有n匹马，驮n担货，大马驮3担，中马驮2担，两匹小马驮1担，问有大、中、小马各多少匹? 输入格式: 测试数据由多组，处理到文件尾。每组测试输入一个正整数n（8≤n≤1000）。 输出格式: 对于每组测试，逐行输出所有符合要求的大、中、小马的匹数（可为0）。要求按大马数从小到大的顺序输出，每两个数字之间留一个空格。 输入样例: 20 输出样例: 1 5 14 4 0 16（c语言）

<think>嗯，这个问题看起来是关于求解一个不定方程的所有可能整数解。题目是说，有n匹马，驮n担货。大马每匹驮3担，中马每匹驮2担，两匹小马一起驮1担，也就是每匹小马驮0.5担。现在要找出大、中、小马的数量各是多少，满足总马数是n，总货物也是n担。 首先，我需要明确变量。假设大马的数量是x，中马是y，小马是z。那么根据题意，总马数x + y + z = n，总货物是3x + 2y + 0.5z = n。不过小马的货物计算方式是两个一起驮一担，所以可能更合适的表达方式是z必须是偶数？或者题目中的描述可能意味着小马的数量必须是偶数，因为两匹小马才驮一担。所以可能需要z必须是偶数。或者题目中的z是小马的匹数，那么每两匹小马驮一担，所以总货物中的小马部分是z/2担。这时候货物总和的方程应该是3x + 2y + (z/2) = n。同时总马数x + y + z =n。所以这两个方程需要同时满足。 接下来，我需要解这两个方程。可能需要将它们联立起来。比如，将总马数的方程代入货物方程。或者用代数的方法消去变量。 首先，总马数的方程是x + y + z =n → z =n -x -y。然后把这个代入货物方程： 3x +2y + (n -x -y)/2 =n。这时候需要解这个方程。接下来，我需要把方程两边乘以2，消去分母： 2*3x +2*2y + (n -x -y) = 2n →6x +4y +n -x -y =2n →(6x -x) + (4y -y) +n =2n →5x +3y +n =2n →5x +3y =n。 所以得到：5x +3y =n。同时，z =n -x -y。此外，因为z代表小马的数量，必须是非负整数，并且根据题目的描述，小马的数量可能必须是偶数吗？或者说，z可以是任何非负整数，但货物总和中的z部分必须是整数。例如，当z是奇数时，货物中的小马部分就是z/2，可能不是整数？这时候总货物数必须是整数n，所以z必须是偶数，否则货物数会出现小数。例如，假设z是奇数，那么z/2就不是整数，那么总和3x+2y+z/2必须等于n，所以只有当z是偶数时，才能保证小马部分的总货物是整数。或者，题目中的描述是两匹小马驮一担，所以不管z是否为偶数，只要z是偶数才能正确。或者，如果z是奇数的话，那可能有一个小马无法配对，但题目可能没有这样的要求。或者可能允许z为任意非负整数，只要总和满足。这时候需要根据题目输出样例来判断。 例如，看样例输入是20，输出有1 5 14。其中小马是14，是偶数。另一个输出是4 0 16，也是偶数。这说明小马的数量必须是偶数，所以z必须是偶数。这可能是一个隐含条件。或者可能并非必须，但解的时候只有当z是偶数时才能满足总货物是整数。 回到方程，总货物数是3x +2y + (z/2) =n，而z =n -x -y。所以代入得： 3x +2y + (n -x -y)/2 =n。两边乘以2得： 6x +4y +n -x -y =2n →5x +3y =n。这方程的解需要x、y为非负整数，同时z =n -x -y也必须是非负整数，并且z必须为偶数，否则小马的总货物数会是分数，而题目中的总货物n是整数，所以必须保证z是偶数。或者可能题目允许小马的数量为奇数，但此时总货物数中会有一个0.5的担，而总货物数必须为整数，所以这不可能，因此z必须是偶数。所以需要满足z =n -x -y是偶数。也就是说，n -x -y必须是偶数。或者说，(n -x -y) mod 2 ==0。 所以，我们的条件有三个： 1. x ≥0，y≥0，z =n -x -y ≥0。 2. 5x +3y =n。 3. (n -x -y)必须是偶数。 同时，x、y、z都是非负整数。 所以，现在需要找到满足这些条件的x、y、z的组合。那么如何枚举这些可能的解？ 首先，根据方程5x +3y =n，可以解出y的可能值。例如，固定x，然后解y： y=(n -5x)/3。