7-8 一元多项式求导 分数 20 全屏浏览 切换布局 作者 DS课程组 单位 浙江大学 设计函数求一元多项式的导数。 输入格式: 以指数递降方式输入多项式非零项系数和指数（绝对值均为不超过1000的整数）。数字间以空格分隔。 注意：零多项式用 0 0 表示。 输出格式: 以与输入相同的格式输出导数多项式非零项的系数和指数。数字间以空格分隔，但结尾不能有多余空格。 输入样例: 3 4 -5 2 6 1 -2 0 输出样例: 12 3 -10 1 6 0

<think>好的，我现在需要解决用户提出的问题：如何设计一个函数来计算一元多项式的导数，输入输出格式是指数递降方式，非零项系数和指数。首先，我要理解用户的需求，然后分解步骤来解决。 首先，用户提到的输入格式是“指数递降方式输入多项式非零项系数和指数”，这意味着输入的每个项都是按照指数从高到低排列的，例如，3x^5 -2x^2 + 1这样的多项式，输入应该是3 5 -2 2 1 0。输出也需要按照同样的格式，但输出的是导数后的多项式。 接下来，根据引用[3]中的导数规律，每个项(ax^b)的导数是abx^{b-1}。因此，我需要处理每个输入项的系数和指数，应用这个规律，然后处理结果。需要注意的是，当指数为0时，导数后的项会是0，因此需要排除这些项，否则结果中会出现零项，而题目要求输出非零项。 步骤分解： 1. 输入处理：首先，需要将输入的字符串按空格分割，得到系数和指数的配对。例如，输入字符串拆分成列表后，每两个元素为一组，第一个是系数，第二个是指数。 2. 对每个项求导：遍历这些配对，对每个项应用导数公式。例如，系数a和指数b，导数后的系数是a*b，指数是b-1。如果原指数b为0，那么导数后的项会被排除，因为系数变为0。 3. 过滤零系数项：在求导之后，可能会有系数为0的情况（比如原指数为0的项，导数为0），这些项需要被过滤掉，不包含在结果中。 4. 处理零多项式的情况：如果所有导数后的项都是零系数，那么输出应该是“0 0”。 5. 输出格式：将结果按照指数递降的顺序排列，并且每个项之间用空格分隔，末尾不能有空格。 现在需要考虑如何实现这些步骤。例如，输入处理时，如何正确分割字符串并配对系数和指数？假设输入正确，所以分割后的列表长度是偶数，每两个元素为一组。 在Python中，可以将输入的字符串分割成列表，然后按步长2遍历，取每对的系数和指数。例如： terms = list(map(int, input().split())) for i in range(0, len(terms), 2): coeff = terms[i] exp = terms[i+1] 然后，对每个项求导，得到新的系数和指数。如果exp为0，则导数的系数是0，需要跳过。否则，新的系数是coeff * exp，指数是exp - 1。 接下来，收集所有非零的导数项，并按照指数递降的顺序排序。这时候需要注意，可能需要先处理所有项，然后根据指数进行排序。或者，在输入时已经是按指数递降排列，那么求导后的结果可能需要重新排序，因为导数后的指数可能不再保持递降顺序吗？ 例如，原多项式中的项可能有不同的指数，导数后的指数可能仍然保持递降。例如原项是3x^5和-2x^2，导数后是15x^4和-4x^1，此时指数4和1是递降的。但如果原多项式中有更高指数和更低指数交替的情况，导数后的指数可能不一定有序。比如原多项式是x^3 + x^2，导数后的3x^2 +2x^1，指数是2和1，仍然有序。所以，在输入已经按指数递降的情况下，导数后的项的指数可能自然也是递降的吗？比如原多项式指数是5,3,2，导数后的指数是4,2,1，仍然是递降的。因此，可能不需要额外排序，因为导数后的指数是原指数减一，所以如果原多项式是按指数递降排列的，导数后的项的指数也会按递降排列。因此，处理后的结果可以直接按顺序输出，不需要重新排序。 但这里可能存在例外情况吗？例如，原多项式中有相邻的两个项，比如指数为3和2，导数后的指数是2和1，仍然递降。但如果原多项式中有跳跃，比如指数5、2、1，导数后的指数4、1、0，同样递降。因此，导数后的指数应该自然保持递降顺序，因此处理后的项的顺序可以直接保持原顺序，不需要重新排序。 因此，在代码中，处理后的导数项可以按照原输入的顺序处理后的结果依次加入列表，而输出时保持这个顺序，也就是指数递降的顺序。 接下来，处理每个项的导数： 导数后的结果项需要满足系数不为零。因此，在计算导数时，如果原指数为0，那么导数后的系数为0，这样的项需要被排除。例如，原项是5x^0（即常数项5），导数后是0，应该被过滤掉。 因此，在代码中，对每个项的处理是： new_coeff = coeff * exp new_exp = exp -1 如果exp >0，则生成new_coeff和new_exp，否则（exp=0）则跳过该原项。 