mk趋势分析和mk突变检验

### Mann-Kendall 趋势分析方法 Mann-Kendall (MK) 趋势检验是一种非参数统计检验方法，广泛应用于检测时间序列数据中的单调趋势。该方法的优点在于不依赖于特定的数据分布形式，并且对异常值具有较强的鲁棒性[^3]。 #### 计算过程 1. **构建序列**：给定一组观测数据 \( X_1, X_2, \ldots, X_n \)，其中 n 是样本数量。 2. **计算S统计量**：对于每一对 i 和 j （i < j），如果 \( X_j > X_i \)，则记为 +1；反之，则记为 -1 或 0（相等情况下）。最终 S 统计量等于所有这些差值的总和。 \[ S = \sum_{k=1}^{n-1}\sum_{j=k+1}^n sgn(X_j-X_k) \] 3. **方差 Var(S)** 的计算： \[ var(s)=\frac{1}{18}[n(n-1)(2n+5)-\sum_{p=1}^q t_p(t_p-1)(2t_p+5)] \] 这里 q 表示相同数值组的数量，\( t_p \) 则表示第 p 组内重复次数。 4. **标准化 Z 值**：当 n 大于或等于 10 时，可以近似认为 MK 检验服从标准正态分布 N(0,1)。此时可利用下述公式求得 z 分数： 如果 \( S>0 \): \[ Z=\frac{S-1}{\sqrt{\text {var }(s)}} \] 否则: \[ Z=\frac{S+1}{\sqrt{\text {var }(s)}} \] 5. **显著水平判断**：通过查表获得对应置信度下的临界值来决定原假设是否成立。通常采用双侧检验方式，在 α 显著性水平上拒绝零假设意味着存在上升/下降的趋势。 ```python from pymannkendall import original_test result = original_test([your_data_here]) print(f'Tau: {result.tau}, P-value: {result.p}') ``` ### Mann-Kendall 突变检验方法 除了上述用于评估整体趋势外，还可以借助 Pettitt's test 来识别潜在的变化点位置——即所谓的“突变”。此技术同样基于秩次变换原理，旨在寻找最有可能发生结构性改变的时间节点。 具体实现如下所示： 1. 对原始序列按照升序排列并赋予相应排名； 2. 构造辅助函数 U(i), 它反映了前 i 项累积差异情况； 3. 寻找使得 |U(i)| 达到最大绝对值得那个时刻作为可能断点； 4. 结合 K-S 检验或其他手段进一步验证所得结论的有效性和可靠性。 ```python import numpy as np from scipy.stats import norm def pettit_test(x): """Pettit’s change point detection.""" n = len(x) k = range(1, n) r = stats.rankdata(x).astype(int) u = [abs(sum(r[:kk])-(kk)*(n+1)/2.) for kk in k] u_star = max(u) du = abs(np.diff(x)) w = sum(du)+((min(du))**2)/(2*sum(du)) p_value = 2*(1-norm.cdf(u_star/w*np.sqrt(2/n))) cp_loc = int(k[list(u).index(u_star)]) return {'change_point_location': cp_loc, 'u_statistic': u_star, 'w_statistic': w, 'p_value': p_value} # Example usage with synthetic data containing a known changepoint at index 50. np.random.seed(42) synthetic_series = list(np.random.normal(loc=-1., scale=.5, size=(50))) \ +list(np.random.normal(loc=1., scale=.5, size=(50))) pettit_result = pettit_test(synthetic_series) print(pettil_result) ```