因为y必须是非负整数，所以n -5x必须能被3整除，且结果≥0。同时，z=n -x -y =n -x - (n-5x)/3 = (3n -3x -n +5x)/3 = (2n +2x)/3 →这必须是一个非负整数，并且还要是偶数？ 或者，先不管z是否是偶数，先解方程5x+3y =n，然后检查z是否非负，并且是否为偶数。 那么，可能的解法步骤是： 对于给定的n，遍历所有可能的x的值，使得5x ≤n，即x的最大可能值是n//5。因为x必须是非负整数，所以x的范围是0 ≤x ≤n//5。 对于每一个x，判断n-5x是否是3的倍数，如果是，则y=(n-5x)/3。然后计算z =n -x -y。此时需要检查z是否≥0，同时z是否是偶数。 如果以上条件都满足，则这个x、y、z是可行解。否则，跳过。 例如，以样例输入n=20为例： 遍历x的可能取值，x从0到4（因为5*4=20 ≤20）。 x=0： n-5x=20 →是否被3整除？20/3≈6.666，不行。所以跳过。 x=1： n-5x=15，15/3=5 →y=5。然后z=20 -1-5=14。此时检查z是否是偶数？14是偶数，满足。所以解为(1,5,14)。这是样例中的一个解。 x=2： 5x=10，n-5x=10。10/3≈3.333，非整数，所以y不存在，跳过。 x=3： 5x=15 →n-5x=5 →5/3非整数，跳过。 x=4： 5x=20 →n-5x=0 →y=0。z=20-4-0=16。检查是否是偶数？是的。所以解为(4,0,16)。这也是样例中的另一个解。 x=5的话，5x=25>20，所以x最大到4。 所以这样就能得到正确的解。 那现在，对于一般的n，我们需要遍历x的可能值，然后检查对应的y是否为整数且非负，z是否为非负且偶数。 那么，如何将这个过程转化为代码？ 在C语言中，输入多个测试用例，每个用例是n（8≤n≤1000）。输出所有符合条件的x、y、z，按x从小到大排列。 所以，步骤如下： 1. 对于每个n，遍历x从0到n//5。 2. 对于每个x，计算剩下的部分：remaining =n -5x. 3. 检查remaining是否能被3整除。如果不能，跳过。 4. 如果能被3整除，则y=remaining/3。此时y必须≥0。因为remaining =n-5x，而x最大是n//5，所以n-5x≥0 → remaining≥0。所以y=remaining/3≥0。 5. 计算z =n -x -y =n -x -(remaining/3). 这需要z≥0，并且z必须是偶数。 6. 如果以上条件都满足，则记录这个解。 将所有符合条件的解按x从小到大排列，然后输出。 现在，问题是如何确保z是偶数。因为： z =n -x -y =n -x -( (n-5x)/3 ) 代入y的值，可以得到： z =n -x - (n-5x)/3 = [3(n -x) - (n -5x)] /3 = [3n -3x -n +5x]/3 = (2n +2x)/3 所以，z= (2(n +x))/3 为了使z是整数，必须满足2(n+x)被3整除。或者说，3必须能整除2(n+x)。因为3和2互质，所以3必须整除(n +x)。即n +x ≡0 mod3。因此，只有当(n +x)是3的倍数时，z才是整数。否则，虽然y是整数，但z可能不是整数，从而不可行。 但是，之前我们已经通过方程5x+3y =n得到y是整数。而z的计算式是否必须为整数？是的，因为z= n -x -y，而n、x、y都是整数，所以z也必然是整数。所以之前的条件可能只需要满足z是偶数即可。或者，可能需要同时满足z是整数且偶数？ 例如，假设z的计算结果必须是整数，且是偶数。那么，当计算z的值时，必须是整数，并且是偶数。例如，在上述的z的表达式： z= (2(n +x))/3 所以，只有当2(n +x)能被3整除时，z才是整数。因为z必须是整数，所以必须满足这个条件。此外，z必须是偶数，即z%2 ==0。 或者，可能我刚才的推导有错误？ 让我们再仔细推导一遍。假设我们已经有x和y满足5x+3y =n，并且z =n -x -y。因为y=(n-5x)/3，所以代入z得： z =n -x - (n-5x)/3 = [3n -3x -n +5x ] /3 = (2n +2x)/3 所以z= 2(n +x)/3 所以，只有当(n +x)是3的倍数时，z才是整数。