leetcode397分支限界法c++

<think>好的，我现在需要解决用户关于LeetCode 397题“整数替换”的问题，特别是使用分支限界法的C++实现。用户已经提供了几个引用，包括递归、动态规划和位运算的解法，但需要的是分支限界法。首先，我需要理解分支限界法的基本概念，以及如何将其应用到这个问题中。 分支限界法通常用于解决组合优化问题，通过扩展当前节点的子节点，并估算这些子节点的下界（或上界），优先处理更有希望的分支，以尽快找到最优解。常用的数据结构是优先队列，每次选择当前最优的节点进行扩展。 接下来，我需要分析问题本身。题目要求将正整数n通过特定操作转换为1，最少的步骤数。操作包括：偶数时除以2，奇数时可以选择加1或减1。传统的递归方法可能会有重复计算，而分支限界法则可以通过优先级队列来优化选择顺序，减少不必要的计算。 然后，我需要考虑如何构建状态节点。每个节点应包含当前的数值和已用步数，同时需要一个预估的下界来指导优先队列的选择。预估的下界可以是当前数值的二进制位数，因为每次除以2相当于减少一位，所以剩余的步数至少需要log2(n)次。但需要验证这个估计是否合理。 接着，考虑如何实现优先级队列。在C++中，可以使用优先队列（priority_queue），但需要自定义比较函数，使得下界更小的节点优先被处理。同时，为了避免重复处理相同的数值，需要一个哈希表来记录已经处理过的最小步数，如果遇到相同数值但步数更多的情况，可以剪枝。 然后，处理步骤大致如下： 1. 初始化优先队列，将初始节点（n, 0）加入队列。 2. 进入循环，取出当前最优节点。 3. 如果当前数值为1，返回步数。 4. 生成子节点（偶数则一个子节点，奇数则两个子节点）。 5. 对每个子节点，计算预估下界（步数 + 剩余所需步数估计），并检查是否已经存在更优的解，如果没有则加入队列并更新哈希表。 需要注意的是，当处理奇数时，加1或减1可能导致数值变大，比如当n=3时，减1得到2，而加1得到4，但减1的步骤更少。此时，预估函数需要准确，否则可能影响效率。 另外，测试用例中可能存在大数，比如2^32-1，使用普通的整数类型可能会溢出，所以需要用unsigned或者更大的类型来处理。 现在，编写代码的大致结构： - 定义节点结构体，包含当前值、当前步数、预估总步数。 - 优先队列按预估总步数从小到大排序。 - 哈希表记录每个数值的最小步数。 - 循环处理队列中的节点，直到找到解。 预估剩余步数时，可以采用log2(current)作为估计，但需要转换为整数。例如，current的二进制位数减1，即剩余步数的下限。这样，总预估步数为当前步数加上这个下限。 在实现中，需要处理current为1的情况，并且当current为奇数时，生成两个子节点。同时，要检查子节点的值是否已经存在于哈希表中，且步数是否更小，否则剪枝。 可能存在的问题是，分支限界法在处理大数时是否效率足够，或者是否有更优的预估函数。需要参考已有的解法，比如位运算方法，来验证预估函数的合理性。 最后，测试代码是否能够正确处理各种情况，如n=8（3步）、n=7（4步）、n=3（2步）以及大数情况，确保没有溢出和正确的结果。</think>### LeetCode 397 整数替换的分支限界法实现（C++） #### 算法思路 分支限界法通过**优先级队列**选择当前最优路径，配合**剪枝策略**避免重复计算。每个节点的优先级由已用步数 + 剩余步数下界决定，剩余步数下界可通过二进制位数估算（例如：$n$ 的二进制位数减1）。 #### C++代码实现 ```cpp #include <queue> #include <unordered_map> using namespace std; struct Node { unsigned val; int steps; int estimate; // steps + lower_bound(remaining steps) Node(unsigned v, int s, int e) : val(v), steps(s), estimate(e) {} bool operator<(const Node& other) const { return estimate > other.estimate; // 小顶堆 } }; class Solution { public: int integerReplacement(int n) { if (n == 1) return 0; priority_queue<Node> pq; unordered_map<unsigned, int> visited; auto getEstimate = [](unsigned val, int steps) { int bits = 0; unsigned tmp = val; while (tmp > 1) { bits++; tmp >>= 1; } return steps + bits; // 剩余步数下界 = 二进制位数 - 1 }; pq.push(Node(n, 0, getEstimate(n, 0))); visited[n] = 0; while (!pq.empty()) { Node curr = pq.top(); pq.pop(); if (curr.val == 1) return curr.steps; if (curr.val % 2 == 0) { // 偶数情况 unsigned next = curr.val / 2; int new_steps = curr.steps + 1; if (!visited.count(next) || new_steps < visited[next]) { visited[next] = new_steps; pq.push(Node(next, new_steps, getEstimate(next, new_steps))); } } else { // 奇数情况，生成两个分支 vector<unsigned> next_vals = {curr.val + 1, curr.val - 1}; for (unsigned next : next_vals) { int new_steps = curr.steps + 1; if (!visited.count(next) || new_steps < visited[next]) { visited[next] = new_steps; pq.push(Node(next, new_steps, getEstimate(next, new_steps))); } } } } return -1; } }; ``` #### 关键点说明 1. **节点优先级计算**：使用 `steps + log2(val)` 的下界估算，确保优先处理更接近目标的路径[^2]。 2. **剪枝优化**：通过哈希表记录已访问值的最小步数，避免重复计算[^2]。 3. **大数处理**：使用 `unsigned` 类型防止溢出（如测试用例 $2^{31}-1$）[^3]。 #### 复杂度分析 - 时间复杂度：$O(b \cdot \log b)$，其中 $b$ 是分支数，优先队列操作复杂度为 $O(\log b)$。 - 空间复杂度：$O(k)$，$k$ 为哈希表存储的中间状态数。