C＋＋求最大公约数和最小公倍数

### C++ 实现最大公约数和最小公倍数 以下是使用 **C++** 编写的一个完整的程序来计算两个整数的最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM），基于欧几里得算法[^1]： ```cpp #include <iostream> // 使用欧几里得算法求最大公约数 int gcd(int a, int b) { while (b != 0) { int temp = b; b = a % b; a = temp; } return a; } // 基于 GCD 计算 LCM int lcm(int a, int b) { if (a == 0 || b == 0) return 0; return (a * b) / gcd(a, b); } int main() { int num1, num2; std::cout << "输入两个整数: "; std::cin >> num1 >> num2; int greatestCommonDivisor = gcd(num1, num2); int leastCommonMultiple = lcm(num1, num2); std::cout << "最大公约数: " << greatestCommonDivisor << std::endl; std::cout << "最小公倍数: " << leastCommonMultiple << std::endl; return 0; } ``` #### 解释 - `gcd` 函数实现了经典的欧几里得算法，用于找到两个整数的最大公约数[^1]。 - `lcm` 函数通过公式 \( \text{LCM}(a, b) = \frac{|a \times b|}{\text{GCD}(a, b)} \) 来计算最小公倍数。 另一种方式可以利用 `<numeric>` 中的标准库函数 `std::gcd` 和 `std::lcm`（自 C++17 起支持）[^1]： ```cpp #include <iostream> #include <numeric> // 提供 std::gcd 和 std::lcm int main() { int num1, num2; std::cout << "输入两个整数: "; std::cin >> num1 >> num2; int greatestCommonDivisor = std::gcd(num1, num2); int leastCommonMultiple = std::lcm(num1, num2); std::cout << "最大公约数: " << greatestCommonDivisor << std::endl; std::cout << "最小公倍数: " << leastCommonMultiple << std::endl; return 0; } ``` 此方法更加简洁，适合现代 C++ 开发环境下的需求。 --- ### 另一种暴力枚举法 如果不想采用高效的欧几里得算法，则可以通过暴力枚举的方式逐一尝试可能的因数。这种方法效率较低，但在某些特定场景下仍然适用[^3]： ```cpp #include <iostream> int find_gcd_brute_force(int a, int b) { int smaller = (a < b) ? a : b; for (int i = smaller; i >= 1; --i) { if ((a % i == 0) && (b % i == 0)) return i; } return 1; // 如果无公共因子则返回 1 } int main() { int num1, num2; std::cout << "输入两个整数: "; std::cin >> num1 >> num2; int greatestCommonDivisor = find_gcd_brute_force(num1, num2); int leastCommonMultiple = (num1 * num2) / greatestCommonDivisor; std::cout << "最大公约数: " << greatestCommonDivisor << std::endl; std::cout << "最小公倍数: " << leastCommonMultiple << std::endl; return 0; } ``` 这种实现虽然直观易懂，但对于较大的数值会显得非常低效[^3]。 ---