否则，即使y是整数，z可能不是整数，因此该解无效。例如，假设n=20，x=1，那么n+x=21，是3的倍数。所以z=2*21/3=14，整数。对于x=4，n=20，x=4→20+4=24，是3的倍数，所以z=2*24/3=16，整数。所以此时的条件不仅仅是5x+3y=n，还要满足n+x ≡0 mod3。因此，我们需要同时满足： 1. 5x +3y =n → y=(n-5x)/3 是整数且≥0. 2. z=2(n+x)/3 是整数且≥0，且为偶数. 或者，等价条件： 对于每个x，必须满足： a. (n -5x)能被3整除 →y是整数。 b. (n +x)能被3整除 →因为z=2(n+x)/3必须是整数，所以n +x必须能被3整除。 c. z必须≥0，并且是偶数。 或者，是否条件a和条件b是同时存在的？或者是否其中一个已经包含另一个？ 例如，假设条件a成立，即(n -5x)能被3整除。那么，是否有条件b也成立？ 可能不一定。例如，假设n=8，x=1。则n-5x=8-5=3 →能被3整除，y=1。此时，n+x=8+1=9，能被3整除。所以此时条件b也满足。那此时z=2*(8+1)/3=6 →整数，且是偶数。符合条件。 另一个例子，假设n=9，x=0。此时n-5x=9，能被3整除→y=3。此时n+x=9+0=9，能被3整除。所以条件a和b都满足。z=2*(9+0)/3=6，符合条件。 那么，假设n= 9，x=3。5x=15>9，所以不可能。另一个例子，假设n=11，x=1。5x=5，剩余n-5x=6，能被3整除→y=2。此时n+x=11+1=12，能被3整除。所以z=2*12/3=8，是偶数。所以符合条件。 那这时候，当条件a成立，那么条件b是否必然成立？ 假设(n-5x)能被3整除，那么是否存在n+x不一定被3整除的情况？ 假设n=14，x=1。n-5x=14-5=9，能被3整除→y=3。此时n+x=15，能被3整除。所以条件b成立。z=2*(15)/3=10，偶数。 另一个例子：假设n=12，x=0。则n-5x=12→能被3整除→y=4。此时n+x=12+0=12→能被3整除。所以条件b成立。 那有没有可能，当条件a成立时，条件b不成立的情况？ 假设n= 6，x=0。此时，5x=0，n-5x=6→能被3整除→y=2。此时n+x=6+0=6→6 mod3=0 →能被3整除。条件b成立。所以此时条件a和条件b同时成立。 另一个例子，假设n=5，x=1。5x=5 →n-5x=0 →能被3整除→y=0。此时n+x=5+1=6，能被3整除。条件b成立。 看来，当条件a成立时，条件b也必然成立。那么，是否存在数学上的关系？ 假设n-5x ≡0 mod3 →n ≡5x mod3 →5 mod3=2 →n ≡2x mod3. 而条件b要求n +x ≡0 mod3 →n +x ≡0 mod3 →n ≡-x mod3. 现在，当n ≡2x mod3时，根据条件a，能否推出n +x ≡0 mod3？ 代入n≡2x mod3 →n +x ≡2x +x ≡3x ≡0 mod3。是的。所以，当条件a成立时，即n≡2x mod3，那么n +x ≡0 mod3。所以条件b自动成立。所以，当条件a成立时，条件b必然成立。因此，在程序中，只要满足条件a，则条件b自动成立，所以z的值会是整数。因此，在程序中，只需要检查条件a是否成立，而不需要单独检查条件b。但还需确保z是否是偶数。 例如，z=2*(n+x)/3 →因为n+x是3的倍数，所以可以写作3k，那么z=2k。因此，z是偶数吗？是的，因为k是整数，所以2k必然是偶数。哦，对！所以在这种情况下，z必定是偶数，因为z等于2倍的k，其中k=(n+x)/3。所以当条件a成立时，z的值自动是偶数。例如： 比如，n=20，x=1 →n+x=21=3*7 →k=7 →z=2*7=14（偶数）。 n=20，x=4 →n+x=24=3*8 →k=8 →z=16（偶数）。 所以，只要条件a成立，即n-5x能被3整除，那么条件b自动成立，并且z自动是偶数。因此，在程序中，只要满足条件a，那么z必定是偶数。因此，程序中只需要检查： 1. x从0到n//5。 2. 对于每个x，检查(n-5x)是否能被3整除。 3. 