编写程序，在主函数中输入两个正整数 a,b，调用两个函数 fun1() 和 fun2()，分别求 a 和 b 的最大公约数和最小公倍数，在主函数中输出结果。 输入格式： 两个正整数 输出格式： 最大公约数和最小公倍数 输入样例： 12,40[回车] 输出样例： 最大公约数：4[回车] 最小公倍数：120[回车]

<think>我们有两个任务： 1.编写函数fun1求最大公约数（GCD） 2.编写函数fun2求最小公倍数（LCM） 根据引用，有多种方法： 方法1：引用[1]和引用[3]使用类似的方法，即从1到两数中较小的数遍历，找到能同时整除两个数的最大数。 方法2：引用[4]提到欧几里得算法（辗转相除法），效率更高。对于最小公倍数，引用[1]和引用[3]提供了两种方法：方法1：利用公式LCM(a,b) =(a*b)/GCD(a,b)[注意：为了避免溢出，可以先除再乘，但这里a*b可能溢出，需注意] 方法2：引用[3]中的fun2使用从两数中较大数开始递增，直到找到一个数能同时被a和b整除。 由于题目要求两个函数，我们可以选择： -最大公约数使用高效的欧几里得算法（辗转相除法）-最小公倍数使用公式法（需要先求最大公约数）注意：如果使用公式法，最小公倍数函数可以调用最大公约数函数。步骤： 1.定义函数fun1（求最大公约数）：使用欧几里得算法：-用辗转相除：用较大数除以较小数，得到余数，然后用除数除以余数，重复直到余数为0，此时除数就是最大公约数。-递归或循环实现。2.定义函数fun2（求最小公倍数）：使用公式：最小公倍数 =(a* b) /最大公约数(a,b)注意：为了避免a*b溢出，我们可以先除后乘：a/ gcd(a,b) *b（因为a和b都是正整数，整除性保证） 3.主函数：-输入两个正整数a和b-调用fun1得到gcd-调用fun2得到lcm（调用fun2时，fun2内部会调用fun1，或者我们可以将gcd作为参数传给fun2？但是题目要求两个函数分别计算，且主函数调用两个函数，所以fun2可以独立调用fun1）-输出结果注意：如果使用fun2内部调用fun1，那么同一个计算过程会计算两次gcd（一次在fun1调用时，一次在fun2内部调用fun1时）。为了避免重复计算，我们可以在主函数中先调用fun1得到gcd，然后调用fun2时传入gcd（但题目要求fun2函数计算最小公倍数，没有规定参数，所以我们可以设计fun2有两种方式：方式1：只接受a,b，内部调用fun1；方式2：接受a,b和gcd。根据题目要求，我们采用方式1，因为题目要求两个函数分别计算，但并没有说不能互相调用。而且题目要求“调用这两个函数”，所以主函数调用fun1和fun2，而fun2内部可以调用fun1。另一种方式是：fun2不调用fun1，而是自己用其他方法（比如递增法）计算最小公倍数。这样两个函数独立。但考虑到效率，公式法效率更高（因为gcd已经用高效算法求过，而递增法可能较慢）。所以这里我们选择在fun2内部调用fun1。 但注意：题目要求“分别调用这两个函数”，所以主函数中分别调用fun1和fun2，而fun2内部调用fun1是允许的，因为fun2也是函数，它内部调用其他函数是正常的。为了避免重复计算，我们也可以在主函数中先计算gcd，然后计算lcm时使用公式，这样就不需要在fun2中再计算一次gcd。但是题目要求fun2函数计算最小公倍数，所以最好在fun2中完成计算。如果fun2内部不调用fun1，那么就需要自己实现计算最小公倍数的方法（比如递增法）。权衡：为了代码清晰和高效，我们使用公式法，并在fun2内部调用fun1。这样，当我们在主函数中调用fun2时，fun2会调用fun1，所以实际上会计算两次gcd（一次在主函数调用fun1时，一次在fun2调用fun1时）。为了避免重复计算，我们可以： 方案1：修改设计，不在主函数中调用fun1，而是只调用fun2，然后fun2调用fun1，然后主函数从fun2的返回值中得到最小公倍数，同时通过另一个函数（比如fun1）得到最大公约数？这样不行，因为主函数需要分别调用两个函数。 方案2：主函数不调用fun1，而是先调用fun2，然后在fun2内部计算gcd并保存，然后计算lcm？但是这样主函数就无法直接得到gcd的值（除非通过全局变量或指针参数，但这样不优雅）。方案3：不改变设计，即使重复计算，因为两个数不大，重复计算一次gcd（使用高效的欧几里得算法）很快，所以可以接受。或者，我们可以这样：主函数只调用fun2，而fun2内部调用fun1得到gcd，然后计算lcm，同时将gcd通过指针参数或静态变量返回？这样不符合题目要求，因为题目要求分别调用两个函数。 因此，我们按照题目要求，主函数中分别调用fun1和fun2。在fun2内部，为了计算最小公倍数，会再次调用fun1。这样虽然重复计算，但代码结构清晰，符合题意。 如果担心重复计算，也可以在主函数中先调用fun1得到gcd，然后调用fun2时，将gcd作为第三个参数传入，但这样改变了函数接口（题目要求两个函数分别计算，没有规定参数个数，但通常fun2只需要两个参数）。