c++求最小公倍数和最大公约数的简单程序

<think>我们被要求编写一个C++程序来计算最小公倍数（LCM）和最大公约数（GCD）。我们将按照以下步骤进行： 1. 实现计算两个数的最大公约数（GCD）的函数。我们可以使用欧几里得算法（辗转相除法）。 2. 利用GCD来计算两个数的最小公倍数（LCM），因为对于两个数a和b，有：LCM(a, b) = (a * b) / GCD(a, b)。注意避免溢出，可以先除后乘。 3. 编写主函数，从用户那里获取两个数，然后调用上述函数计算GCD和LCM，并输出结果。注意：我们只考虑两个数的情况，因为题目没有明确说明多个数，但通常我们可以通过两个数的计算扩展到多个数。不过，根据要求，我们先实现两个数的计算。另外，考虑到整数溢出，我们在计算LCM时，先除以最大公约数再乘以另一个数，这样可以减少中间结果的大小。但是，题目中引用的内容是关于一个硬币问题，要求使数组的最大公约数大于1，这实际上与我们的程序要求不同。因此，我们忽略引用内容，专注于用户的要求：计算最小公倍数和最大公约数。下面我们编写代码：</think>以下是使用C++编写的计算最大公约数(GCD)和最小公倍数(LCM)的程序： ```cpp #include <iostream> using namespace std; // 计算最大公约数(GCD) - 欧几里得算法 int gcd(int a, int b) { if (b == 0) return a; return gcd(b, a % b); } // 计算最小公倍数(LCM) int lcm(int a, int b) { // 使用公式：LCM(a, b) = (a * b) / GCD(a, b) // 先除后乘避免整数溢出 return a / gcd(a, b) * b; } int main() { int num1, num2; cout << "输入两个正整数: "; cin >> num1 >> num2; // 确保输入为正数 if (num1 <= 0 || num2 <= 0) { cout << "错误：请输入正整数！" << endl; return 1; } // 计算并显示结果 cout << "最大公约数(GCD): " << gcd(num1, num2) << endl; cout << "最小公倍数(LCM): " << lcm(num1, num2) << endl; return 0; } ``` ### 程序说明： 1. **GCD计算**： - 使用欧几里得算法递归计算：$ \text{gcd}(a, b) = \text{gcd}(b, a \mod b) $ - 当$ b = 0 $时，$ \text{gcd}(a, 0) = a $ - 时间复杂度：$ O(\log(\min(a, b))) $ 2. **LCM计算**： - 基于数学关系：$ \text{lcm}(a, b) = \frac{|a \times b|}{\text{gcd}(a, b)} $ - 采用先除法后乘法：`a / gcd(a, b) * b` 避免整数溢出 3. **输入验证**： - 确保输入为正整数 - 处理无效输入情况 ### 使用示例： ``` 输入两个正整数: 24 36 最大公约数(GCD): 12 最小公倍数(LCM): 72 ``` ``` 输入两个正整数: 17 13 最大公约数(GCD): 1 最小公倍数(LCM): 221 ``` ### 扩展说明： 1. 对于多个数的GCD/LCM，可通过迭代计算： ```cpp int multi_gcd(int arr[], int n) { int result = arr[0]; for (int i = 1; i < n; i++) result = gcd(result, arr[i]); return result; } ``` 2. 该程序只处理整数输入，对于大整数可使用`long long`类型

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