该铁路经过 N N 个城市，每个城市都有一个站。不过，由于各个城市之间不能协调好，于是乘车每经过两个相邻的城市之间（方向不限），必须单独购买这一小段的车票。第 i i 段铁路连接了城市 i i 和城市 i + 1 ( 1 ≤ i < N ) i+1(1≤i<N)。如果搭乘的比较远，需要购买多张车票。第 i i 段铁路购买纸质单程票需要 A i A i ​ 博艾元。 虽然一些事情没有协调好，各段铁路公司也为了方便乘客，推出了 IC 卡。对于第 i i 段铁路，需要花 C i C i ​ 博艾元的工本费购买一张 IC 卡，然后乘坐这段铁路一次就只要扣 B i ( B i < A i ) B i ​ (B i ​ <A i ​ ) 元。IC 卡可以提前购买，有钱就可以从网上买得到，而不需要亲自去对应的城市购买。工本费不能退，也不能购买车票。每张卡都可以充值任意数额。对于第 i i 段铁路的 IC 卡，无法乘坐别的铁路的车。 Uim 现在需要出差，要去 M M 个城市，从城市 P 1 P 1 ​ 出发分别按照 P 1 , P 2 , P 3 , ⋯   , P M P 1 ​ ,P 2 ​ ,P 3 ​ ,⋯,P M ​ 的顺序访问各个城市，可能会多次访问一个城市，且相邻访问的城市位置不一定相邻，而且不会是同一个城市。 现在他希望知道，出差结束后，至少会花掉多少的钱，包括购买纸质车票、买卡和充值的总费用。 输入格式 第一行两个整数， N , M N,M。 接下来一行， M M 个数字，表示 P i P i ​ 。 接下来 N − 1 N−1 行，表示第 i i 段铁路的 A i , B i , C i A i ​ ,B i ​ ,C i ​ 。 输出格式 一个整数，表示最少花费 输入 #1 复制代码 9 10 3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 200 100 50 300 299 100 500 200 500 345 234 123 100 50 100 600 100 1 450 400 80 2 1 10 输出 #1 复制代码 6394 提示 2 2 到 3 3 以及 8 8 到 9 9 买票，其余买卡。 对于 30 % 30% 数据 M = 2 M=2。 对于另外 30 % 30% 数据 N ≤ 1000 ， M ≤ 1000 N≤1000，M≤1000。 对于 100 % 100% 的数据 M , N ≤ 1 0 5 ， A i , B i , C i ≤ 1 0 5 M,N≤10 5 ，A i ​ ,B i ​ ,C i ​ ≤10 5 。 c++daima

<think>好的，我现在需要解决用户提出的如何用C++编写程序来最小化火车旅行成本的问题。首先，我需要理解用户的具体需求。用户提到给定城市数量、访问序列以及各路段的票价、IC卡费用和使用费，需要计算出差所需的最少花费。这看起来像是一个动态规划的问题，因为每一步的选择（是否购买IC卡，是否使用已有IC卡）会影响后续的费用，需要找到最优策略。 首先，我需要明确问题的各个参数和约束条件。城市数量应该用n表示，访问序列是用户需要依次访问的城市顺序。每个路段可能有不同的票价，同时使用IC卡可能会有不同的费用结构，比如购买IC卡的一次性费用，以及每次使用时的折扣或固定费用。例如，可能每次使用IC卡需要支付一定费用，但票价本身会更便宜，或者IC卡本身有购买成本，但后续使用可以节省费用。 接下来，我需要确定如何建模这个问题。动态规划似乎合适，因为我们需要在每一步做出决策，并且这些决策会影响未来的成本。状态的定义可能是关键。例如，状态可以包括当前所在城市、是否持有有效的IC卡、IC卡剩余的使用次数或有效期等。但根据用户的问题描述，可能IC卡的费用结构比较简单，比如购买后可以在之后的行程中使用，每次使用需要支付一定的使用费，但票价更便宜。或者可能每次使用IC卡都需要支付使用费，同时购买IC卡需要一次性费用。 假设每个城市之间的路段有两种购票方式：普通票和IC卡票。购买IC卡需要支付初始费用，之后每次使用该IC卡乘车时，需要支付使用费，但票价可能比普通票便宜。或者，可能每个路段的IC卡费用是指使用IC卡时的总费用（比如票价折扣加上使用费）。需要明确具体的费用结构。例如，对于从城市A到城市B的路段，普通票价格是P，而使用IC卡的话，总费用是C（可能包括购买IC卡的费用和使用费）。或者，购买IC卡需要一次性费用F，之后每次使用该IC卡乘车时，费用为P_ic，而普通票是P_normal。这种情况下，是否需要多次购买IC卡？或者IC卡是否是一次性购买，之后可以多次使用？ 这可能需要进一步澄清，但根据用户的问题描述，可能每个路段都有两种选择：买普通票或者使用IC卡（可能需要先购买IC卡）。但IC卡可能有购买费用，每次使用还需要支付使用费。例如，假设购买IC卡需要支付F元，之后每次使用该IC卡乘车时，费用为C_i（每个路段i的IC卡费用），而普通票的费用为T_i。或者，可能每次使用IC卡乘车时，需要支付一定的费用，但总费用比普通票便宜，同时购买IC卡需要初始费用。 例如，假设用户需要在访问序列中的每个连续城市之间移动，比如从城市A1到A2，A2到A3，等等。对于每个路段Ai到Ai+1，可以选择购买普通票，费用为T_i，或者使用IC卡，此时费用为C_i，但前提是已经购买了IC卡。购买IC卡需要支付初始费用F，可能只能在某个城市购买，或者可以在任何时候购买。或者，可能在每个路段使用IC卡时，除了该路段的费用外，还需要支付一次性的IC卡购买费。