7-5 循环结构29：公约数公倍数 分数 10 作者 fx 单位 福州大学至诚学院 输入m，n两个数，求它们的最大公约数和最小公倍数 输入格式: 输入两个整数m和n 输出格式: 输出共两行 第一行：输出最大公约数的值 第二行：输出最小公倍数的值 用C语言回答

<think>好的，我现在需要解决这个题目，题目是输入两个整数m和n，求它们的最大公约数和最小公倍数，然后用C语言编写程序输出结果。让我仔细想想该怎么开始。 首先，我得回忆一下最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）的定义和计算方法。最大公约数是两个数中最大的能同时整除它们的数。最小公倍数则是两个数的乘积除以它们的最大公约数。所以关键点在于先找到最大公约数，然后用这个结果来计算最小公倍数。 那如何求最大公约数呢？常用的方法是欧几里得算法，也就是辗转相除法。这个算法的基本思想是用较大的数除以较小的数，然后用余数继续这个过程，直到余数为零，最后的非零余数就是最大公约数。比如说，求m和n的GCD，假设m > n，那么步骤是：m除以n得到余数r，然后n除以r得到余数r1，重复直到余数为零，此时的除数就是GCD。 接下来，我需要把这个算法转化为C语言的代码。首先，用户输入两个整数m和n。这里需要注意的是，输入的两个数可能有0或者负数的情况吗？题目中说是输入两个整数，但没有说明是否为正。但一般来说，公约数和公倍数的讨论通常是针对正整数的。不过根据题目示例，可能假设输入的是正整数，但为了程序的健壮性，可能需要处理负数和零的情况。不过题目中的输入格式可能已经保证是正整数，所以可能不需要处理。但为了安全起见，可能需要取绝对值，或者提示用户输入正数。不过题目没有特别说明，可能不需要考虑这些，直接处理正整数即可。 然后，关于最小公倍数，根据公式LCM(m,n) = (m × n)/GCD(m,n)。所以一旦计算出GCD，就可以直接算出LCM。但需要注意的是，如果m或n为零，那么最小公倍数可能没有定义或者为零，但题目中的输入可能排除了这种情况，所以程序中应该确保在计算的时候不会有除以零的错误。不过根据题目中的输入样例，可能输入都是正整数，所以不需要处理这种情况。 现在开始编写代码的大体结构： 1. 包含头文件stdio.h。 2. 主函数main。 3. 定义变量m和n，用scanf读取输入。 4. 计算最大公约数。 5. 根据GCD计算LCM。 6. 输出结果，分两行。 那如何实现欧几里得算法呢？可以用循环或者递归的方式。这里可能用循环更高效。例如，假设m和n的值可能被交换，所以需要处理它们的大小关系。例如，在辗转相除的过程中，总是用较大的数除以较小的数。或者，在循环中每次交换变量，使得总是用除数除以余数。例如： 初始时，a = m，b = n。然后循环，计算a % b，将a设为原来的b，b设为余数，直到余数为零，此时的a就是GCD。 或者，可能要考虑如果其中一个数是零的情况，比如如果输入中有零的话。例如，如果其中一个数是零，那么最大公约数是另一个数的绝对值。但题目中的输入是否包含零呢？假设题目中的输入是正整数，所以可能不需要处理。但如果用户输入了零，应该怎么办？根据题目描述，可能输入的是正整数，所以程序可以不做处理，但为了程序的健壮性，可能需要考虑。例如，如果输入中有零，比如m=0，n=5，那么最大公约数是5，而最小公倍数是0。但题目中的输入可能不会有这种情况，所以可以暂时不考虑。 现在，假设输入都是正整数，那么编写代码： 首先读取m和n： int m, n; scanf("%d %d", &m, &n); 然后计算GCD。假设m和n可能有0的情况，但题目中的测试用例可能没有，所以先按照都是正整数处理。 接下来，用辗转相除法： int a = m, b = n; while (b != 0) { int temp = a % b; a = b; b = temp; } int gcd = a; 这样，循环结束后，a的值就是最大公约数。 然后计算LCM： int lcm = m * n / gcd; 但是这里有一个问题，如果m和n的乘积很大，可能会超出int的范围，导致溢出。例如，当m和n都接近10^9的时候，乘积会超过int的范围（假设int是32位，最大到2^31-1）。题目中的测试用例可能不会这么大，所以用int可能没问题。但为了安全，可以考虑用long类型来存储乘积。不过题目可能只要求用int即可。 所以代码的大体结构是： #include <stdio.h> int main() { int m, n; scanf("%d %d", &m, &n); int a = m, b = n; while (b != 0) { int temp = a % b; a = b; b = temp; } int gcd = a; int lcm = m * n / gcd; printf("%d\n%d\n", gcd, lcm); return 0; } 但是这里需要注意，当输入的m或n为负数的情况。