优先队列恶，place用法

### 使用优先队列和分支限界法解决世界名画陈列馆问题 #### 1. 问题描述 世界名画陈列馆由 \( m \times n \) 个排列成矩形阵列的陈列室组成。为了防止名画被盗，需要在陈列室中设置警卫机器人哨位。每个警卫机器人除了监视它所在的陈列室外，还可以监视与它所在的陈列室相邻的上、下、左、右4个陈列室。目标是在最少数量的警卫机器人的条件下完成对所有陈列室的有效监控。 #### 2. 分支限界法简介 分支限界法是一种用于求解组合优化问题的方法，通过构建部分解空间树来寻找最优解。该方法利用广度优先遍历的思想，并借助优先队列选择当前最有希望的部分解继续扩展。这种方法可以有效地减少不必要的计算量并提高效率[^1]。 #### 3. 实现思路 采用优先队列存储待处理节点，按照一定的评价函数（通常是估计剩余代价最小者优先）选取下一个要展开的状态；对于每一个状态，尝试放置一个新位置上的警卫机器人，并更新已覆盖区域的信息；当找到完全被覆盖的情况时记录此时使用的总警卫数作为候选答案之一；最终返回所发现的最佳方案即所需最少警卫数目及其具体布置方式。 #### 4. Python代码实现 下面是一个简单的Python程序框架，展示了如何使用优先队列和分支限界法解决问题： ```python import heapq def is_covered(grid, row, col): """判断指定格子是否已被其他警卫覆盖""" directions = [(0, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, 0)] for dr, dc in directions: r, c = row + dr, col + dc if 0 <= r < len(grid) and 0 <= c < len(grid[0]) and grid[r][c]: return True return False class State(object): def __init__(self, cost=0, guards=None, covered=None): self.cost = cost # 当前花费(已部署警卫的数量) self.guards = guards or []# 已经放置好的警卫坐标列表 self.covered = covered[:] # 被保护过的房间标记矩阵 @property def h(self): # 启发式评估函数H(n)，这里简单取未覆盖房间总数 uncovered_count = sum([not cell for line in self.covered for cell in line]) return uncovered_count def f(self): # F(n)=g(n)+h(n)，其中G(n)表示实际路径长度也就是cost return self.cost + self.h def solve_museum_problem(m, n): initial_state = State(guards=[], covered=[[False]*n for _ in range(m)]) pq = [] best_solution_cost = float('inf') solutions = [] heapq.heappush(pq, (initial_state.f(), id(initial_state), initial_state)) while pq: _, _, current_state = heapq.heappop(pq) if not any(not cell for line in current_state.covered for cell in line): if current_state.cost < best_solution_cost: best_solution_cost = current_state.cost solutions.append((current_state.cost, list(current_state.guards))) elif current_state.cost >= best_solution_cost: continue else: new_states = generate_new_states(current_state, m, n) for state in new_states: heapq.heappush(pq, (state.f(), id(state), state)) min_guard_num, optimal_guards_positions = min(solutions)[0], [pos for num, pos in solutions if num==min(solution[0]for solution in solutions)][0] print(f'Minimum number of guards required: {min_guard_num}') print('Optimal guard positions:') for i,j in sorted(optimal_guards_positions): print(f'({i},{j})') def place_guard_and_update_coverage(state, row, col): updated_grid = [[cell | ((abs(r-row)<=1)*(abs(c-col)<=1))>0 for c, cell in enumerate(line)] \ for r,line in enumerate(state.covered)] placed_guards = state.guards[:] placed_guards.append((row,col)) return State(cost=len(placed_guards), guards=placed_guards, covered=updated_grid) def generate_new_states(parent_state,m,n): states = [] for r in range(m): for c in range(n): if parent_state.covered[r][c] or is_covered(parent_state.covered,r,c): continue child_state = place_guard_and_update_coverage(parent_state,r,c) states.append(child_state) return states ``` 此段代码定义了一个`State`类用来保存搜索过程中的中间结果以及辅助函数来进行边界条件检测和生成新的可能状态。主逻辑位于`solve_museum_problem()`函数内部，其接收两个参数\(m\) 和 \(n\)(分别代表陈列馆的高度宽度)，并通过维护一个小顶堆形式的优先级队列不断探索更优解直到无法再改进为止。