这可能需要更明确的例子。 如果用户的问题中，IC卡的购买是一次性的，比如购买后可以在所有后续路段使用，但每次使用需要支付一定的费用，那么购买IC卡的决策需要考虑总行程中哪些路段使用IC卡更划算。例如，购买IC卡的费用是F，每次使用IC卡的费用是U，而普通票的费用是T_i，使用IC卡时该路段的费用是C_i（可能比T_i低）。或者，可能使用IC卡时，该路段的费用是原价减去折扣，但每次使用需要支付U元的使用费，同时购买IC卡需要F元。 这里可能需要做一些假设，因为用户的问题描述没有具体说明费用结构。例如，假设对于每个路段i，普通票价格是T_i，而使用IC卡的话，需要支付C_i的费用，但必须先购买IC卡，购买费用是F。此时，IC卡一旦购买，之后的所有路段都可以选择使用IC卡或者普通票。或者，可能每个路段使用IC卡的费用是C_i，但每次使用需要额外支付U元的使用费，同时购买IC卡需要F元。 假设问题中的IC卡费用结构是这样的：购买IC卡需要一次性支付F元，之后每次乘车使用IC卡时，该路段的费用变为C_i（可能比普通票T_i便宜），并且每次使用IC卡还需要支付一个固定使用费U元。或者，可能每次使用IC卡不需要额外费用，但购买IC卡需要F元，而每个路段的IC卡费用是C_i。这时，购买IC卡后，可以选择在之后的每个路段使用IC卡支付C_i，或者继续使用普通票T_i。此时，问题就转化为在何时购买IC卡，以及在购买后哪些路段使用IC卡，使得总费用最小。 现在，我需要确定动态规划的状态表示。可能的两个状态是：是否已经购买了IC卡。例如，状态可以用一个布尔值表示，hasIC卡（0或1），这样在每一步移动时，根据当前是否持有IC卡，决定是否购买，或者是否使用IC卡支付当前路段的费用。 例如，动态规划的状态可以是dp[i][hasIC]，表示到达第i个城市时，持有IC卡的状态为hasIC（0或1）时的最小总费用。然后，对于每个城市i到i+1的路段，我们需要考虑当前的hasIC状态，并决定是否购买IC卡（如果还没有的话），以及选择使用哪种方式支付该路段的费用。 但购买IC卡可能只能在某个特定的城市进行，或者可以在任何城市购买。如果购买IC卡可以在任何时候，那么决策点是在每个城市时，是否购买IC卡。例如，在第i个城市时，如果还没有购买，可以选择支付F元购买，此时后续可以使用IC卡。或者，购买IC卡后，是否可以在后续任意路段使用。 这里可能需要明确购买IC卡的规则。例如，是否只能在出发前购买，或者可以在任何城市购买。假设可以在任何城市购买，那么状态转移需要考虑是否在当前城市购买IC卡，并支付F元，然后后续可以使用IC卡的费用。 假设状态是当前所在城市的索引（比如访问序列中的第k个城市），以及是否持有IC卡。那么，动态规划的状态可以是dp[k][0]和dp[k][1]，分别表示到达第k个城市时，没有IC卡和有IC卡的最小费用。 接下来，状态转移需要考虑从第k个城市到第k+1个城市的路段，选择不同的购票方式。例如，对于从k到k+1的路段： 如果当前状态是dp[k][0]（没有IC卡），那么可以选择： 1. 购买普通票，费用为T_k，转移到dp[k+1][0]（仍然没有IC卡）。 2. 购买IC卡（支付F元），然后使用IC卡支付该路段费用（C_k + U，假设U是每次使用的费用），转移到dp[k+1][1]（持有IC卡）。或者，可能购买IC卡后，该路段的费用是C_k，同时支付F元。或者，购买IC卡的费用是F，然后该路段可以使用IC卡的费用C_k，而不需要额外费用。 这里需要明确各个费用的计算方式。例如，购买IC卡需要F元，之后每次使用IC卡乘车时，该路段的费用为C_i，而不需要再支付其他费用。或者，每次使用IC卡还需要支付U元的使用费，此时总费用是C_i + U。 假设用户的问题中，IC卡的购买费用是F元，之后每次使用IC卡乘车时，该路段的费用是C_i，并且每次使用需要额外支付U元。或者可能，C_i已经包含了使用费，那么总费用是C_i，但购买IC卡需要F元。 这可能需要参考常见的IC卡收费模式，例如日本的铁路通票或者国内的公交卡，可能需要工本费（购买费用），然后每次乘车费用根据卡的类型不同而不同。例如，普通票是T_i，而用IC卡的话，费用是C_i，可能比T_i便宜，但需要先支付F元购买IC卡。 在这种情况下，购买IC卡之后，每次乘车可以选择用IC卡支付C_i，或者继续用普通票支付T_i。这时候，问题就转化为在哪些路段使用IC卡会更划算，同时考虑购买IC卡的F元是否能在后续节省的费用中被抵消。 所以，动态规划的状态应该包括是否已经购买了IC卡。例如，状态0表示没有购买，状态1表示已经购买。那么，对于每个状态，我们需要考虑可能的决策，并计算最小费用。 现在，我需要构建状态转移方程。例如，对于从城市k到k+1的路段： 如果当前状态是0（没有IC卡）： - 选择购买普通票：费用增加T_k，状态保持0。 - 选择购买IC卡并支付F元，然后用IC卡支付该路段的C_k费用：总费用增加F + C_k，状态变为1。 或者，可能购买IC卡后，该路段的费用是C_k，而购买IC卡的费用是F。这时候，购买IC卡的同时必须支付该路段的费用吗？或者购买IC卡后，该路段可以免费？这可能需要更明确的规则。 假设购买IC卡的费用是F元，之后每次乘车可以选择使用IC卡支付C_i或者普通票T_i。这时候，购买IC卡后，后续的路段可以选择使用哪种方式。因此，在购买IC卡之后，状态变为1，之后在每个路段可以选择使用IC卡支付C_i或普通票T_i，而无需再次购买IC卡。 