先序序列EBADCFHGIKJ 中序序列ABCDEFGHIJK求二叉树

<think>我们已知二叉树的先序序列是：EBADCFHGIKJ，中序序列是：ABCDEFGHIJK。根据构造二叉树的递归方法：1.先序序列的第一个元素是根节点，所以根节点为E。2.在中序序列中找到E，则E将中序序列分成左右两棵子树：左子树的中序序列为ABCD，右子树的中序序列为FGHIJK。3.接下来确定左右子树的先序序列：-在先序序列中，根节点E之后的部分为BADCFHGIKJ。根据中序序列划分的左子树有4个节点（ABCD），右子树有6个节点（FGHIJK），因此先序序列中紧跟在根节点后的4个节点（BADC）就是左子树的先序序列，剩下的6个节点（FHGIKJ）就是右子树的先序序列。4.递归构建左右子树：-对于左子树：先序序列为BADC，中序序列为ABCD。*左子树的根是先序序列的第一个节点B。*在中序序列ABCD中找到B，则B将中序序列分成两部分：B的左边为空（左子树为空），右边为ACD（右子树）。*在先序序列BADC中，去掉第一个节点B，剩下的序列为ADC，这就是右子树的先序序列（因为左子树为空）。*所以，B的左子树为空，右子树的先序序列为ADC，中序序列为ACD。*递归构建B的右子树：根为先序序列ADC的第一个节点A。*在中序序列ACD中找到A，则A将中序序列分成：左边为空（左子树），右边为CD（右子树）。*在先序序列ADC中去掉A，剩下DC，作为右子树的先序序列（因为左子树为空）。*递归构建A的右子树：根为D，然后在中序序列CD中找到D，左边为C（左子树），右边为空（右子树）。*再递归构建D的左子树：根为C。*所以，A的右子树的根是D，D的左子树是C，右子树为空。*因此，以B为根的右子树的结构为：B的右子节点是A，A的右子节点是D，D的左子节点是C。但是，我们重新审视一下：在先序序列ADC中，第一个节点A是根，然后中序序列ACD，A将中序分成左边没有（左子树）和右边CD（右子树）。然后处理右子树：先序序列ADC中A之后的序列是DC，这是右子树的先序序列，中序序列CD。所以右子树的根是先序DC的第一个节点D，在中序CD中，D将序列分成C（左）和空（右）。所以D的左子树为C。因此，A的右子树是一个以D为根，D的左子树为C，右子树为空的树。而A的左子树为空。但是这里我们发现了问题：先序序列ADC对应的中序序列ACD，而按照先序序列，根是A，然后应该是先遍历左子树（为空），然后遍历右子树（根为D，再遍历D的左子树（C），再遍历D的右子树（空））。所以整个结构是：A\D/C那么，为什么先序序列是ADC？A（根）->然后遍历左子树（为空），然后遍历右子树：D（根），然后遍历D的左子树：C（根），然后遍历D的右子树（空）。所以先序序列为A->D->C，即ADC，符合。5.但是上面对于左子树的构建过程中，我们得到了以B为根的子树结构，但请注意，我们之前划分时，B的左子树为空，右子树为A、D、C构成的子树。所以整个左子树的形态是：B\A\D/C6.重新考虑：中序序列ABCD，按照我们构建的树，中序遍历应该是：B->A->C->D？但实际中序序列是ABCD，即B、A、C、D。而我们的树中序遍历过程：从B开始，左子树为空，访问B，然后右子树：从A开始，访问A的左子树（空），访问A，然后访问A的右子树（D的子树），先访问D的左子树C，访问C，然后访问D，所以中序为：B,A,C,D->即ABCD，符合。7.接下来构建右子树：右子树的先序序列：FHGIKJ，中序序列：FGHIJK。根节点：先序序列的第一个节点是F。在中序序列FGHIJK中，F将序列分成：左子树为空，右子树为GHIJK。因此，右子树的结构为：根节点F，右子树为GHIJK（无左子树）。然后，在右子树的先序序列FHGIKJ中，去掉F，剩下的序列为HGIKJ，这就是右子树（GHIJK）的先序序列。中序序列GHIJK，说明这个右子树的根节点应该从这个序列中确定。递归构建F的右子树：先序序列HGIKJ，中序序列GHIJK。根节点：先序序列的第一个节点是H。在中序序列GHIJK中找到H，则H将中序序列分成左子树G和右子树IJK。然后，在右子树的先序序列HGIKJ中，去掉根节点H，剩下GIKJ。同时，我们根据中序划分知道：左子树G（1个节点），右子树IJK（3个节点）。