分治法实现最近点对问题
时间: 2023-09-12 09:10:51 浏览: 176
最近点对问题是指在平面上给定N个点,求其中距离最近的两个点之间的距离。分治法是一种常用的解决最近点对问题的算法。
分治法的基本思想是将问题分解成多个子问题,然后递归地解决这些子问题,最后将子问题的解合并起来得到原问题的解。对于最近点对问题,我们可以采用以下的分治算法:
1. 将所有点按照横坐标从小到大排序,然后将它们划分为两部分,分别处理左右两个部分。
2. 对于左右两个部分,分别递归求解最近点对距离。
3. 将左右两个部分中距离最近的点对的距离记为d。
4. 扫描所有横坐标在中间区域内的点,按照纵坐标从小到大排序。对于每个点,只需考虑它与纵坐标差不超过d的点之间的距离,因为这些点是可能成为最近点对的候选者。
5. 对于每个点,只需要考虑它与后面7个点之间的距离即可,因为如果有距离更近的点,它们之间的距离一定小于d。
6. 扫描完中间区域内的所有点后,最近点对的距离就是左右两个部分中的最小值和中间区域内的最小值中的较小值。
下面是该算法的伪代码:
```
function closest_pair(points):
// 按照横坐标排序
sort(points, key=lambda p: p.x)
// 递归终止条件
if len(points) <= 3:
return brute_force(points)
// 求解左右两个部分的最近点对距离
mid = len(points) // 2
left_points = points[:mid]
right_points = points[mid:]
left_min_dist = closest_pair(left_points)
right_min_dist = closest_pair(right_points)
// 求解中间区域的最近点对距离
min_dist = min(left_min_dist, right_min_dist)
strip_points = [p for p in points if abs(p.x - points[mid].x) < min_dist]
strip_points.sort(key=lambda p: p.y)
for i in range(len(strip_points)):
for j in range(i+1, min(i+8, len(strip_points))):
dist = distance(strip_points[i], strip_points[j])
min_dist = min(min_dist, dist)
return min_dist
```
其中,brute_force是暴力求解最近点对距离的函数,distance是计算两个点之间距离的函数。时间复杂度约为O(N log N)。
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