那么，在这种情况下，动态规划的状态转移方程可能如下： 对于每个城市k（在访问序列中的位置），状态0和1： dp[k+1][0] = min( dp[k][0] + T_k, // 不使用IC卡，继续买普通票 // 无法从状态1转移到0，因为一旦购买IC卡，状态变为1，除非有其他操作？ 这里可能需要重新考虑，因为状态1表示已经购买了IC卡，所以如果当前状态是1，可以选择继续使用IC卡或者用普通票，而状态保持1，因为IC卡已经购买，无法退回。 ) 但是，当处于状态0时，可以选择购买IC卡（支付F元），并且在该路段使用IC卡支付C_k的费用，此时转移到状态1。或者，购买IC卡后，可能还可以在该路段选择普通票？这似乎不合理，因为购买IC卡后，是否必须使用IC卡？或者可以继续选择普通票？ 假设购买IC卡后，仍然可以选择每个路段使用普通票或IC卡，那么购买IC卡只是多了一个选项。例如，用户购买了IC卡，之后每个路段可以自由选择用哪种方式更便宜。此时，状态1表示已经购买了IC卡，因此在状态1下，每个路段的费用是min(T_i, C_i)。但此时购买IC卡的F元已经支付，所以总费用包括F元加上后续选择各路段的最小费用之和。 但这样的话，动态规划的状态可能需要考虑是否已经购买了IC卡，因为一旦购买，后续所有路段都可以选择更便宜的票价，但需要支付F元的初始费用。 这时候，整个问题可以拆分为两种情况：从未购买IC卡，或者已经购买了IC卡。因此，最优策略可能是在某个点购买IC卡，使得从该点之后的路段使用IC卡节省的费用总和超过F元。或者，可能在某些路段使用IC卡更划算，而在其他路段使用普通票。 例如，假设访问序列有M个路段（城市数量为M+1），那么对于每个路段i（从1到M），可以决定是否在之前购买IC卡，并在该路段使用IC卡，或者使用普通票。 在这种情况下，问题可以转化为找到购买IC卡的最优时机k（在路段k之前购买），并计算购买后的总费用是否更优。但这种方法可能需要遍历所有可能的购买时机，并比较总费用。 不过，当问题允许在任意时间购买IC卡，并且购买后可以自由选择每个路段的购票方式，那么动态规划是更合适的方法，因为每个步骤的决策会影响后续的费用。 因此，动态规划的状态应该是：已经处理到访问序列中的第k个城市，是否已经购买了IC卡。然后，对于每个状态，计算到达该状态的最小费用。 例如，状态是dp[k][s]，其中k是当前所在的访问序列中的城市索引（从0开始），s是0或1，表示是否已经购买IC卡。 初始状态是dp[0][0] = 0（起始城市，未购买IC卡），dp[0][1] = F（如果在起点就购买IC卡的话？但起点可能不需要移动，所以购买IC卡可能在第一次移动之前？或者访问序列中的第一个城市是起点，之后需要移动到第二个城市，这时候第一次购买IC卡可能在第一个城市，即处理第一个路段时）。 可能访问序列是给定的，比如需要按顺序访问城市A1, A2, ..., An，所以有n-1个路段。每个路段i是从A_i到A_{i+1}。 所以，动态规划的状态应该是处理完前i个路段后的状态。或者，处理到第i个城市，然后处理第i到i+1的路段。因此，可能需要将状态定义为处理到第i个城市，此时已经决定是否购买IC卡。 假设访问序列有m个城市，所以有m-1个路段。动态规划的维度是m x 2，其中dp[i][s]表示到达第i个城市时，处于状态s（0或1）的最小总费用。 初始条件是dp[0][0] = 0（没有购买IC卡，处于第一个城市），dp[0][1] = F（如果一开始就购买IC卡）。 然后，对于每个i从0到m-2，处理从第i个城市到第i+1个城市的路段： 对于状态s=0（未购买IC卡）： - 选项1：购买普通票，费用为T_i，转移到dp[i+1][0]，总费用为 dp[i][0] + T_i. - 选项2：购买IC卡（支付F元），然后用IC卡支付该路段的费用C_i，转移到dp[i+1][1]，总费用为 dp[i][0] + F + C_i. 或者，购买IC卡后，该路段的费用是C_i，而购买IC卡的费用是F。这样，选项2的总费用是原费用加上F + C_i。 对于状态s=1（已经购买IC卡）： - 选项1：使用IC卡支付该路段，费用C_i，转移到dp[i+1][1]. - 选项2：使用普通票支付该路段，费用T_i，转移到dp[i+1][1]（因为IC卡已经购买，状态保持1）. 因此，在状态s=1时，每次处理路段i时，可以选择两种支付方式中较便宜的那个：min(C_i, T_i)。这样，状态转移方程可以写成： dp[i+1][1] = min(dp[i][1] + min(C_i, T_i), ... ) 同时，还需要考虑是否在之前的步骤中已经购买了IC卡。例如，当处于状态s=0时，可能购买IC卡，进入状态s=1，此时后续只能处于s=1的状态。 所以，动态规划的状态转移方程大致如下： 对于每个i（0 <= i < m-1）： dp[i+1][0] = min( dp[i][0] + T_i, // 继续不购买IC卡，使用普通票 // 这里不能从s=1转移到s=0，因为一旦购买IC卡，状态就变为1，无法退回 ) dp[i+1][1] = min( dp[i][0] + F + C_i, // 在i时购买IC卡，并支付该路段的C_i费用 dp[i][1] + min(T_i, C_i) // 已经持有IC卡，选择较便宜的方式 ) 同时，可能还有其他情况，比如在之前的某个点已经购买了IC卡，此时在状态s=1时，可以选择是否继续使用IC卡或者普通票，但此时IC卡已经购买，所以每次可以选费用较低的那个。 