求 S=1!+2!+3!+....+n! 一个正整数的阶乘（factorial）是所有小于及等于该数的正整数的积。自然数 n 的阶乘写作 n!。 亦即 n!=1×2×3×...×(n-1)×n。 并规定 0!=1。

### 计算阶乘之和的实现方法 要计算 \( S = 1! + 2! + \dots + n! \)，可以通过编程来完成这一任务。以下是基于 C 语言的一种实现方式，该方法利用 `for` 循环逐步累加每个数的阶乘。 #### 实现代码 以下是一个完整的程序示例： ```c #include <stdio.h> int main() { long long sum = 0, factorial = 1; int n, i; printf("请输入n的值："); scanf("%d", &n); for (i = 1; i <= n; i++) { factorial *= i; // 计算当前数的阶乘 sum += factorial; // 将阶乘加入总和 } printf("S = %lld\n", sum); return 0; } ``` #### 解析 上述代码通过一个简单的 `for` 循环实现了阶乘之和的计算过程[^4]。具体来说： - 使用变量 `factorial` 来存储当前数的阶乘值。 - 利用公式 \( n! = n \times (n-1)! \) 减少重复计算的时间复杂度[^3]。 - 每次迭代更新 `factorial` 并将其累加至 `sum` 中。 需要注意的是，在实际应用中如果 \( n \) 的取值较大，则可能会超出标准数据类型的范围（如 `long long`），此时需考虑采用高精度算法处理大数值的情况。 #### 大数情况下的优化方案 对于较大的 \( n \) 值（例如 \( n \leq 10^6 \)），由于单个阶乘的结果会非常庞大，因此无法直接使用基本的数据类型保存结果。可以引入数组模拟多位数运算的方式解决此问题[^1]。下面给出一种可能的大数解决方案框架： ```c #include <stdio.h> #define MAX_DIGITS 100000 // 定义最大位数长度 void multiply(int res[], int size, int num) { int carry = 0; for (int i = 0; i < size || carry; ++i) { if (i >= size && !carry) break; int temp = (i < size ? res[i] : 0) * num + carry; res[i] = temp % 10; carry = temp / 10; } } void add_arrays(int res[], int fact[], int size_res, int size_fact) { int carry = 0; for (int i = 0; i < size_res || i < size_fact || carry; ++i) { int temp = (i < size_res ? res[i] : 0) + (i < size_fact ? fact[i] : 0) + carry; res[i] = temp % 10; carry = temp / 10; } } void calculate_factorial_sum(int n) { int result[MAX_DIGITS] = {0}; int current_factorial[MAX_DIGITS] = {1}; // 初始化为1! int size_result = 1, size_current = 1; for (int i = 1; i <= n; ++i) { multiply(current_factorial, size_current++, i); // 更新current_factorial为i! add_arrays(result, current_factorial, size_result, size_current); // 累加到result size_result = (size_result > size_current) ? size_result : size_current; } // 打印最终结果 for (int i = size_result - 1; i >= 0; --i) { printf("%d", result[i]); } printf("\n"); } int main() { int n; printf("请输入n的值："); scanf("%d", &n); calculate_factorial_sum(n); return 0; } ``` 这段代码能够有效应对更大的输入规模，并且支持输出任意数量级的结果。