双目视觉SLAM数学描述

### 双目视觉SLAM的数学原理 双目视觉SLAM利用两个摄像机之间的几何关系来估计环境中的三维结构以及自身的位姿变化。该过程主要依赖于三角测量法，即通过已知两台摄像机的位置和方向，结合同一时刻拍摄到的一组图像中相同特征点的位置差异来进行计算。 #### 1. 基础概念定义 设左、右相机坐标系分别为\(C_L\) 和 \(C_R\), 它们之间存在固定的相对位置和平移向量 \(\mathbf{t}\)，旋转矩阵为 \(\mathbf{R}\)[^1]。对于空间某一点 P，在世界坐标系下的坐标记作 \((X, Y, Z)\)，在左右像平面内的投影分别位于像素坐标 (u_l,v_l) 和 (u_r,v_r) 上，则有： \[ \begin{align*} &[\hat{x}_l,\hat{y}_l]^T=\frac{f}{Z} [X,Y]^T + [\alpha_x u_{c},\alpha_y v_c]^T \\ &[u_l ,v_l ]^T=K^{-1}[x_l,y_l,w_l]^T\\ &[u_r ,v_r ]^T=K^{-1}[x_r,y_r,w_r]^T \end{align*} \] 其中 K 表示内参矩阵；下标 c 表明主点偏移；而 f 是焦距参数。\([x_l,y_l,z_l]\) 和 \([x_r,y_r,z_r]\) 分别代表点P 在左右相机坐标系里的齐次坐标形式。 #### 2. 计算深度信息 当获取一对匹配好的同名点之后，可以基于上述公式求解出对应的空间点距离摄像头的距离 D: \[ D = B * f / d \] 这里B指的是基线长度（即两镜头中心间的物理间距），d 则是指同一个物体在同一水平线上不同视角所成影像间横向差距，也就是所谓的视差(disparity) 。因此只要知道了这两个数值就能得到目标物离我们的实际远近了[^2]。 #### 3. 运动更新与状态预测 随着时间序列推进，机器人不断移动并采集新的观测数据。此时需要考虑如何融合这些新旧信息完成姿态调整。通常采用扩展卡尔曼滤波器(EKF-SLAM) 或粒子滤波(PF-SLAM) 来处理这个问题。假设当前时刻 t 的系统状态由 n 维列向量 x_t 描述，其中包括机器人的位置 q_t 和速度 V_t ，还有 m 个路标 l_i 的位置 p_i : \[ \mathbf{x}_{k}= (\mathbf{q}_{k},\dot{\mathbf{q}}_k,...,\mathbf{l}_{i}) \] 根据运动学模型可得下一刻的状态预估值 \(\bar {\mathbf {x}} _{{k+1|k}}\) ： \[ \bar {\mathbf {x}} _{{k+1|k}}={f({\mathbf {x}} _{k},{\mathbf {u}} _{k})} \] 这里的函数 f() 就是用来描述从 k 秒到 k+1秒这段时间里由于控制输入 uk 导致的变化规律。 ```python def predict_next_state(x_k, u_k): """ Predict the next state based on current state and control input. Args: x_k : Current system state vector at time step k u_k : Control inputs applied between times steps k and k+1 Returns: The predicted state vector at time step k+1 given by applying motion model to x_k with controls u_k """ return f(x_k, u_k) ```