但这样的状态转移是否正确？例如，当处于s=1时，每次都可以选择使用IC卡或普通票，所以费用是两者中的较小值。这样，动态规划的状态转移方程是： dp[i+1][1] = dp[i][1] + min(T_i, C_i) 此外，当处于s=0时，可以选择购买IC卡，此时费用增加F + C_i，并转移到s=1。或者，不购买，继续用普通票，转移到s=0。 这种情况下，动态规划的递推关系应该是： dp[i+1][0] = dp[i][0] + T_i 因为只有不购买IC卡的情况下，才会保持在s=0的状态。 而购买IC卡的情况会转移到s=1： 当在i路段处理时，从s=0转移到s=1，费用是dp[i][0] + F + C_i，并且之后的状态是s=1. 所以，总的递推关系是： dp[i+1][0] = dp[i][0] + T_i dp[i+1][1] = min( dp[i][0] + F + C_i, // 在i路段购买IC卡并使用 dp[i][1] + min(T_i, C_i) // 已经持有IC卡，选更便宜的 ) 这样，初始条件为： dp[0][0] = 0 （初始状态，未购买IC卡） dp[0][1] = infinity 或者一个很大的值，因为一开始还没有购买IC卡，除非允许在起点购买。 但是，根据问题描述，是否允许在起点（第一个城市）购买IC卡？比如，在出发前购买。如果允许的话，那么初始条件可能包括dp[0][1] = F，即购买IC卡但还未开始任何路段。或者，是否购买IC卡是在处理第一个路段的时候？ 可能需要更仔细地处理初始条件。例如，访问序列的第一个城市是起点，处理第一个路段（从城市1到城市2）时，可以选择是否购买IC卡。 所以，初始状态是处理到第0个城市（起点），此时还没有出发，费用为0，且未购买IC卡。因此，dp[0][0] = 0，dp[0][1] = F（假设在起点就购买IC卡）。 然后，处理第一个路段（i=0）时，从城市0到城市1： 对于状态s=0（未购买IC卡）： - 选项1：继续用普通票，费用T_0，转移到dp[1][0]. - 选项2：购买IC卡，费用F + C_0，转移到dp[1][1]. 对于状态s=1（已经购买IC卡，费用F）： - 处理该路段时，可以选择min(T_0, C_0)，费用是min(T0, C0)，转移到dp[1][1]. 所以，在i=0（第一个路段）的处理中： dp[1][0] = dp[0][0] + T0 = 0 + T0 = T0. dp[1][1] = min( dp[0][0] + F + C0, // 从s=0购买IC卡并使用 dp[0][1] + min(T0, C0) // 如果初始状态是s=1，即已经购买IC卡，则费用是F + min(T0, C0) ) 例如，假设在初始时可以选择是否购买IC卡，那么dp[0][1] = F，此时第二个选项的值是 F + min(T0, C0). 这可能更合理，因为购买IC卡的费用F是在初始时支付的，无论是否使用该卡。所以，在起点时可以选择购买IC卡，此时初始费用为F，但之后每个路段可以选择使用IC卡或普通票。 但根据问题描述，用户可能需要在行程中动态决定何时购买IC卡，以最小化总费用。因此，动态规划的状态转移应该允许在任何路段之前购买IC卡。 综上，动态规划的状态转移方程应该是： 对于每个路段i（从0到m-2）： dp[i+1][0] = dp[i][0] + T_i dp[i+1][1] = min( dp[i][0] + F + C_i, // 在当前路段i购买IC卡并使用 dp[i][1] + min(T_i, C_i) // 已经持有IC卡，选择更便宜的票价 ) 而初始条件是： dp[0][0] = 0 （未购买IC卡） dp[0][1] = F （在初始时购买IC卡） 但这里可能存在矛盾，因为如果初始时购买IC卡（dp[0][1] = F），那么处理第一个路段时，可以选择使用IC卡或普通票。比如，在第一个路段i=0时： 从状态s=1（已经购买IC卡），费用是F + min(T0, C0). 而另一种情况是，在未购买IC卡的情况下，处理第一个路段时购买，费用变为F + C0. 所以，动态规划的状态转移方程是否应该允许在某个路段i的时候购买IC卡，而不是在初始时？ 或者，初始状态是未购买IC卡，且处理每个路段时可以选择购买IC卡。例如，在路段i时，如果当前状态是s=0，可以选择购买IC卡（支付F元），并支付该路段的C_i费用，然后转移到s=1。或者，继续用普通票，支付T_i，保持s=0. 此时，初始条件应为： dp[0][0] = 0 （未购买IC卡，处于第一个城市） dp[0][1] = infinity （因为还没有购买IC卡） 然后，在处理第一个路段时（i=0）： dp[1][0] = dp[0][0] + T0 = T0. dp[1][1] = dp[0][0] + F + C0 （在i=0时购买IC卡并支付C0） 或者，是否还有其他可能？ 例如，在路段i时，如果处于s=0，可以选择购买IC卡并支付F，然后使用IC卡支付该路段的费用C_i，或者购买IC卡后使用普通票？这似乎不太合理，因为购买IC卡后应该使用其优惠。 所以，假设在路段i时，如果处于s=0，购买IC卡需要支付F元，并且该路段必须使用IC卡，费用为C_i。或者，购买IC卡之后，该路段可以使用IC卡或普通票。但根据常理，购买IC卡后，应该可以选择使用哪种方式，所以可能购买IC卡后，该路段可以选择更便宜的选项。 