例如，如果m是负数，那么计算的乘积可能有问题。但题目中的输入可能都是正整数。或者，是否需要处理负数的情况？ 比如，用户输入m= -12，n=18。最大公约数是6，最小公倍数是-36？或者应该取绝对值？根据数学定义，公约数应该是正数。所以程序中应该取m和n的绝对值来计算。例如，在计算之前，将a和b设为绝对值： int a = m > 0 ? m : -m; int b = n > 0 ? n : -n; 或者： a = m; b = n; if (a < 0) a = -a; if (b < 0) b = -b; 这样处理之后，就可以正确计算负数的GCD了。 因此，正确的代码应该处理负数的情况，将a和b都转为正数。否则，当输入中有负数时，余数的计算可能不符合预期。比如，当a为负数时，a%b的结果可能和预期不同。例如，在C语言中，取模运算的符号依赖于具体的实现，但在C99标准中，余数的符号和被除数相同。比如，-5 % 3的结果是-2，而5 % -3的结果是2。这可能影响辗转相除法的正确性。 所以，正确的做法是先将m和n的绝对值作为a和b的初始值。例如： int a = m; int b = n; a = (a > 0) ? a : -a; b = (b > 0) ? b : -b; 或者在读入m和n之后，将其转为正数： m = m < 0 ? -m : m; n = n < 0 ? -n : n; 这样，保证后面的计算都是针对正整数的。 所以，修改后的代码应该包含对m和n绝对值的处理。例如： #include <stdio.h> int main() { int m, n; scanf("%d %d", &m, &n); // 处理负数的情况 m = m < 0 ? -m : m; n = n < 0 ? -n : n; int a = m, b = n; while (b != 0) { int temp = a % b; a = b; b = temp; } int gcd = a; int lcm = m * n / gcd; printf("%d\n%d\n", gcd, lcm); return 0; } 这样，无论输入的m和n是正是负，都会被转为正数，从而正确计算GCD和LCM。比如，输入-12和18，计算后的m是12，n是18，得到GCD为6，LCM= (12*18)/6=36。 那最小公倍数是否会出现负数的情况？根据数学定义，最小公倍数应该是正整数，所以当输入有一个负数时，乘积可能为负，但由于m和n已经被转为正数，所以乘积是正的，除以正的GCD，得到正的LCM。这样就正确了。 另外，当其中一个数为零的情况如何处理？比如，m=0，n=5。此时GCD是5，而LCM是0。但根据数学定义，0和任何数的最小公倍数是0。所以在这种情况下，如果允许输入有0，那么上述代码可以处理。例如，当m=0，n=5时，a被设置为0，然后进入循环： a=0，b=5。循环条件b !=0，所以进入循环。计算a%b，即0%5=0。然后a被赋值为b（5），b被赋值为0。循环结束。此时a=5，所以GCD=5。然后LCM=0*5 /5=0。输出正确。 所以，当其中一个数为零时，代码仍然有效。例如，输入0和0的情况，但此时在循环中，初始时a=0，b=0，循环条件b !=0不成立，所以循环不执行，此时a=0，gcd=0。此时计算lcm的时候，0*0 /0，会导致除以零的错误。但题目中是否允许输入两个零呢？题目中的输入格式是“两个整数”，如果允许输入两个零，那么在代码中需要处理这种情况。但根据题目描述，可能不需要考虑这种情况，或者测试用例中没有这样的情况。但为了程序的健壮性，可能需要处理。 比如，当m和n都为0时，GCD是未定义的，或者任意数，但通常认为0和0的GCD是0，而LCM也是0。但此时，在代码中，当m和n都为0时，计算gcd时a和b都是0，循环不执行，gcd为0。然后计算lcm时，0*0 /0，会导致运行时错误（除以零）。所以在这种情况下，程序会崩溃。 因此，必须处理这种情况。题目中的输入是否可能为两个零？如果题目中保证输入的m和n不同时为零，那么代码可以正常运行。否则，需要添加条件判断。例如： if (m == 0 && n ==0) { // 处理特殊情况，两个都是0的情况 printf("0\n0\n"); } else { // 原来的代码 } 但题目中的输入是否有这种情况呢？题目描述没有说明，所以可能需要询问，但根据题目给出的例子，可能不需要处理。如果题目中的测试用例中没有两个零的情况，那么代码可以正常运行。但如果有一个为零的情况，比如输入0和5，则代码可以正确计算gcd=5，lcm=0。而输入0和0时，程序会崩溃。因此，可能需要添加对这种情况的判断。 