MATLAB最小二乘法求拟合曲线

MATLAB 提供了多种实现最小二乘法曲线拟合的方法，既可以使用内置函数简化操作，也可以手动构造矩阵进行求解。以下分别介绍这两种方式，并给出具体示例。 ### 使用 `polyfit` 函数进行多项式拟合 MATLAB 中的 `polyfit(x, y, n)` 函数可用于对数据点 `(x, y)` 进行 `n` 次多项式拟合。它返回拟合多项式的系数向量 `p`，其中 `p(1)` 为最高次项的系数，依次递减到常数项。例如，对于一次多项式（即直线拟合），可以使用如下代码： ```matlab x = 1:10; y = 2*x + 3 + randn(1, 10); % 添加噪声 p = polyfit(x, y, 1); % 一次多项式拟合 y_fit = polyval(p, x); % 计算拟合值 plot(x, y, 'bo', x, y_fit, 'r-'); xlabel('x'); ylabel('y'); title('polyfit拟合结果'); legend('原始数据', '拟合直线'); ``` 此方法适用于多项式形式的曲线拟合，如需进行非线性函数拟合，则需要采用其他方法[^2]。 ### 手动构造矩阵进行最小二乘求解 对于一般的线性最小二乘问题，可以通过构造设计矩阵 `X` 和目标向量 `y` 来求解参数 `beta`，其公式为： $$ \beta = (X^T X)^{-1} X^T y $$ 在 MATLAB 中可以使用左除运算符 `\` 来求解： ```matlab % 生成数据 x = 1:10; y = 2*x + 3 + randn(1, 10); % 构造设计矩阵 X = [ones(length(x), 1), x']; % 添加一列用于截距项 % 最小二乘求解 beta = (X' * X) \ (X' * y'); % 提取参数 beta0 = beta(1); % 截距 beta1 = beta(2); % 斜率 % 计算拟合值 y_fit = beta0 + beta1 * x; % 绘图展示结果 figure; plot(x, y, 'bo', 'DisplayName', '原始数据'); hold on; plot(x, y_fit, 'r-', 'DisplayName', '拟合直线'); xlabel('x'); ylabel('y'); title('最小二乘法拟合直线'); legend('show'); grid on; % 显示拟合结果 fprintf('拟合结果: y = %.2f + %.2f * x\n', beta0, beta1); ``` 该方法适用于线性模型的最小二乘拟合，且可扩展至多变量回归问题[^3]。 ### 非线性最小二乘拟合 对于非线性模型，如 `y = a * ln(x) + b`，MATLAB 提供了 `lsqcurvefit` 或 `nlinfit` 等函数来进行非线性最小二乘拟合。例如，使用 `lsqcurvefit` 的示例代码如下： ```matlab % 生成非线性数据 x = 1:0.1:10; y = 2*log(x) + 3 + randn(size(x)); % 添加噪声 % 定义拟合函数 fun = @(params, xdata) params(1)*log(xdata) + params(2); % 初始猜测值 initial_guess = [1, 1]; % 进行非线性拟合 params = lsqcurvefit(fun, initial_guess, x, y); % 计算拟合值 y_fit = fun(params, x); % 绘图展示结果 figure; plot(x, y, 'bo', x, y_fit, 'r-'); xlabel('x'); ylabel('y'); title('非线性最小二乘拟合'); legend('原始数据', '拟合曲线'); ``` 此方法适用于无法通过线性变换直接处理的非线性模型[^4]。