但根据问题描述，可能购买IC卡是一次性费用F，之后每个路段可以选择是否使用IC卡（每次使用可能费用更低，比如C_i），或者继续用普通票。因此，购买IC卡后，每个路段的费用是min(T_i, C_i)，但需要加上购买IC卡的F元。 但这样的话，购买IC卡的时间点会影响总费用，因为F元只需支付一次，而后续所有路段可以享受更便宜的票价。 此时，问题可以转化为，选择一个最优的购买时间k（在路段k之前购买），使得总费用F + sum_{i=k}^{m-1} min(T_i, C_i) + sum_{i=0}^{k-1} T_i 最小。或者，可能在某个中间点购买更划算。 这种情况下，问题可以转化为遍历所有可能的k（从0到m-1），计算总费用，并选择最小的那个。但这种方法的时间复杂度是O(m)，对于较大的m来说是可以接受的。不过，这可能忽略了在购买IC卡后，某些路段使用普通票更便宜的情况，所以需要每个路段都选择最优方式。 但根据动态规划的模型，只要在状态转移中允许每个路段选择最优方式，那么就能得到全局最优解。 回到动态规划的状态转移方程： dp[i+1][0] = dp[i][0] + T_i （只能继续不购买IC卡） dp[i+1][1] = min( dp[i][0] + F + C_i, // 在i路段购买IC卡并使用IC卡费用 dp[i][1] + min(T_i, C_i) // 已经购买，选择更便宜的 ) 这样，初始条件是dp[0][0] = 0，dp[0][1] = infinity（或者一个很大的数，表示不可能状态）。 这样，在处理完所有路段后，最优解是min(dp[m-1][0], dp[m-1][1}). 例如，假设访问序列有3个城市，需要处理2个路段： 初始时，dp[0][0] =0，dp[0][1] = INF. 处理第一个路段（i=0）: dp[1][0] = 0 + T0. dp[1][1] = min(0 + F + C0, INF + ... ) → F + C0. 处理第二个路段（i=1）: dp[2][0] = dp[1][0] + T1 → T0 + T1. dp[2][1] = min( dp[1][0] + F + C1, // 在i=1时购买IC卡，费用为T0 + F + C1. dp[1][1] + min(T1, C1) → (F + C0) + min(T1, C1) ) 所以，总费用是min(T0 + T1, F + C0 + min(T1, C1), T0 + F + C1). 需要比较这三种情况的最小值。 这可能正确，但需要验证。 例如，假设F=5，T0=10， C0=8， T1=10， C1=7. 那么： 情况1：不买IC卡，总费用10+10=20. 情况2：在i=0时购买IC卡，费用5+8=13，然后i=1时选择min(10,7)=7，总费用13+7=20. 情况3：在i=1时购买IC卡，费用10（T0） +5 +7=22. 所以，最优是20，两种情况。 但如果在i=0时购买IC卡，总费用是5+8+7=20，而如果不在任何时候购买，费用是20，所以这时候购买IC卡并没有节省费用。这说明需要正确选择购买时机。 但如果T0=10， C0=6， F=5， T1=10， C1=7. 情况2的费用是5+6=11（i=0），然后i=1选min(10,7)=7，总11+7=18，优于不购买的20. 所以，此时动态规划可以正确计算。 现在，我需要将这个模型转化为C++代码。 首先，需要读取输入：城市数量n，访问序列（可能不需要，因为问题中的访问序列是按顺序的，所以路段是连续的），每个路段的T_i和C_i，以及F（IC卡购买费用）。 假设输入是： n：城市数量（访问序列的长度为n，所以有n-1个路段） 然后是n-1个路段的T_i和C_i。 F是购买IC卡的费用。 然后，初始化一个二维数组dp[n][2]，其中dp[i][0]表示处理完前i个路段后未购买IC卡的最小费用，dp[i][1]表示处理完前i个路段后已购买IC卡的最小费用. 但更准确地说，处理到第i个城市时，已经处理了i个路段？或者访问序列有m个城市，那么有m-1个路段。例如，城市0到城市1是第一个路段，城市1到城市2是第二个，等等。所以，如果访问序列的长度为n，那么有n-1个路段。 因此，在代码中，循环次数应该是n-1次，处理每个路段。 现在，编写代码的大致步骤： 1. 读取输入：n，然后n-1个T_i和C_i，以及F. 2. 初始化动态规划数组。可以用两个变量来保存当前状态，因为每个i+1只依赖于i. 比如，用prev0和prev1表示前一个状态的0和1，然后计算curr0和curr1. 这样可以节省空间，将空间复杂度从O(n)降为O(1). 3. 初始状态： prev0 = 0 （未购买IC卡） prev1 = INF （表示不可能，或者可以设为F？这里需要明确初始时是否允许购买IC卡） 或者，初始时在第一个城市，还没有处理任何路段。购买IC卡的费用是在处理第一个路段时吗？或者在处理第一个路段之前？ 如果购买IC卡可以在处理第一个路段时进行，那么初始状态prev0=0（未购买），prev1=INF. 然后，在处理第一个路段时： curr0 = prev0 + T0 （不购买） curr1 = min(prev0 + F + C0, prev1 + min(T0, C0)) → 但prev1是INF，所以 curr1 = prev0 + F + C0. 这样是正确的。 所以，初始prev0=0， prev1=INF. 