北东天坐标系是旋转矩阵
时间: 2025-01-23 15:38:22 浏览: 59
### 北东天坐标系与旋转矩阵的关系
在讨论北东天(NED)坐标系中的旋转矩阵时,需理解该坐标系的特点及其与其他坐标系之间的关系。NED坐标系是一种常用的地理定位系统,在此体系下:
- X轴指向当地北方,
- Y轴指向当地东方,
- Z轴垂直向下指向地面。
对于两个不同坐标系间的转换,通常通过一系列旋转变换来实现。这些变换可以表示为旋转矩阵的形式。具体到从机体坐标系(Body Frame)转至NED坐标系的过程,涉及到三个角度的变化:滚转角(roll),俯仰角(pitch),以及航向角(yaw)[^2]。
#### 坐标系间的基本转换原理
当考虑由一个已知的姿态(即给定的roll, pitch 和 yaw值),将某一点的位置矢量从机体坐标系映射到NED坐标系中时,可以通过构建相应的方向余弦矩阵(Direction Cosine Matrix, DCM)来完成这一过程。DCM本质上是一个正交矩阵,它描述了一个刚体相对于另一个固定参照框架的方向变化情况。
针对上述提到的角度参数,对应的旋转操作可分别用如下形式表达:
- 绕X轴(North)逆时针旋转φ (pitch angle):
```python
Rx = [[1, 0, 0],
[0, cos(phi), -sin(phi)],
[0, sin(phi), cos(phi)]]
```
- 绕Y轴(East)逆时针旋转θ (roll angle):
```python
Ry = [[cos(theta), 0, sin(theta)],
[ 0, 1, 0 ],
[-sin(theta),0, cos(theta)]]
```
- 绕Z轴(Down)顺时针旋转ψ (yaw angle):
```python
Rz = [[cos(psi), -sin(psi), 0],
[sin(psi), cos(psi), 0],
[ 0, 0, 1]]
```
为了得到完整的姿态转换矩阵Cnb,需要按照特定顺序组合这三个基本旋转矩阵。一般情况下,会先绕Z轴执行航向角调整,接着沿新形成的横侧轴(Y')做俯仰运动,最后围绕更新后的纵轴(X'')实施滚动动作。因此有:
\[ C_{nb} = R_z(\psi) \cdot R_y(\theta) \cdot R_x(\phi)\]
这里\(C_{nb}\)代表的是从b(body frame) 到 n(navigation frame=NED) 的转换矩阵[^1]。
这种基于欧拉角的方法能够有效地建立起两套直角坐标系之间联系,并允许计算任意位置点在这两者下的对应坐标值。
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