例如，输入项的指数为0，则导数的系数是coeff*0=0，所以这样的项会被排除。 处理完所有项之后，收集所有导数后的非零项。如果没有任何非零项，那么输出0 0。否则，将这些项的系数和指数按照顺序输出，用空格分隔。 例如，假设输入是0 0，那么导数后的系数是0*0=0，指数-1，所以该项会被过滤，此时结果为空列表，因此输出0 0。 但根据引用中的例子，“零多项式”的指数和系数都是0，表示为0 0。因此，当结果为空时，应输出0 0。 现在需要考虑如何处理这种情况。例如，当原输入是一个常数项，如5 0，导数后是0，所以结果为空，输出0 0。 因此，在代码中，处理后的结果列表如果为空，则输出0 0。否则，将每个项的系数和指数按顺序拼接成字符串，用空格分隔。 现在，将这些步骤转化为代码： 1. 读取输入，分割成列表。 2. 处理每对系数和指数，计算导数项。 3. 过滤掉系数为0的项。 4. 如果结果列表为空，输出0 0。 5. 否则，将结果列表中的项按顺序输出，用空格分隔，注意末尾不能有空格。 例如，在Python中： 输入处理： terms = list(map(int, input().split())) 导数处理： derivatives = [] for i in range(0, len(terms), 2): coeff = terms[i] exp = terms[i+1] if exp == 0: # 原项的指数是0，导数是0，不加入结果 continue new_coeff = coeff * exp new_exp = exp - 1 if new_coeff != 0: # 虽然根据原项非零，但是当coeff是0的时候？ derivatives.append((new_coeff, new_exp)) # 但根据输入格式，输入的是非零项，所以原coeff非零？ # 输入的是非零项，所以原coeff不会是0，而exp >=0？ # 所以当exp >0时，new_coeff=coeff*exp，因为原coeff非零，且exp>0，所以new_coeff非零？ 这里可能存在疑问：原输入是否保证系数非零？根据用户的问题描述，“输入多项式非零项系数和指数”，因此原输入中的每个项的系数都是非零的。因此，在处理导数时，只有当exp=0的时候才会导致导数的系数为0，否则，new_coeff=coeff * exp，其中coeff≠0，exp≥1（因为当exp=0时被跳过），所以new_coeff也是非零的。因此，在处理导数后的项时，不需要检查new_coeff是否为0，因为在这种情况下，只有exp>0的情况下才会处理，此时new_coeff=coeff * exp，原coeff非零，exp≥1，所以new_coeff≠0。因此，在导数处理时，可以不需要判断new_coeff是否为0，直接添加到结果列表中。 例如，原项是系数为2，指数为3，导数后的系数是6，指数2，非零。 原项系数是-5，指数2，导数后的系数是-10，指数1，非零。 因此，在代码中，当exp>0时，导数后的系数一定非零，所以不需要检查new_coeff是否为0。因此，可以简化代码： for i in range(0, len(terms), 2): coeff = terms[i] exp = terms[i+1] if exp == 0: continue new_coeff = coeff * exp new_exp = exp - 1 derivatives.append((new_coeff, new_exp)) 这样处理即可。 现在，处理后的derivatives列表中的项都是非零的，并且按原顺序排列，即指数递降的顺序。 然后，处理结果为空的情况： if not derivatives: print("0 0") else: # 将每个项的系数和指数转换成字符串，并用空格连接 output = [] for coeff, exp in derivatives: output.append(f"{coeff} {exp}") print(' '.join(output)) 这样是否正确？ 例如，测试用例： 输入：3 5 -2 2 1 0 原多项式是3x^5 -2x^2 +1 导数后的多项式是15x^4 -4x^1 +0，但原项中的1 0会被处理时跳过，导数后的结果项是15x^4 -4x^1，所以输出应该是15 4 -4 1。 代码的处理是否正确？ 是的，对于输入中的3 5，处理为15 4；-2 2处理为-4 1；1 0被跳过。所以导数后的两个项，输出为15 4 -4 1，用空格连接，正确。 另一个测试用例，输入是5 0，这是一个常数项。导数后系数为5*0=0，所以结果为空，输出0 0。 另一个测试用例，输入是0 0。原多项式是零多项式吗？根据用户的问题中的引用，输入的是非零项，但可能输入的系数是0？