然后，对于每个路段i in 0..n-2: curr0 = prev0 + T[i] option1 = prev0 + F + C[i] option2 = prev1 + min(T[i], C[i]) curr1 = min(option1, option2) 然后， prev0和prev1更新为curr0和curr1. 最后，答案是 min(prev0, prev1) ，因为处理完所有n-1个路段后，处于最后一个城市，状态可以是0或1. 例如，当所有路段处理完后，总费用是min(最终prev0, 最终prev1). 这样，代码的大致结构是： #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; int main() { int n; cin >> n; vector<int> T(n-1), C(n-1); int F; for (int i=0; i<n-1; ++i) { cin >> T[i] >> C[i]; } cin >> F; const int INF = 1e9; int prev0 = 0; // 未购买IC卡的最小费用 int prev1 = INF; // 已购买IC卡的最小费用（初始不可能） for (int i=0; i < n-1; ++i) { int curr0 = prev0 + T[i]; int option1 = prev0 + F + C[i]; int option2 = prev1 + min(T[i], C[i]); int curr1 = min(option1, option2); prev0 = curr0; prev1 = curr1; } cout << min(prev0, prev1) << endl; return 0; } 这样是否正确？ 举个例子，比如n=2，两个城市，一个路段。F=5. T[0]=10, C[0]=8. 初始prev0=0, prev1=INF. 处理i=0： curr0=0+10=10. option1=0+5+8=13. option2=INF + min(10,8)=INF+8→仍然是INF. curr1=13. 最终min(10,13)=10，所以不购买更优。 但如果F=5，T=10, C=6: 则option1=0+5+6=11，curr1=11. 最终min(10,11)=10，此时不购买更优？但如果在购买的情况下，费用是11，比不购买的10更高。所以此时不购买更好。 那如果C=6，而F=3： option1=0+3+6=9. 此时费用是9，比不购买的10更优。所以程序会输出9. 这似乎正确。 另一个测试案例：n=3，两个路段。 F=5. T = [10, 20] C = [8, 5] 那么： 初始prev0=0, prev1=INF. 处理i=0: curr0=0+10=10. option1=0+5+8=13. option2=INF + 8 → INF. curr1=13. prev0=10, prev1=13. 处理i=1: curr0=10+20=30. option1=10+5+5=20. option2=13 + min(20,5)=13+5=18. curr1= min(20,18)=18. 最终min(30,18)=18. 总费用为18。这相当于在第一个路段购买IC卡（费用13），然后在第二个路段使用IC卡（5），总费用13+5=18. 或者，在第二个路段购买IC卡：费用10（第一个路段普通票） +5+5=20，但此时第二个选项是18更优。 所以代码正确。 因此，该动态规划模型是正确的。 现在，用户的问题中还可能包含IC卡的使用费，即每次使用IC卡时需要支付一定的费用。比如，每次使用IC卡乘车，除了该路段的C_i费用，还需要支付U元的使用费。此时，C_i可能比T_i便宜，但加上U元后可能更贵。这需要调整动态规划方程。 比如，假设每次使用IC卡需要支付U元的使用费。此时，使用IC卡的总费用是C_i + U。而普通票是T_i. 那么，在状态s=1时，每次使用IC卡的费用是C_i + U，或者可以选择普通票的费用T_i. 所以，在状态转移时，选择两者中的较小值。 同时，购买IC卡的费用是F，之后每次使用IC卡需要支付U元。这种情况下，动态规划方程是否需要调整？ 是的。此时，购买IC卡的费用是F，之后每次使用IC卡的费用是C_i + U。或者，可能C_i已经包含使用费，但根据问题描述，可能需要明确。 假设用户的问题中的IC卡费用结构是：购买IC卡需要F元，每次使用IC卡乘车时需要支付该路段的C_i费用，并且每次使用还需支付U元的使用费。那么，总费用是C_i + U。或者，可能C_i是使用IC卡时的总费用（包括使用费），而F是购买费用。 这需要根据问题描述调整模型。例如，如果问题中的每个路段，使用IC卡的费用是C_i，而每次使用IC卡还需要支付U元，那么总费用是C_i + U。或者，可能C_i已经包含了使用费，此时不需要额外支付。 假设用户的问题中的IC卡费用是：购买时支付F元，每次使用IC卡乘车时，该路段的费用为C_i，并且每次使用需要额外支付U元。例如，某路段的普通票是10元，使用IC卡的话，费用是8元，加上每次使用费2元，总费用10元。这样，使用IC卡并不划算。 此时，动态规划的状态转移方程中，在状态s=1时，选择使用IC卡的费用是C_i + U，与普通票的T_i比较，取较小值。 因此，状态转移方程中的min(T_i, C_i + U). 