如果满足，则计算y=(n-5x)/3。 4. 然后计算z =n -x -y = (2n +2x)/3 →必须≥0。 但根据前面的推导，z=2k，其中k=(n+x)/3。而由于x的取值范围是0到n//5，并且y=(n-5x)/3≥0，所以n-5x≥0 →x≤n/5 →5x≤n →那么n+x ≤n +n/5 =6n/5。但是，这可能并不直接帮助判断z是否非负。但是，因为y必须≥0，所以： y=(n-5x)/3 ≥0 →n-5x≥0 →x ≤n/5. 所以，x的取值最多为n//5，此时5x ≤n。所以，对于每个x，y≥0。 那么，z=n -x -y =n -x - (n-5x)/3 = (3n -3x -n +5x)/3 = (2n +2x)/3 →分子是2(n+x)，分母是3。因为n+x≥0，所以分子是非负的。因此，z的值也非负。因为当x≥0时，n+x≥0，所以z=2*(n+x)/3 ≥0。因此，只要条件a成立，那么z必然是非负的。因此，程序的条件只需要： 对于每个x从0到n//5： 若 (n-5x) %3 ==0 →则计算y=(n-5x)/3 →此时z自动为非负的偶数，无需额外检查。 所以，最终的可行解的条件是： x≥0，y≥0，z≥0，且满足5x+3y =n，并且z=2*(n+x)/3 →这自动满足非负和偶数。 所以，在程序中，只需要遍历x的可能值，检查(n-5x)是否能被3整除，并且y=(n-5x)/3 ≥0。此时，x和y都是非负的，而z自动为非负的偶数。 所以，代码的步骤可以简化为： 对于每个n: 遍历x从0到n//5: 如果 (n-5x)能被3整除： y = (n-5x)/3 如果y >=0: z = n -x -y 此时，z必然是非负的，且是偶数 输出x y z 但此时，可能z是否是负数？例如，假设n=8，x=1： 5x=5 →n-5x=3 →y=1 →z=8-1-1=6 →符合。 另一个例子，n=8，x=2： 5x=10>8，所以不在循环范围内。所以x的上限是n//5=1. 所以，在这种情况下，所有的x的取值都会被正确检查，因此不需要额外检查z是否非负。 所以，代码可以这样写： 对于每个n，循环x从0到n//5： if (n -5*x) %3 ==0： y = (n -5*x)/3 if y >=0： z= n -x -y 此时，z是自动计算的，并且一定非负，且是偶数。 所以，将x、y、z存入结果列表，按x升序排列。 所以，现在问题转化为如何遍历x的可能值，并找出满足条件的x、y、z。 现在，需要验证这个推导是否正确。例如，假设n=8： 可能的x的取值范围是0到1（因为1*5=5 ≤8，2*5=10>8）。 x=0： n-5x=8 →8%3=2≠0 →不满足条件。 x=1： n-5x=3 →3%3=0 →满足条件。y=1 →z=8-1-1=6 →偶数。解为1 1 6。总马数是1+1+6=8，货物是3*1 +2*1 +6/2=3+2+3=8 →正确。但根据样例输入可能没有给出这个情况？ 例如，当n=20时，输出正确，而其他情况可能正确。例如，当n=8时，该解是否存在？ 根据题目中的输出样例，可能并没有给出，但根据我们的推导，应该存在这样的解。 所以，这说明，在程序中，这样的条件是正确的。 现在，关于输出顺序，题目要求按大马数从小到大的顺序输出。所以，在遍历x的时候，从小到大遍历即可，这样得到的解自然按x升序排列。 综上，代码的大致流程是： 对于每个测试用例n： for x in 0到n//5： if (n -5x) %3 ==0： y = (n-5x)/3 if y >=0： z =n -x -y 输出x y z 因此，这个问题的解法关键在于遍历x的可能值，并利用两个方程的条件来筛选符合条件的解。 现在，将这个过程转化为C语言代码： 首先，处理多组测试数据，直到文件结尾。每组输入n。输出所有符合条件的解，每行三个数x y z，按x从小到大排列。 代码结构： #include <stdio.h> int main() { int n; while(scanf("%d", &n) != EOF) { // 处理多组输入，直到文件尾 for(int x=0; x <= n/5; x++) { // x从0到n/5的整数部分 int remaining = n -5*x; if(remaining %3 ==0) { int y = remaining /3; if(y >=0) { // 因为x最大为n/5，所以remaining >=0，所以y >=0 int z =n -x -y; // 检查z是否是偶数？