题目描述 小明不喜欢 214和77这两个数,他观察214和77,发现: 2+1+4=7 7+7=7×2 77=7×11 最终,他发现原来这一切归根到底都是因为和 7 有关,所以,他现在讨厌一切和 7 有关的数! 如果一个整数符合下面三个条件之一,那么假定这个整数和 7 有关: 1.整数中某一位是 7; 2.整数的每一位加起来的和是 7 的整数倍; 3.这个整数是 7 的整数倍; 现在,小明想知道在一定区间内(包括边界)和 7 无关的数字的平方和。 输入输出格式 输入格式 输入包含两个正整数s,e,表示给定的区间范围。 整数之间以空格间隔。 输出格式 请计算给定区间范围中和7无关的数字的平方和,并将结果对10的9次方+7(即1 000 000 007)求模后输出。 输入输出样例1 输入 1 9 输出 236 输入输出样例2 输入 10 11 输出 221
时间: 2025-06-25 22:08:04 浏览: 19
### 实现算法计算与7无关的整数平方和
为了实现一个高效的算法来解决这个问题,可以按照以下逻辑设计:
#### 问题分解
1. **判断是否与7有关**:
需要检查两个条件:
- 数字能否被7整除。
- 数字的十进制表示中是否有任何一位是7。
2. **计算平方和并对大数取模**:
对于满足条件的数字,将其平方累加到总和中,并最终对 \(10^9 + 7\) 取模以防止溢出。
3. **时间复杂度优化**:
使用简单的遍历方法即可完成此任务,因为最大输入范围为 \(n < 100\)。即使扩展到更大的范围,也可以通过提前终止循环等方式进一步优化性能。
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#### Python代码实现
以下是完整的Python代码实现:
```python
def is_related_to_7(num):
"""判断一个数是否与7相关"""
if num % 7 == 0: # 能否被7整除
return True
while num > 0:
digit = num % 10 # 提取最后一位
if digit == 7: # 是否含有数字7
return True
num //= 10 # 去掉最后一位继续检查
return False
def square_sum_modulo(n, mod=10**9 + 7):
"""计算所有小于等于n且与7无关的正整数的平方和,并对mod取模"""
total_square_sum = 0
for i in range(1, n + 1): # 遍历从1到n的所有整数
if not is_related_to_7(i): # 如果当前数不与7相关
total_square_sum += (i * i) % mod # 累加其平方并对mod取模
return total_square_sum % mod # 返回最终结果
# 测试用例
if __name__ == "__main__":
test_cases = [10, 20, 50] # 示例测试数据
results = []
for case in test_cases:
result = square_sum_modulo(case)
results.append(result)
print(results) # 打印所有测试结果
```
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#### 关键点解析
1. **`is_related_to_7` 函数的作用**:
这是一个辅助函数,用来检测给定数字是否符合题目中的“与7相关”的定义[^1]。具体来说,它会先检查数字是否能被7整除;接着逐位提取每一位数字,看是否存在数字7。
2. **平方和计算的核心逻辑**:
主函数 `square_sum_modulo` 中采用了一层简单循环,依次枚举从1到\(n\)的所有整数。对于每一个符合条件的数字(即不与7相关),将其平方加入累积变量 `total_square_sum` 并立即对其取模操作,从而避免数值过大引发效率或精度问题[^4]。
3. **取模运算的意义**:
在处理大规模数据时,为了避免超出计算机能够存储的最大整型范围以及提高运行速度,通常会对某些固定的大质数(此处为 \(10^9 + 7\))执行取余操作。这种技术广泛应用于竞赛编程和其他高性能需求场景下[^5]。
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#### 时间复杂度分析
- 外部循环次数取决于输入参数 \(n\) 的大小,在最坏情况下大约为 \(O(n)\)[^4]。
- 内部每次调用 `is_related_to_7()` 方法涉及最多两位数级别的迭代(由于 \(n<100\)),因此可视为常量级开销 \(O(1)\)。
综上所述,整体时间复杂度约为线性的 \(O(n)\),非常适合本题规模下的快速求解。
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