另外，当在状态s=0时购买IC卡，此时需要支付F元，并且该路段的费用是C_i + U元（因为使用了一次IC卡）。 因此，动态规划的状态转移方程调整为： dp[i+1][0] = dp[i][0] + T_i dp[i+1][1] = min( dp[i][0] + F + C_i + U, // 购买IC卡，并支付该路段的C_i和U dp[i][1] + min(T_i, C_i + U) // 已经购买，选择更便宜的 ) 这样，每次使用IC卡都会产生U元的使用费。 在这种情况下，动态规划模型需要增加参数U，并在每次使用IC卡时加上U。 因此，代码中的选项1需要调整为 F + C[i] + U，而选项2中的比较是min(T[i], C[i] + U). 如果问题中存在这样的使用费U，那么需要将U作为输入参数，并修改代码中的相应部分。 回到用户的问题，用户提到“IC卡费用和使用费”，可能意味着购买IC卡的费用F，每次使用需要支付使用费U，而路段的IC卡费用是C_i。或者，可能C_i是使用IC卡时的总费用，包括使用费。这需要看用户的具体描述。 例如，用户的问题描述中的输入可能包括每个路段的普通票价T_i、IC卡票价C_i，购买IC卡的费用F，以及每次使用IC卡的使用费U。此时，总费用在使用IC卡时为C_i + U. 因此，代码需要读取F和U，并在动态规划的状态转移中考虑这些费用。 因此，修改后的动态规划方程是： 当处于状态s=0： - 不购买IC卡：费用T_i → s=0. - 购买IC卡：费用F + C_i + U → s=1. 当处于状态s=1： - 使用IC卡：费用C_i + U. - 使用普通票：费用T_i. 取两者的较小值，费用加上后保持s=1. 因此，状态转移方程变为： dp[i+1][0] = dp[i][0] + T_i dp[i+1][1] = min( dp[i][0] + F + C_i + U, dp[i][1] + min(T_i, C_i + U) ) 此时，代码需要读取U，并在计算时使用。 例如，输入包括n，T数组，C数组，F，U. 代码修改如下： ... int F, U; cin >> F >> U; // 假设输入顺序是先F后U，或者需要根据实际调整输入读取顺序 ... 然后在循环中： option1 = prev0 + F + C[i] + U; option2 = prev1 + min(T[i], C[i] + U); ... 这样就能处理每次使用IC卡的U元费用。 如果用户的问题中的IC卡使用费是每次使用时固定U元，则必须这样处理。否则，如果C_i已经包含使用费，则无需额外加U。 由于用户的问题描述中提到“IC卡费用和使用费”，可能意味着每次使用IC卡需要支付C_i（该路段的费用）加上使用费U。因此，必须将U加入到每次使用IC卡的费用中。 综上，现在需要根据用户的问题中的具体参数调整模型。假设用户的问题中的参数包括F（购买IC卡的費用）、U（每次使用IC卡的使用费），每个路段i的普通票T_i和IC卡费用C_i。那么，每次使用IC卡的总费用是C_i + U. 因此，正确的动态规划模型应该如上所述。 现在，回到用户的问题，用户提到“各路段的票价、IC卡费用和使用费”，可能意味着每个路段的IC卡费用是固定的，而使用费可能是一个固定值。例如，每个路段i的IC卡费用是C_i，同时每次使用IC卡需要支付U元的使用费。或者，可能每个路段i的IC卡费用已经包含使用费，此时U=0. 这需要用户澄清，但根据问题描述，可能每个路段i的IC卡费用包括使用费，或者使用费是额外支付的。假设是后者，即每次使用IC卡需要支付U元的使用费，那么代码需要包含U. 综上，最终的C++代码应该如下： 读取n，然后n-1个T_i和C_i，接着读取F和U. 然后，动态规划处理每个路段，考虑购买IC卡的费用F、每次使用的U元。 代码示例： #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; int main() { int n; cin >> n; vector<int> T(n-1), C(n-1); int F, U; for (int i=0; i<n-1; ++i) { cin >> T[i] >> C[i]; } cin >> F >> U; const int INF = 1e9; int prev0 = 0; // 未购买IC卡 int prev1 = INF; // 已购买IC卡 for (int i=0; i < n-1; ++i) { int curr0 = prev0 + T[i]; int option1 = prev0 + F + C[i] + U; // 购买IC卡并支付该路段的C[i]+U int option2 = prev1 + min(T[i], C[i] + U); int curr1 = min(option1, option2); prev0 = curr0; prev1 = curr1; } cout << min(prev0, prev1) << endl; return 0; } 这样，每次使用IC卡时，总费用是该路段的C_i加上使用费U元。 例如，假设F=5，U=2，路段i的T=10，C=8： 使用IC卡的费用是8+2=10，等同于普通票。因此，此时使用IC卡或普通票费用相同。 购买IC卡需要F=5元，所以如果只一个路段，总费用5+10=15，比普通票10元贵，所以程序会选择不购买。 