题目是：从键盘接收两个整数，编写程序求出这两个整数的最大公约数和最小公倍数。（提示：求最大公约数可用辗转相除法，求最小公倍数则用两数的积除以最大公约数即可。） 同时还给出了辗转相除法的具体步骤： （1）用一个整数去除另一个整数，得到它们的余数； （2）如果余数为 0，则除数就是最大公约数，结束运算； （3）如果余数不为 0，则计算除数和余数的最大公约数即可（舍去被除数）； （4）重新转向（1）。 并通过举例“设 a = 48, b = 18, a % b = 12，余数不为 0。取 a = 18, b = 12, a % b = 6，余数不为 0。取 a = 12, b = 6, a % b = 0，余数为 0。则最大公约数为 6，结束运算”对辗转相除法进行了说明。用Python

### Python 实现辗转相除法求最大公约数和最小公倍数 #### 最大公约数的实现 通过辗转相除法，可以高效地找到两个整数的最大公约数。该算法的核心思想是不断用较大的数对较小的数取模，直至余数为零，此时最后一个非零余数即为所求数字的最大公约数。 以下是基于迭代方式实现的代码： ```python def gcd_iterative(a, b): """ 使用迭代方法实现辗转相除法求最大公约数 :param a: 第一个整数 :param b: 第二个整数 :return: 两个整数的最大公约数 """ while b != 0: a, b = b, a % b return a ``` 如果希望采用递归的方式来实现同样的功能，也可以按照以下方式进行编码： ```python def gcd_recursive(a, b): """ 使用递归方法实现辗转相除法求最大公约数 :param a: 第一个整数 :param b: 第二个整数 :return: 两个整数的最大公约数 """ if b == 0: return a else: return gcd_recursive(b, a % b) ``` 无论是迭代还是递归版本，都可以得到相同的结果[^1]。 --- #### 最小公倍数的实现 一旦得到了两个整数的最大公约数 \( \text{gcd}(a, b) \)，可以通过以下公式快速计算出它们的最小公倍数： \[ \text{lcm}(a, b) = \frac{|a \times b|}{\text{gcd}(a, b)} \] 注意，在实际编程中应确保分母不为零，并且为了防止溢出，通常先进行除法运算后再做乘法操作。下面是完整的函数定义： ```python def lcm(a, b): """ 计算两个整数的最小公倍数 :param a: 第一个整数 :param b: 第二个整数 :return: 两个整数的最小公倍数 """ return abs(a * b) // gcd_iterative(a, b) ``` 这里调用了之前编写的 `gcd_iterative` 函数作为辅助工具[^2]。 --- #### 完整示例程序 下面提供了一个综合性的例子，允许用户输入任意两个正整数并返回其最大公约数与最小公倍数： ```python def main(): try: num1 = int(input("请输入第一个正整数：")) num2 = int(input("请输入第二个正整数：")) if num1 <= 0 or num2 <= 0: raise ValueError("输入必须为正整数") greatest_common_divisor = gcd_iterative(num1, num2) least_common_multiple = lcm(num1, num2) print(f"{num1} 和 {num2} 的最大公约数为：{greatest_common_divisor}") print(f"{num1} 和 {num2} 的最小公倍数为：{least_common_multiple}") except Exception as e: print(f"发生错误：{e}") if __name__ == "__main__": main() ``` 此脚本会提示用户分别键入两个数值，随后打印对应的 GCD（Greatest Common Divisor）以及 LCM（Least Common Multiple）。它还包含了基本异常处理逻辑以应对非法输入情况[^3]。 ---