if expr[mul_index]=='*' else left // right # 处理单值表达式 if expr[0] == '-': return -eval_expr(expr[1:]) if expr[0] == '+': # 处理正号 return eval_expr(expr[1:]) return int(expr) # 最后防线 def check_parentheses(s: str) -> bool: """检查括号是否匹配""" count = 0 for c in s: if c == '(': count += 1 elif c == ')': count -= 1 if count < 0: return False return count == 0 # 测试用例 print(eval_expr("2+3*4")) # 14 print(eval_expr("(2+3)*(5+7)")) # 60 print(eval_expr("1+2*3-4/2")) # 5 print(eval_expr("-5*2+(3-1)")) # -8 ``` ### 关键实现点 1. **括号处理**：递归优先计算括号内表达式 - 通过 `check_parentheses` 验证括号匹配 - 剥去外层括号后递归计算内部 2. **运算符优先级处理** - 扫描时**从右向左**确保左结合性 - 优先处理**加减法**（低优先级） - 其次处理**乘除法**（高优先级） 3. **特殊场景处理** - **一元负号**：检查运算符前字符（数字/括号） - **整数除法**：使用 `//` 保留整数部分 - **纯数字**：直接转换 `int()` 类型 4. **递归终止条件** - 纯数字字符串（含负数字符） - 单值表达式（如 `"(123)"`） ### 算法复杂度 - **时间复杂度**：$O(n^2)$，每层递归扫描整个表达式 - **空间复杂度**：$O(n)$，递归深度与表达式长度成正比 此实现完整处理了中缀表达式的括号嵌套、运算符优先级和正负数等复杂情况[^1][^2]。