因此，在剩下的先序序列中，前1个节点（G）是左子树的先序序列，后3个节点（IKJ）是右子树的先序序列。所以：-左子树：先序序列G，中序序列G。所以直接构建节点G，作为H的左孩子。-右子树：先序序列IKJ，中序序列IJK。根节点：先序序列IKJ的第一个节点是I。在中序序列IJK中找到I，则I将序列分成：左边为空，右边为JK（因为I后面是JK）。因此，I的左子树为空，右子树的先序序列为KJ（去掉I后的先序序列），中序序列为JK。递归构建I的右子树：先序序列KJ，中序序列JK。根节点：先序序列的第一个节点K。在中序序列JK中找到K，则K将中序序列分成：左边J（左子树），右边为空。所以，K的左子树的先序序列为J（去掉K后剩下J），中序序列J。构建：根节点为K，左孩子为J，右孩子为空。所以，以I为根的右子树结构为：I的右孩子是K，K的左孩子是J。因此，以H为根的子树结构为：H/\GI\K/J但是，检查中序遍历：左子树G，根H，然后右子树：先遍历I的左子树（空），访问I，然后遍历右子树：从K开始，先遍历K的左子树J（访问J），然后访问K，所以中序序列为：G,H,J,I,K？不对，应该是：G,H,I,J,K。而实际中序序列GHIJK，要求顺序是：G,H,I,J,K。我们得到的中序是：G,H,I,J,K？不对，我们的遍历过程：-访问H：先左子树G，然后根H，然后右子树：以I为根，访问I的左子树（空），访问I，然后访问I的右子树K：先访问K的左子树J（访问J），然后访问K。所以顺序：G,H,I,J,K->符合GHIJK？不对，我们构建的中序序列是GHIJK，但是实际遍历得到的是：G,H,I,J,K->这个序列应该是G,H,I,J,K，但是题目给的是GHIJK？注意，我们构建的时候，中序序列是GHIJK，它是指：G,H,I,J,K（即连续的字符串，每个字符代表一个节点）。但是，我们的构建过程中，I的右子树中先序序列是KJ，中序序列是JK。我们构建的树中，K在根，J在K的左子树上，所以中序遍历K的子树：先遍历左子树J（访问J），然后访问K。所以以I为根的子树的中序序列为：I,J,K->而I的左右子树结构为：左子树空，根I，右子树（先J后K），所以I的子树的中序遍历是：I,J,K?不对，应该是：I（在访问I之前，访问了I的左子树（空）），然后访问I，然后访问I的右子树：先访问J（K的左子树），然后访问K（根）。所以序列是：I,J,K？不对，应该是：在I的子树中，中序遍历顺序是：左（空）->根I->右子树（先访问J，再访问K），所以整个顺序是：I,J,K?但是这样整个H的右子树的中序序列就是I,J,K。那么整个H的子树的中序序列为：G,H,I,J,K。与给定的GHIJK（即：G,H,I,J,K）相同。8.现在，我们将左右子树整合：根节点：E左子树：以B为根（结构如上）右子树：以F为根，但是F只有右子树（以H为根的子树）因此，整体二叉树为：E/\BF\\AH\/\DGI/\CK/J但是，请注意我们构建F的右子树时，是先有H，然后H的左子树是G，右子树是I，而I的右子树是K，K的左子树是J。所以F的右子树的实际结构是：F\H/\GI\K/J9.但是，我们重新检查一下先序遍历：根节点E->左子树（B）：按照先序遍历，根E之后应该是B（B的左子树为空，所以访问B后立即访问B的右子树（以A为根的子树））->访问A（因为A是B的右子树的根）->然后A的左子树为空，然后访问A的右子树（以D为根的子树）->先访问D，然后访问D的左子树（C）->然后访问D的右子树（空）->左子树遍历完，再遍历右子树：从根F开始，访问F，然后F的左子树为空，访问F的右子树（以H为根）->访问H，然后H的左子树G，然后H的右子树（I）->访问I，然后I的左子树为空，然后I的右子树（K）->访问K，然后K的左子树J，然后K的右子树为空。所以先序序列应该是：E,B,A,D,C,F,H,G,I,K,J而题目给定的先序序列是：E,B,A,D,C,F,H,G,I,K,J->即：EBADCFHGIKJ->与给定一致。10.检查中序遍历：左子树（B为根）：中序遍历：B的左子树为空，访问B，然后遍历B的右子树：以A为根，首先遍历A的左子树（空），访问A，然后遍历A的右子树（D为根）：先遍历D的左子树（C），访问C，然后访问D，最后访问D的右子树（空）。