所以我们可以设计fun2有两个版本，但题目没有明确，我们就按照常规：fun1和fun2都只有两个整数参数。因此，我们决定：- fun1(a,b):返回gcd-fun2(a,b):返回lcm，内部使用公式： (a *b)/ fun1(a,b)[注意溢出]为了避免溢出，我们使用：a /fun1(a,b) *b（因为a和b都是正整数，且fun1(a,b)整除a和b，所以a/fun1(a,b)是整数）代码结构： ```c#include <stdio.h> //函数声明int fun1(inta,int b); //求最大公约数int fun2(inta,int b); //求最小公倍数int main() {inta,b;printf("请输入两个正整数：");scanf("%d%d",&a, &b);//调用fun1求最大公约数intgcd =fun1(a,b);//调用fun2求最小公倍数int lcm =fun2(a,b);printf("最大公约数：%d\n", gcd);printf("最小公倍数：%d\n",lcm);return0;} //使用欧几里得算法（辗转相除法）求最大公约数intfun1(int a, intb){//确保在循环中a>=b，但我们可以用递归或循环处理任意顺序//这里使用循环inttemp;while(b!=0){temp =a %b;a= b;b =temp;}returna;} //求最小公倍数int fun2(inta,int b) {//调用fun1得到最大公约数intgcd =fun1(a,b);//使用公式求最小公倍数，避免溢出return a/ gcd* b;//先除后乘，避免溢出}``` 注意：在fun2中，我们先计算gcd，然后计算a/gcd*b，这样避免a*b可能溢出（当a和b很大时）的问题。测试：输入两个正整数，例如12和18，最大公约数应为6，最小公倍数应为36。但是，注意：如果输入的数有0怎么办？题目要求正整数，所以可以假设输入为正整数。另外，欧几里得算法要求两个数非负，且其中一个不为0（但题目是正整数，所以没问题）。我们也可以将fun1的循环实现改为递归，但循环效率更高。 这样，我们就完成了程序。 相关问题： 1.欧几里得算法的时间复杂度是多少？ 2.如何证明欧几里得算法的正确性？3.除了欧几里得算法，还有哪些求最大公约数的方法？4.什么情况下计算最小公倍数时a*b会溢出？如何避免？5.如果要求多个数的最大公约数和最小公倍数，应该怎么做？</think>以下是根据您的要求编写的 C 语言程序，包含两个函数分别计算最大公约数和最小公倍数： ```c #include <stdio.h> // 求最大公约数函数（使用欧几里得算法） int fun1(int a, int b) { while (b != 0) { int temp = b; b = a % b; a = temp; } return a; } // 求最小公倍数函数（基于最大公约数） int fun2(int a, int b) { int gcd = fun1(a, b); return a / gcd * b; // 先除后乘避免溢出 } int main() { int a, b; // 输入两个正整数 printf("请输入两个正整数："); scanf("%d%d", &a, &b); // 计算并输出结果 printf("最大公约数：%d\n", fun1(a, b)); printf("最小公倍数：%d\n", fun2(a, b)); return 0; } ``` ### 程序说明： 1. **fun1 函数**：使用欧几里得算法（辗转相除法）高效计算最大公约数[^4] - 时间复杂度：$O(\log(\min(a,b)))$ - 示例：$gcd(100,18)$ 的计算过程： $100 \div 18 = 5 \text{ 余 } 10$ $18 \div 10 = 1 \text{ 余 } 8$ $10 \div 8 = 1 \text{ 余 } 2$ $8 \div 2 = 4 \text{ 余 } 0$ 最大公约数为 $2$ 2. **fun2 函数**：基于公式 $LCM(a,b) = \frac{a \times b}{GCD(a,b)}$ - 优化：先除后乘（`a / gcd * b`）避免大数相乘溢出 - 示例：$LCM(12,18) = \frac{12 \times 18}{6} = 36$ 3. **主函数**： - 接收用户输入的两个正整数 - 调用 `fun1` 和 `fun2` 计算结果 - 格式化输出最大公约数和最小公倍数 ### 运行示例： ``` 请输入两个正整数：24 36 最大公约数：12 最小公倍数：72 ``` ``` 请输入两个正整数：100 18 最大公约数：2 最小公倍数：900 ```