#include <iostream> #include <map> #include <vector> #include <unordered_map> #define int long long using namespace std; const int mod = 1e9 + 7; signed main() { ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0);cout.tie(0); int t; cin >> t; while(t --) { int ans = 0; int n; cin >> n; if(n % 2) { int k = n; int tmp = n / 2; int cnt = 0; while(cnt < tmp) { cnt ++; ans = (ans + ((k * 1) % mod)) % mod; } } else { int k = n; int tmp = n / 2; int cnt = 0; while(cnt < tmp) { cnt ++; ans = (ans + ((k * 1) % mod)) % mod; } } cout << ans << '\n'; } }优化一下时间复杂度

<think>嗯，我现在得看看用户提供的这段C++代码，然后想办法优化它的时间复杂度。首先，我需要理解这段代码在做什么。让我仔细看一下。 代码的大致结构是，输入t个测试用例，每个用例输入一个n，然后根据n是奇数还是偶数来计算ans的值。最后输出ans。看起来无论n是奇数还是偶数，代码的结构其实差不多，都是计算n的一半的次数，然后把k（也就是n）累加到ans中，每次取模。 比如，当n是奇数的时候，n/2会得到一个整数部分，比如n=5的话，tmp就是2，循环两次，每次加上5。那结果就是5+5=10。如果是n=6，tmp是3，循环三次，每次加6，结果是18。对吧？ 但是不管n是奇数还是偶数，代码里的处理方式其实是一样的，只是tmp的值是n/2，然后循环tmp次，每次加上n。所以无论奇偶，实际上都是执行n/2次加法，每次加n。不过当n是奇数时，n/2是向下取整，所以比如n=5的话，tmp=2，循环两次，得到5*2=10。而如果是n=7，tmp=3，循环三次，得到7*3=21。哦，等一下，当n是奇数的时候，n/2其实是（n-1)/2，对吗？比如7/2=3.5，但整数除法会得到3。所以循环次数是3次。所以总的结果是n乘以（n//2），然后对mod取模。 那这样的话，这个循环其实可以简化为一个乘法，而不是循环累加。比如，ans = (n * (n//2)) % mod。这样时间复杂度就从O(n/2)降到了O(1)，因为原来的循环次数是和n成线性关系，现在只需要一步计算。 那原来的代码无论n是奇数还是偶数，都执行n//2次循环，每次加n。那么总和应该是n * (n//2)。例如，当n=6时，6//2=3，6*3=18。原来的代码确实是这样计算的。当n=5时，5//2=2，5*2=10。所以不管n的奇偶性，ans的计算结果都是n乘以(n除以2的整数部分)。 那么优化方法就是把循环替换为直接计算n*(n//2) % mod。这样时间复杂度就从O(t * n)变成O(t)，因为每个测试用例的处理时间都是常数时间，而原来的时间复杂度对于每个测试用例来说是线性的，即O(n)。当n很大时，比如1e9，原来的循环会超时，而优化后的方法不会有这个问题。 那现在需要检查原代码中的条件判断是否有必要。因为当n是奇数或偶数时，代码的处理逻辑其实是一样的，都是执行n//2次循环。所以可以去掉if-else条件判断，统一处理。例如，不管n是奇数还是偶数，tmp = n//2，然后ans = (n * tmp) % mod。这样就可以简化代码，同时减少条件判断的开销。 那么原来的代码中的if-else分支实际上可以合并，因为它们执行相同的操作。所以可以删掉条件判断，直接计算tmp = n / 2（注意这里的除法是整数除法），然后ans = (n * tmp) % mod。 那修改后的代码应该更高效，时间复杂度降到了O(1)每个测试用例。原来的代码在t很大的情况下，比如t=1e5，每个n=1e9，原来的循环会超时，而优化后的代码可以轻松处理。 另外，原来的代码可能还有一些可以优化的地方，比如变量k被赋值为n，但实际上k没有被改变过，所以在循环里每次都是加n。所以直接使用n即可，不需要用k。这可能只是原代码作者的冗余写法。 总结一下，优化步骤是： 1. 去除条件判断，统一处理奇偶情况。 2. 将循环累加改为直接计算乘积并取模。 这样时间复杂度从O(t * n)优化到O(t)，每个测试用例只需常数时间。</think>该代码的时间复杂度可以从$O(n)$优化到$O(1)$。以下是分步说明和优化后的代码： --- ### **原代码分析** ```cpp if(n % 2) { int k = n; int tmp = n / 2; // 例如n=5时，tmp=2 // 循环tmp次，每次加k（即n） } else { int k = n; int tmp = n / 2; // 例如n=6时，tmp=3 // 循环tmp次，每次加k（即n） } ``` 无论奇偶，实际计算的是： $$ ans = n \times \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor \mod (10^9+7) $$ --- ### **优化步骤** 1. **数学推导** 循环累加$n$共$\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor$次，等价于直接计算： $$ ans = \left( n \times \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor \right) \mod (10^9+7) $$ 将$O(n)$的循环简化为$O(1)$的乘法。 2. **移除冗余条件判断** 奇偶分支实际执行相同操作，合并代码逻辑。 --- ### **优化后代码** ```cpp #include <iostream> #define int long long using namespace std; const int mod = 1e9 + 7; signed main() { ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0); int t; cin >> t; while(t--) { int n; cin >> n; int tmp = n / 2; // 自动向下取整 int ans = (n % mod) * (tmp % mod) % mod; // 防溢出写法 cout << ans << '\n'; } } ``` --- ### **关键优化点** 1. **时间复杂度** 从$O(t \cdot n)$优化到$O(t)$，每个测试用例只需常数时间。 2. **防溢出处理** 使用`(a % mod) * (b % mod) % mod`确保乘法不溢出。 3. **代码简化** 移除冗余变量`k`和循环结构，逻辑更清晰。 --- ### **验证示例** - **输入n=5** $5/2=2$, 结果$5 \times 2 = 10 \mod (10^9+7)$ - **输入n=6** $6/2=3$, 结果$6 \times 3 = 18 \mod (10^9+7)$ 优化后代码在功能上与原代码完全一致，但效率显著提升。