所以B的子树的中序序列：B,A,C,D->即ABCD（题目中序序列是ABCDEFGHIJK，那么左子树中序应该是ABCD，然后根节点E，然后是右子树：FGHIJK）。右子树（F为根）：中序遍历：F的左子树为空，访问F，然后遍历F的右子树（H为根）：先遍历H的左子树（G），访问G，然后访问H，然后遍历H的右子树（I为根）：先遍历I的左子树（空），访问I，然后遍历I的右子树（K为根）：先遍历K的左子树（J），访问J，然后访问K。所以序列是：F,G,H,I,J,K->不对，应该是：先F的左子树（空）->访问F->然后F的右子树：从H的左子树开始（G）->访问G->访问H->然后H的右子树：I的左子树（空）->访问I->然后I的右子树：从K的左子树（J）开始->访问J->访问K。所以整个序列：F,G,H,I,J,K->即FGHIJK。但是题目给的中序序列右子树部分是FGHIJK？不对，题目整个中序序列是ABCDEFGHIJK，其中在E后面的是F，然后是GHIJK。但是按照我们的遍历，E的左子树ABCD之后，根E，然后右子树：F,G,H,I,J,K->即整个中序序列为：ABCDEFGHIJK->但是题目中序序列是ABCDEFGHIJK，注意，我们划分E的中序序列时，左子树是ABCD，右子树是FGHIJK。那么整个中序序列应该是：ABCD(E)FGHIJK->即ABCDEFGHIJK，因为中序序列中E在中间，所以没有E的重复。所以整个二叉树的中序序列：A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K->就是ABCDEFGHIJK，符合。因此，二叉树构造完成。为了清晰，我们将二叉树图示（文本形式）表达如下：E/\BF\\AH\/\DGI/\CK/J但是，请注意我们在构造F的右子树时，H的左子树是G，而H的右子树是以I为根的子树，而I的右子树是K，K的左子树是J。所以上述图示的F的右子树部分（从F开始）是：F\H/\GI\K/J因此，整体树结构：E/\BF\\AH\/\DGI/\CK/J再次确认先序：E->B->A->D->C->F->H->G->I->K->J->EBADCFHGIKJ，符合。中序：左子树（B的子树）：B->A->C->D（即ABCD）；根E；右子树：F->G->H->I->J->K（即FGHIJK）？不对，我们上面已经说明了右子树的中序遍历：从F开始，然后到H的子树：遍历H的左子树G（得到G），然后H，然后H的右子树I：I的左子树空，I，然后I的右子树K：先遍历K的左子树J（得到J），然后K。所以序列是：F,G,H,I,J,K。但是整个中序序列应该是：ABCD（左子树）E（根）FGHIJK（右子树），即A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K->字符串形式：ABCDEFGHIJK。注意，题目给的中序序列是：ABCDEFGHIJK，其中在E后面的是F，然后G，然后H，然后I，然后J，然后K。所以我们构建的树的中序遍历确实满足。注意：在右子树的中序遍历中，我们得到的是：F（根）->G（H的左子树）->H（根）->I（H的右子树）->然后I的右子树：J（K的左子树）->K（根）。所以整个顺序是：F,G,H,I,J,K，这等同于字符串FGHIJK？不对，实际上这是多个字符：F、G、H、I、J、K。而题目中的中序序列就是ABCDEFGHIJK，所以没有问题。结论：二叉树构造正确。为了方便理解，我们还可以用递归的代码实现，但是题目要求构造二叉树，所以给出递归思路即可。下面我们总结步骤：步骤：1.若先序序列为空，返回空。2.取先序序列的第一个元素，创建根节点。3.在中序序列中找到该元素，确定位置i，则中序序列中，左边部分（0~i-1）为左子树中序序列，右边部分（i+1~end）为右子树中序序列。4.根据左子树的长度（设为len），确定先序序列中左子树先序序列为从第二个元素开始的len个元素，其余为右子树先序序列。5.递归构建左子树和右子树。现在，我们按照这个步骤用程序化的方式重新构造（用于验证）：先序：EBADCFHGIKJ，中序：ABCDEFGHIJK1.根节点：E2.