GCN公式

### Graph Convolutional Network (GCN) 的公式推导与计算方法 #### GCN 基本公式 Graph Convolutional Networks (GCN) 是一种基于图结构的深度学习模型，主要用于处理图数据。其核心思想是对图中的节点及其邻居进行聚合操作，从而提取节点特征并生成新的表示。 假设给定一个图 \( G=(V, E) \)，其中 \( V \) 表示节点集合，\( E \) 表示边集合。令 \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) 为该图的邻接矩阵，\( X \in \mathbb{R}^{n \times d} \) 为节点特征矩阵（每一行为对应节点的特征），则 GCN 的一层可以通过如下公式表示： \[ H^{(l+1)} = f(H^{(l)}, A; W^{(l)}) = \sigma(\tilde{D}^{-\frac{1}{2}} \tilde{A} \tilde{D}^{-\frac{1}{2}} H^{(l)} W^{(l)}) \] 这里， - \( H^{(l)} \) 和 \( H^{(l+1)} \) 分别表示第 \( l \)-th 层和第 \( l+1 \)-th 层的隐藏状态； - \( W^{(l)} \) 是可训练权重矩阵； - \( \tilde{A} = A + I_N \) 是加自环后的邻接矩阵； - \( \tilde{D}_{ii} = \sum_j \tilde{A}_{ij} \) 是对应的度矩阵； - \( \sigma \) 是激活函数，通常采用 ReLU 函数[^1]。 #### 多层 GCN 推导 在实际应用中，GCN 往往由多层组成。每层的作用是从当前层的状态出发，利用图结构传播信息到下一层。具体来说，如果我们将上述公式的输出作为下一层次的输入，则整个网络可以写成： \[ Z = F(X, A) = Softmax(D^{-\frac{1}{2}}AD^{-\frac{1}{2}}ReLU(... D^{-\frac{1}{2}}AD^{-\frac{1}{2}}XW^{(0)}...)W^{(L-1)}) \] 这里的 \( Z \) 是最终的输出，通常是节点分类的概率分布；\( L \) 表示层数。 #### 应用于多关系图的情况 对于多关系图（如知识图谱），传统的 GCN 方法可能无法有效捕捉不同关系的信息。因此，需要引入关系特定的权重矩阵 \( W_r \)，使得每个关系都有独立的学习能力。此时，GCN 的更新公式变为： \[ H^{(l+1)}_i = \sigma\left( \sum_{r \in R} \sum_{j \in N_i^r} \frac{1}{c_{i,r}} W_r H^{(l)}_j \right) \] 这里， - \( r \) 表示不同的关系类型； - \( N_i^r \) 表示节点 \( i \) 在关系 \( r \) 下的所有邻居； - \( c_{i,r} \) 是归一化常数，防止梯度爆炸或消失[^2]。 然而，这种方法的一个主要问题是参数数量随关系类型的增加呈线性增长，可能导致过拟合或难以优化。为此，研究者提出了多种解决方案，例如共享权重机制或低秩分解技术。 #### 实现细节 以下是简单的 Python 实现代码片段，展示如何构建两层 GCN 模型： ```python import torch import torch.nn as nn import torch.nn.functional as F class GCNLayer(nn.Module): def __init__(self, input_dim, output_dim): super(GCNLayer, self).__init__() self.linear = nn.Linear(input_dim, output_dim) def forward(self, x, adj_matrix): support = self.linear(x) output = torch.matmul(adj_matrix, support) return output class TwoLayerGCN(nn.Module): def __init__(self, input_dim, hidden_dim, output_dim): super(TwoLayerGCN, self).__init__() self.gcn_layer1 = GCNLayer(input_dim, hidden_dim) self.gcn_layer2 = GCNLayer(hidden_dim, output_dim) def forward(self, x, adj_matrix): h = F.relu(self.gcn_layer1(x, adj_matrix)) z = self.gcn_layer2(h, adj_matrix) return F.log_softmax(z, dim=1) ``` --- ###