所以，修改后的代码： #include <stdio.h> int main() { int m, n; scanf("%d %d", &m, &n); // 处理0的情况 if (m == 0 && n == 0) { printf("0\n0\n"); return 0; } // 处理负数的情况 m = m < 0 ? -m : m; n = n < 0 ? -n : n; int a = m, b = n; while (b != 0) { int temp = a % b; a = b; b = temp; } int gcd = a; int lcm; if (gcd == 0) { // 当gcd为0时，即两者都是0，但前面已经处理过 lcm = 0; } else { lcm = (m * n) / gcd; } printf("%d\n%d\n", gcd, lcm); return 0; } 不过，当m和n都为0时，代码已经在前面的条件判断中处理了，所以后面的计算不会出现除以零的情况。所以在原来的处理中，当输入两个0时，直接输出0和0。其他情况下，gcd至少有一个数不为零，所以不会出现除以零的情况。例如，当m=0，n=5时，gcd=5，所以lcm=0*5/5=0。正确。 综上所述，正确的代码应该先处理两个数都为0的情况，然后将m和n转为正数，之后使用辗转相除法计算GCD，再计算LCM。 但原题中的输入是否有这样的特殊情况呢？题目描述中的输入可能保证不为零，或者至少一个不为零。但为了程序的健壮性，应该处理所有可能的情况。 现在再考虑一下测试案例： 例如，输入12和18，输出应该是6和36。输入4和6，输出2和12。输入5和7，输出1和35。输入0和5，输出5和0。输入-12和18，输出6和36。输入0和0，输出0和0（但需要前面的条件判断）。 所以，在代码中加入处理两个0的情况的条件判断，可以避免除以零的错误。 现在，综合以上分析，最终的C语言代码应该包括： 1. 处理两个数都是0的情况。 2. 将m和n转为正数。 3. 使用辗转相除法计算GCD。 4. 计算LCM为m*n/GCD。 5. 输出结果。 综上，代码应该如上面所示。现在将代码整合，并确保所有情况都处理正确。</think>以下是计算最大公约数和最小公倍数的C语言代码实现及详细解析： ```c #include <stdio.h> int main() { int m, n; scanf("%d %d", &m, &n); // 读取输入的两个整数 // 处理两数都为0的特殊情况 if (m == 0 && n == 0) { printf("0\n0\n"); return 0; } // 转换为绝对值（保证后续计算正确性） m = m < 0 ? -m : m; n = n < 0 ? -n : n; // 计算最大公约数（GCD） int a = m, b = n; while (b != 0) { int temp = a % b; a = b; b = temp; } int gcd = a; // 计算最小公倍数（LCM） int lcm = (m * n) / gcd; // 输出结果 printf("%d\n%d\n", gcd, lcm); return 0; } ``` ### 代码解析： 1. **输入处理**： `scanf("%d %d", &m, &n)` 读取用户输入的两个整数。 2. **特殊值判断**： - 当 $m$ 和 $n$ 均为0时，直接输出 `0\n0\n` 并结束程序。 3. **绝对值转换**： 将输入的 $m$ 和 $n$ 转换为绝对值，保证后续计算正确性（负数的公约数和公倍数与绝对值相同）。 4. **计算最大公约数（GCD）**： - 使用 **辗转相除法**（欧几里得算法）： - 通过 `while (b != 0)` 循环，不断用余数更新变量，直到余数为0。 - 最终变量 `a` 的值即为最大公约数。 5. **计算最小公倍数（LCM）**： - 公式为：$\text{LCM}(m, n) = \frac{m \times n}{\text{GCD}(m, n)}$。 - 通过整数运算直接计算结果。 6. **输出结果**： 分别输出最大公约数和最小公倍数，格式符合题目要求。 ### 关键优化点： - **绝对值处理**：通过 `m = m < 0 ? -m : m` 保证所有计算基于正整数，避免负数干扰。 - **辗转相除法**：时间复杂度为 $O(\log(\min(m, n)))$，效率极高。 - **防溢出处理**：若输入值较大，可将 `m` 和 `n` 定义为 `long` 类型以避免整数溢出。 ### 示例测试： | 输入 | 输出 | 说明 | |-----------|-------|--------------------------| | 12 18 | 6<br>36 | 典型示例 | | 0 5 | 5<br>0 | 含零输入 | | -12 18 | 6<br>36 | 负数输入 | | 7 5 | 1<br>35 | 互质数 | | 0 0 | 0<br>0 | 全零输入（已特殊处理） |