根据之前的分析，这里z自动是偶数，所以不需要检查？ // 根据推导，z=2*(n+x)/3 →当remaining能被3整除时，z必定是偶数且整数。 // 因此，直接输出即可。 // 但为了保险起见，可以输出z是否为偶数？ // 例如，如果n+x不是3的倍数，那么z可能不是整数？ // 但根据之前的分析，当remaining能被3整除时，n +x必定是3的倍数，所以z是整数，并且是偶数。 // 因此，这里不需要额外检查。 // 所以，直接输出即可。 printf("%d %d %d\n", x, y, z); } } } } return 0; } 但是，这里是否有可能出现z为负数的情况？例如，假设当y是正数，但x很大，那么可能z=n -x -y可能为负？ 比如，假设n=8，x=1，y=1 →z=6。没问题。另一个例子，假设n=5，那么n/5=1，x=1，此时remaining=0，y=0，z=5-1-0=4，是偶数。正确。 所以，在循环中的x的取值是x从0到n//5。例如，当n=5时，n//5=1。x=0时，remaining=5 →5%3=2 →不满足。x=1时，remaining=0 →0%3=0 →y=0。所以z=5-1-0=4。正确。 所以，该代码应该能正确处理所有情况。例如，对于输入样例20： 代码将遍历x从0到4： x=0: remaining=20 →20%3=2 →不满足。 x=1: remaining=15 →15%3=0 →y=5 →z=20-1-5=14 →正确。 x=2: remaining=10 →10%3=1 →不满足。 x=3: remaining=5 →5%3=2 →不满足. x=4: remaining=0 →0%3=0 →y=0 →z=20-4-0=16 →正确. 所以，输出结果是： 1 5 14 4 0 16 与样例输出一致。 那为什么在样例输出中的输出形式是“1 5 14”和“4 0 16”，而代码中的输出顺序是按x从小到大排列，这符合要求。 综上，该代码是正确的。</think>要解决这个问题，我们需要找到满足条件的大、中、小马的数量组合，使得总马数和总货物数均为给定的整数n。通过数学建模和约束条件分析，可以高效地遍历所有可能的解。 ### 方法思路 1. **问题建模**：设大马、中马、小马的数量分别为x、y、z。根据题意，得到两个方程： - 总马数：$$x + y + z = n$$ - 总货物数：$$3x + 2y + \frac{z}{2} = n$$ 2. **方程联立**：消去z，得到新的约束方程：$$5x + 3y = n$$，并推导出z的表达式：$$z = n - x - y$$，同时z必须为非负偶数。 3. **遍历求解**：遍历所有可能的x值（0到n//5），检查剩余货物数是否能被3整除，并计算对应的y和z，确保z为非负偶数。 ### 解决代码 ```c #include <stdio.h> int main() { int n; while (scanf("%d", &n) != EOF) { for (int x = 0; x <= n / 5; x++) { int remaining = n - 5 * x; if (remaining % 3 == 0) { int y = remaining / 3; int z = n - x - y; printf("%d %d %d\n", x, y, z); } } } return 0; } ``` ### 代码解释 1. **输入处理**：使用`scanf`循环读取输入，直到文件结束符（EOF）。 2. **遍历大马数量x**：从0到n//5遍历所有可能的大马数量。 3. **检查剩余货物数**：计算剩余货物数`remaining`，若能被3整除，则计算中马数量y。 4. **计算小马数量z**：根据总马数约束计算z，并直接输出结果，因为此时z必为非负偶数。 该方法通过数学推导和有效遍历，确保在合理时间内找到所有符合条件的解，并按大马数量从小到大输出。