[NOIP]一元三次方程求解 c语言

### 使用C语言实现一元三次方程求解 在一元三次方程 \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \) 中，可以通过数值方法或解析方法来求解其根。以下是两种常见的实现方式： #### 方法一：基于二分法的数值求解 这种方法适用于实数范围内的一元三次方程求解。通过遍历可能的区间并利用二分查找算法逐步逼近根的位置。 ```c #include <stdio.h> #include <math.h> #define EPSILON 1e-6 // 定义精度 double func(double x, double a, double b, double c, double d) { return a * pow(x, 3) + b * pow(x, 2) + c * x + d; } void solve_cubic_equation(double a, double b, double c, double d) { int count = 0; // 记录找到的根数量 for (double i = -100; i <= 100 && count < 3; i += 1) { // 枚举[-100, 100]区间的整数点 if (func(i, a, b, c, d) * func(i + 1, a, b, c, d) <= 0) { // 判断是否存在根 double l = i, r = i + 1; while (fabs(r - l) > EPSILON) { // 二分法逼近根 double mid = (l + r) / 2; if (func(mid, a, b, c, d) * func(l, a, b, c, d) <= 0) { r = mid; } else { l = mid; } } printf("%.2f ", l); count++; } } } int main() { double a, b, c, d; printf("请输入系数a, b, c, d:\n"); scanf("%lf %lf %lf %lf", &a, &b, &c, &d); if (a == 0) { printf("这不是一个有效的三次方程。\n"); return 1; } solve_cubic_equation(a, b, c, d); return 0; } ``` 此代码实现了基于二分法的数值求解方案[^1]。它通过枚举 [-100, 100] 范围内的整数点，并检测每两个相邻点之间的函数值乘积是否小于等于零，从而定位可能存在根的区间。随后使用二分法进一步缩小范围直到达到指定精度。 --- #### 方法二：基于卡丹公式的解析求解 对于一般形式的一元三次方程，可以采用卡尔达诺公式（Cardano Formula）进行解析求解。该方法涉及复杂的数学推导和浮点运算处理虚部的情况。 ```c #include <stdio.h> #include <math.h> #include <complex.h> typedef struct { double real; double imag; } Complex; Complex cubic_formula(double a, double b, double c, double d) { double p = (3 * a * c - b * b) / (3 * a * a); double q = (2 * b * b * b - 9 * a * b * c + 27 * a * a * d) / (27 * a * a * a); double delta = pow(q, 2) / 4 + pow(p, 3) / 27; complex double u, v, root1, root2, root3; if (delta >= 0) { u = sqrt((q / 2) * (q / 2) + abs(delta)) - q / 2; v = -(u * u * u + q) / (3 * u); root1 = cbrt(u) + cbrt(v) - b / (3 * a); root2 = NAN; // 可能不存在其他实根 root3 = NAN; } else { double theta = acos(-q / 2 / sqrt(-pow(p, 3) / 27)); root1 = 2 * sqrt(-p / 3) * cos(theta / 3) - b / (3 * a); root2 = 2 * sqrt(-p / 3) * cos((theta + 2 * M_PI) / 3) - b / (3 * a); root3 = 2 * sqrt(-p / 3) * cos((theta + 4 * M_PI) / 3) - b / (3 * a); } Complex result = {creal(root1), cimag(root1)}; return result; } int main() { double a, b, c, d; printf("请输入系数a, b, c, d:\n"); scanf("%lf %lf %lf %lf", &a, &b, &c, &d); if (a == 0) { printf("这不是一个有效的三次方程。\n"); return 1; } Complex roots[3]; roots[0] = cubic_formula(a, b, c, d); printf("第一个解为：%f\n", roots[0].real); return 0; } ``` 这段代码展示了如何应用卡尔达诺公式解决一元三次方程[^3]。需要注意的是，当判别式大于零时会产生复数根；而当判别式小于零，则会出现三个不同的实数根。 --- ### 总结 以上提供了两种主要的方法用于 C 语言中的一元三次方程求解。如果仅关注实际应用场景下的近似解，推荐使用 **二分法** 实现简单高效且易于理解的过程。而对于理论研究或者需要精确表达所有情况的情形下，则应考虑引入更复杂但功能强大的 **卡尔达诺公式** 来完成任务。