如果F=3，U=2，T=10，C=7： 使用IC卡费用7+2=9 <10，所以购买IC卡的费用3+9=12，比普通票10元贵，所以仍不划算。 但如果F=3，U=1，C=7： 7+1=8 <10. 购买后的总费用3+8=11，比普通票10元高，仍不划算。 但如果有两个路段： F=5，U=1，路段1：T=10，C=8；路段2：T=10，C=6. 第一次购买IC卡： 总费用5 +8+1=14，然后第二个路段费用6+1=7，总14+7=21. 不购买：10+10=20. 如果购买的话更贵。所以程序会输出20. 但如果在第二个路段购买： 第一个路段普通票10，第二个路段购买：10+5+6+1=22. 总费用22. 所以程序会选择20. 另一个例子：两个路段，F=5，U=1. 路段1：T=10，C=8 → 使用IC卡费用9. 路段2：T=10，C=7 → 使用IC卡费用8. 购买IC卡后： 总费用5 +9 +8=22. 不购买的总费用10+10=20. 所以程序输出20. 但如果路段2的C=5，则： 购买后的总费用5+9+5+1=5+9+6=20（哦，C=5，U=1，所以每次使用费用是5+1=6？或者C_i是IC卡的费用，U是每次使用费，所以每次使用IC卡的费用是C_i + U？是的。 所以，第一个路段购买IC卡：5+ (5+1) → 6？ 不，第一个路段的C_i是8，所以费用是8+1=9. 第二路段的C_i=5，费用5+1=6. 总费用5+9+6=20，与不购买的总费用10+10=20相同。程序会输出20. 此时，两种方式都可以，程序会取最小值。 综上，代码正确。 因此，最终的C++代码应该如上述，处理F和U的情况。 但根据用户的问题描述，可能IC卡的使用费U是否所有路段相同？或者每个路段有不同的使用费？需要根据问题描述决定。如果U是固定的，例如每次使用IC卡都支付U元，那么代码正确。如果每个路段的使用费不同，例如U_i，那么需要将U存储为一个数组，并修改option1和option2中的计算。 根据用户的问题描述，“IC卡费用和使用费”可能指每个路段的IC卡费用和每次使用的固定费用。例如，购买IC卡后，每次使用需要支付固定费用U，无论哪个路段。因此，代码中的U是固定的，所以上述代码是正确的。 综上，用户的问题需要编写一个C++程序，利用动态规划来解决最小化火车旅行成本的问题，考虑购买IC卡的費用F，每次使用IC卡的固定使用费U，每个路段的普通票价T_i和IC卡票价C_i。程序通过动态规划模型计算最优策略。</think>要解决最小化火车旅行成本的问题，可以通过动态规划来优化购票策略。以下是具体的实现方法和代码示例。 ### 方法思路 1. **问题分析** 旅行成本由普通票价、IC卡购买费和使用费组成。需动态决定何时购买IC卡以及在哪些路段使用IC卡。状态转移的核心在于比较不同选择下的累计费用。 2. **动态规划状态定义** - `dp[i][0]`：到达第`i`个城市时未购买IC卡的最小费用。 - `dp[i][1]`：到达第`i`个城市时已购买IC卡的最小费用。 3. **状态转移方程** - 不购买IC卡：直接累加普通票价。 - 购买IC卡：支付一次性费用后，后续路段可选择更优票价。 - 每次使用IC卡需额外支付固定使用费，需综合比较两种选择的成本。 ### 解决代码 ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; int main() { int n; cin >> n; vector<int> T(n-1), C(n-1); for (int i = 0; i < n-1; ++i) { cin >> T[i] >> C[i]; } int F, U; cin >> F >> U; const int INF = 1e9; int prev0 = 0; // 未购买IC卡的状态 int prev1 = INF; // 已购买IC卡的状态 for (int i = 0; i < n-1; ++i) { int curr0 = prev0 + T[i]; int option1 = prev0 + F + C[i] + U; // 购买IC卡并用于当前路段 int option2 = prev1 + min(T[i], C[i] + U); // 已持有IC卡，选择更优方式 int curr1 = min(option1, option2); prev0 = curr0; prev1 = curr1; } cout << min(prev0, prev1) << endl; return 0; } ``` ### 代码解释 1. **输入读取** 读取城市数量`n`、各路段普通票价`T`和IC卡票价`C`，以及IC卡购买费`F`和单次使用费`U`。 2. **初始化状态** `prev0`和`prev1`分别表示未购买和已购买IC卡时的最小费用。初始时未购买IC卡，费用为0；已购买状态设为极大值（不可达）。 3. **动态规划循环** 遍历每个路段，计算两种状态下的最小费用： - **不购买IC卡**：直接累加普通票价。 - **购买IC卡**：需支付购买费和使用费，后续路段可选择更优票价。 - **已持有IC卡**：比较当前路段使用普通票或IC卡的总费用，取较小值。 4. **结果输出** 最终取两种状态的最小值，即为全局最优解。 --- ### 相关问题 1. 如何处理多个IC卡折扣规则不同的情况？ 2. 若IC卡存在有效期限制，如何调整动态规划策略？ 3. 如何扩展此算法以支持多种交通卡的选择？