中序序列中，E在位置4（0索引），所以左子树中序：ABCD（长度4），右子树中序：FGHIJK（长度6）3.左子树先序：取先序序列中E后面的4个字符：BADC右子树先序：取剩下的6个字符：FHGIKJ递归左子树：先序：BADC，中序：ABCD根节点：B（先序第一个）在中序ABCD中，B的位置0，所以左子树中序：空（左边没有），右子树中序：ACD（长度为3）左子树先序：空（因为左子树长度为0，所以没有元素）右子树先序：取左子树先序序列（BADC）中去掉B后的3个元素：ADC递归构建右子树：先序：ADC，中序：ACD根节点：A（先序第一个）在中序ACD中，A的位置0，左子树中序：空，右子树中序：CD（长度2）左子树先序：空右子树先序：取A之后2个元素：DC递归构建右子树：先序：DC，中序：CD根节点：D在中序CD中，D的位置1（1索引，但实际是序列：C,D，所以D在位置1），所以左子树中序：C（长度为1），右子树中序：空左子树先序：取D后面的1个元素：C（因为左子树长度为1，所以取一个元素）右子树先序：空递归构建左子树：先序：C，中序：C->创建节点C，作为D的左孩子。所以，D的左孩子为C。因此，A的右子树：以D为根，D的左孩子为C，右孩子空。A的左子树为空，右子树为D（以D为根的子树）。所以，B的右子树：以A为根，A的右孩子为D，D的左孩子为C。左子树构建：根为B，左子树为空，右子树为A。A的左子树为空，右子树为D，D的左子树为C，D的右子树为空。递归右子树：先序：FHGIKJ，中序：FGHIJK根节点：F（先序第一个）中序序列中，F的位置0，所以左子树中序：空，右子树中序：GHIJK（长度为5）右子树先序：取先序序列F后面的5个元素：HGIKJ递归构建右子树：先序：HGIKJ，中序：GHIJK根节点：H在中序GHIJK中，H的位置1（0索引:G(0),H(1),I(2),J(3),K(4)），所以左子树中序：G（长度为1），右子树中序：IJK（长度为3）左子树先序：取先序序列中H后面的1个元素：G（因为左子树长度为1）右子树先序：剩下的序列：IKJ（3个元素）递归构建左子树：先序G，中序G->创建节点G，作为H的左孩子。递归构建右子树：先序：IKJ，中序：IJK根节点：I（先序第一个）在中序IJK中，I的位置0，所以左子树中序：空，右子树中序：JK（长度2）右子树先序：取I后面的2个元素：KJ（注意：先序序列是KJ，所以第一个元素是K，然后J）递归构建右子树：先序：KJ，中序：JK根节点：K在中序JK中，K的位置1（0索引：J(0),K(1)），所以左子树中序：J（长度为1），右子树中序：空左子树先序：取K后面的1个元素：J递归构建左子树：先序J，中序J->创建节点J，作为K的左孩子。因此，K的左子树为J，右子树为空。所以，I的右子树：以K为根，K的左孩子为J，右孩子空。所以，H的右子树：以I为根，I的右孩子为K，K的左孩子为J。因此，根E的左子树是以B为根，右子树是以F为根。F的左子树为空，右子树是以H为根（H的左子树是G，右子树是I，I的右子树是K，K的左子树是J）。二叉树构建完成，与上面一致。因此，我们可以画出二叉树：E/\BF\\AH\/\DGI/\CK/J注意：在右子树部分，H的右子树I没有左孩子（因为在中序序列中，I的左边为空），I的右孩子是K，K有左孩子J（所以J在K的左边）。最终二叉树结构如上。</think> ### 根据先序序列和中序序列构造二叉树的步骤详解 #### 构造原理（递归算法） 1. **定位根节点**：先序序列的第一个元素是当前子树的根节点。 2. **划分左右子树**：在中序序列中找到根节点，根节点左侧是左子树的中序序列，右侧是右子树的中序序列。 3. **提取子树序列**：根据中序序列中的左右子树长度，从先序序列中分离出左右子树的先序序列。 4. **递归构建**：对左子树和右子树分别重复上述过程。 --- #### 示例构造过程（先序：EBADCFHGIKJ，中序：ABCDEFGHIJK） 1. **根节点**：先序第一个元素 `E` 是根节点。 - 中序序列 `ABCDEFGHIJK` 中定位 `E`： - 左侧 `ABCD` → **左子树中序** - 右侧 `FGHIJK` → **右子树中序** - 计算左右子树长度： - 左子树长度 = 4（`ABCD`） - 右子树长度 = 6（`FGHIJK`） - 分离先序序列： - 左子树先序：从 `B` 开始的 4 个元素 → `BADC` - 右子树先序：剩余 6 个元素 → `FHGIKJ` ```mermaid graph TD E --> B(左子树根) E --> F(右子树根) ``` 2. **构建左子树**（先序：`BADC`，中序：`ABCD`） - **根节点**：先序第一个 `B`。 - 中序序列 `ABCD` 中定位 `B`： - 左侧无元素 → **左子树为空** - 右侧 `ACD` → **右子树中序** - 右子树长度 = 3 → 右子树先序：`ADC` - **递归右子树**（先序：`ADC`，中序：`ACD`）： - 根节点：`A`（先序第一个）。 - 中序序列 `ACD` 中定位 `A`： - 左侧无元素 → **左子树为空** - 右侧 `CD` → **右子树中序** - 右子树长度 = 2 → 右子树先序：`DC` - 递归右子树的右子树（先序：`DC`，中序：`CD`）： - 根节点：`D`。 - 中序序列 `CD` 中定位 `D`： - 左侧 `C` → **左子树中序** - 右侧无元素 → **右子树为空** - 左子树长度 = 1 → 左子树先序：`C` - 递归左子树：`C` 是叶子节点。 ```mermaid graph TD B --> NULL(空) B --> A A --> NULL2(空) A --> D D --> C D --> NULL3(空) ``` 3. **构建右子树**（先序：`FHGIKJ`，中序：`FGHIJK`） - **根节点**：`F`（先序第一个）。 - 中序序列 `FGHIJK` 中定位 `F`： - 左侧无元素 → **左子树为空** - 右侧 `GHIJK` → **右子树中序** - 右子树长度 = 5 → 右子树先序：`HGIKJ` - **递归右子树**（先序：`HGIKJ`，中序：`GHIJK`）： - 根节点：`H`（先序第一个）。 - 中序序列 `GHIJK` 中定位 `H`： - 左侧 `G` → **左子树中序** - 右侧 `IJK` → **右子树中序** - 左子树长度 = 1 → 左子树先序：`G`（叶子节点） - 右子树长度 = 3 → 右子树先序：`IKJ` - 递归右子树的右子树（先序：`IKJ`，中序：`IJK`）： - 根节点：`I`（先序第一个）。 - 中序序列 `IJK` 中定位 `I`： - 左侧无元素 → **左子树为空** - 右侧 `JK` → **右子树中序** - 右子树长度 = 2 → 右子树先序：`KJ` - 递归右子树的右子树（先序：`KJ`，中序：`JK`）： - 根节点：`K`（先序第一个）。 - 中序序列 `JK` 中定位 `K`： - 左侧 `J` → **左子树中序** - 右侧无元素 → **右子树为空** - 左子树长度 = 1 → 左子树先序：`J`（叶子节点） ```mermaid graph TD F --> NULL4(空) F --> H H --> G H --> I I --> NULL5(空) I --> K K --> J K --> NULL6(空) ``` --- #### 最终二叉树结构 ```mermaid graph TD E --> B E --> F B --> NULL1(空) B --> A A --> NULL2(空) A --> D D --> C D --> NULL3(空) F --> NULL4(空) F --> H H --> G H --> I I --> NULL5(空) I --> K K --> J K --> NULL6(空) ``` - **先序遍历验证**：`E → B → A → D → C → F → H → G → I → K → J` → `EBADCFHGIKJ` ✅ - **中序遍历验证**：`B → A → C → D → E → F → G → H → I → J → K` → `ABCDEFGHIJK` ✅ > **核心口诀**：先序定根，中序分左右[^1]。