例如，假设输入中有0 3这样的项，但根据问题描述中的输入格式，“输入多项式非零项系数和指数”，所以输入的每个项的系数都是非零的。所以，输入中的系数不可能为0，除了可能的零多项式的情况。例如，零多项式需要表示为0 0。例如，当输入是0 0时，那么原多项式是0x^0=0。导数后的结果是0 0？ 但根据用户提供的引用[3]中的输入格式，“以指数递降方式输入多项式非零项系数和指数”，所以输入的每个项的系数都是非零的。因此，当输入是0 0时，这属于零多项式的情况，此时输入可能仅包含0 0。例如，零多项式的正确表示应为系数和指数都为0，即输入0 0。这时候导数后的结果也是0 0。 但根据导数规则，原项的系数是0，指数是0，所以导数后的系数是0*0=0，指数是-1。这时，导数后的项的系数是0，所以会被过滤掉，导致结果为空，因此需要输出0 0？ 此时如何处理？ 例如，输入是0 0，那么处理过程中，coeff=0，exp=0。因为exp==0，所以会被跳过，导数后的项不被加入列表。此时derivatives列表为空，所以输出0 0。 这符合引用中的要求：“零多项式”的指数和系数都是0，表示为0 0。 因此，代码在这种情况下会正确输出0 0。 另一个测试用例，输入是1 1。原多项式是x，导数后是1x^0，即系数1，指数0。所以导数后的项是1 0，输出1 0。 现在，将这些测试用例带入代码，验证正确性。 综上，代码的大致步骤是正确的。现在需要将其写成Python函数。 所以，函数的代码可能如下： def derivative(): terms = list(map(int, input().split())) derivatives = [] for i in range(0, len(terms), 2): coeff = terms[i] exp = terms[i + 1] if exp == 0: continue new_coeff = coeff * exp new_exp = exp - 1 derivatives.append(f"{new_coeff} {new_exp}") if not derivatives: print("0 0") else: print(' '.join(derivatives)) 但需要考虑输入的项数是否是偶数。例如，用户输入是否有误？但根据问题描述，用户会正确输入，所以不需要处理错误情况。 这样，函数就能正确处理输入并输出导数后的多项式。 现在，检查可能的边界条件： 案例1：输入是空？根据输入格式，应该输入至少一个项，否则程序可能会报错。但根据问题描述，用户输入的格式正确，所以无需处理。 案例2：输入是0 0，输出0 0。函数正确处理。 案例3：输入是2 3 4 2（即2x^3+4x^2），导数后6x^2+8x^1，输出6 2 8 1。函数处理正确。 案例4：输入是5 1（5x），导数后是5 0，输出5 0。 案例5：输入是3 0（常数3），导数后为空，输出0 0。 综上，函数的设计是正确的。</think>要设计一个实现一元多项式求导的函数，需按照以下步骤进行： 1. **输入解析** 输入为指数递降排列的非零项系数和指数，例如 `3 5 -2 2 1 0` 对应多项式 $3x^5 -2x^2 +1$。首先将输入按空格分割为整数列表，每两项为一组（系数、指数）。 2. **逐项求导** 对每项应用导数公式 $(ax^b)' = abx^{b-1}$。若原项指数为 $0$（即常数项），则其导数为 $0$，需跳过该结果。例如，原项为 $5x^0$，导数后系数为 $5 \cdot 0 = 0$，直接忽略。 3. **过滤与格式处理** 收集所有非零导数项。若结果为空（如输入为常数项），则输出 `0 0`；否则按指数递降顺序输出各导数项的系数和指数。 **示例代码**： ```python def calculate_derivative(): terms = list(map(int, input().split())) derivatives = [] for i in range(0, len(terms), 2): coeff, exp = terms[i], terms[i + 1] if exp == 0: continue # 常数项导数为0，跳过 new_coeff = coeff * exp new_exp = exp - 1 derivatives.append(f"{new_coeff} {new_exp}") # 处理零多项式 print("0 0" if not derivatives else " ".join(derivatives)) ``` **测试案例**： - 输入 `3 5 -2 2 1 0` → 输出 `15 4 -4 1` - 输入 `5 0` → 输出 `0 0` - 输入 `2 1` → 输出 `2 0`